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1、1.5 全称量词与存在量词 一二三 一、全称量词与全称量词命题 1.给出下列命题:所有的矩形都是平行四边形;对任意一个 xR,都有x20;每一个菱形的对角线都垂直;自然数是正整数. (1)上述命题中的“所有的”“任意一个”“每一个”都表示什 么含义?如何定义这类命题? 提示:这些短语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样的 词叫做全称量词.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题. (2)命题是全称量词命题吗?它的量词是什么? 提示:是全称量词命题.它的量词是“所有的”(“每一个”等).即所有 的自然数都是正整数. 一二三 (3)判断这四个命题的真假. 提示:命题是真命题,命题是假命题.因为当x
2、=0时,x20 不成立,所以是假命题;因为0是自然数,但不是正整数,所以命题 是假命题. (4)说一说如何判断一个全称量词命题的真假? 提示:要判断一个全称量词命题是真命题,需要说明每一个元素 都满足题意;而要说明它是假命题,则只需要举出一个反例. 2.填空 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 “”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题. 全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为 xM,p(x). 一二三 二、存在量词与存在量词命题 1.给出下列命题:有些矩形不是平行四边形;存在一个xR, 使得x20;至少有一个菱形的对角线不垂直;有的自然数不
3、是 正整数. (1)上述命题中的“有些”“存在一个”“至少有一个”“有的”都表示 什么含义?如何定义这类命题? 提示:这些短语在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在 量词.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. (2)判断这四个命题的真假. 提示:命题是真命题,命题是假命题.因为当x=0时,x20 成立,所以是真命题;因为0是自然数,但不是正整数,所以命题 是真命题. 一二三 (3)说一说如何判断一个存在量词命题的真假? 提示:要判断一个存在量词命题是真命题,只要举一个特例满足 题意即可. 2.填空 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符 号“”表示.含有存在量词的命
4、题,叫做存在量词命题. 存在量词命题“存在M中的元素x,P(x)成立”,可用符号简记为 xM,p(x). 一二三 3.做一做 (1)判断(正确的打“”,错误的打“”) 全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”. ( ) 全称量词命题一定含有全称量词,存在量词命题一定含有存在 量词.( ) (2)下列存在量词命题是假命题的是( ) A.存在xQ,使2x-x3=0B.存在xR,使x2+x+1=0 C.有的素数是偶数D.有的有理数没有倒数 (3)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是 ,该量 词是 量词(填“全称”或“存在”). 答案:(1) (2)B (3)有些 存在 一二三 三、全
5、称量词命题和存在量词命题的否定 1.已知命题:所有的矩形都是平行四边形;每一个自然数都是正 整数;存在一个xR,使得x20;至少有一个菱形的对角线不垂直. (1)写出这四个命题的否定. 提示:有些矩形不是平行四边形; 至少存在一个自然数不是正整数; 对任意一个xR,都有x20; 每一个菱形的对角线都垂直. (2)这四个命题分别是什么命题?它的否定又是什么命题? 提示:是全称量词命题,它们的否定是存在量词命题. 是存在量词命题,它们的否定是全称量词命题. (3)判断上述命题与其否定的真假,你能发现什么规律? 提示:命题是真命题,它们的否定是假命题;命题是假命题, 它们的否定是真命题.即一个命题和
6、它的否定真假相反. 一二三 2.填空 一二三 3.做一做 (1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180”的否定为( ) A.存在一个三角形的内角和等于180 B.所有三角形的内角和都等于180 C.所有三角形的内角和都不等于180 D.很多三角形的内角和不等于180 (2)命题“xZ,4x-1是奇数”的否定是 . 答案:(1)B (2)xZ,4x-1不是奇数 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练 全称量词命题与存在量词命题的辨析 例1判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题. (1)有些素数的和仍是素数; (2)自然数的平方是正数. 解:因为(1)含有存在量词,所以命题(1)为存在量
7、词命题;又因为 “自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正 数”,所以(2)含有全称量词,故为全称量词命题. 综上所述:(1)为存在量词命题,(2)为全称量词命题. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练 反思感悟 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的 思路 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练 变式训练1下列命题中,是全称量词命题的是 ,是存在 量词命题的是 (填序号). 正方形的四条边相等;有两个角是45的三角形是等腰直角 三角形;正数的平方根不等于0;至少有一个正整数是偶数. 解析:是全称量词命题,是存在量词命题. 答案: 探究一探究二探究三探究四思维辨析随
8、堂演练 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例2判断下列命题的真假. (1)xZ,x30. 解:(1)这是存在量词命题.因为-1Z,且(-1)3=-10”是 假命题. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练 反思感悟 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法 (1)要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元 素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给 定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假. (2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个 元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给 定集合的每一个元素x,使命题
9、p(x)为假. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练 变式训练2指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量 词命题,并判断真假. (1)存在一个实数,它的绝对值不是正数; (2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示; (3)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立. 解:(2)是全称量词命题,(1)(3)是存在量词命题. (1)真命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数. (2)假命题,如边长为1的正方形,其对角线的长度为 , 就不能 用正有理数表示. (3)假命题,方程x2+x+8=0的判别式=-31x-1; (2)q:三角形有且仅有一个外接圆; (3)r:存在一个三角形,它的
10、内角和大于180; (4)s:有些质数是奇数. 分析:先判断每个命题是全称量词命题还是存在量词命题,再写 出相应的否定. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练 反思感悟 1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这 个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论, 然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词, 同时否定结论,即得其否定. 2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词 的完整形式,再写出命题的否定. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练 变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假. (2)q:所有的正方形都是矩形; (3
11、)r:xR,x2+3x+70; (4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练 根据命题的真假求参数的取值范围 例4已知命题“xR,x2+ax+10”是假命题,求实数a的取值范围. 分析:若全称量词命题为假命题,通常转化为其否定形式存 在量词命题为真命题来解决;同理,若存在量词命题为假命题,通常 转化为其否定形式全称量词命题为真命题来解决. 解:因为全称量词命题“xR,x2+ax+10”的否定形式 为:“xR,x2+ax+10, 解得a2. 所以实数a的取值范围是(-,-2)(2,+). 探究一探究二探究三探究四
12、思维辨析随堂演练 反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“xM,af(x)(或af(x)max(或af(x)(或af(x)min(或a0”,求实数a的取值范围. 解:(1)由题意知0,则a2-40,得-2a2.所以实数a的取值范 围为-2,2. (2)因为全称量词命题“x0,x2+ax+10”的否定形式 为:“x0,x2+ax+19的否定p为 . 答案:x3,x29 纠错心得 在对含有一个量词的命题进行否定时,只需在两个地 方作出改变即可,一是量词的符号,将“”改为“”,或者将“”改为 “”;二是结论,将结论进行否定.当量词符号后面含有表示变量范围 的不等式时,不能将这个不等式进行否定,否则得到的命题就不是 原命题的否定.