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1、-1- 4.4.3 不同函数增长的差异不同函数增长的差异 首页 课前篇 自主预习 一二 一、指数函数与一次函数、二次函数增长的差异比较 1.(1)阅读下面材料并回答问题 1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草, 而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了 整个澳大利亚,数量达到75亿只,可爱的兔子变得可恶起来,75亿只 兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低, 而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已.他们采用 各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液 瘤病毒杀死了百分之九十的兔子,澳大利亚人才算松了一口
2、气. 想想看,澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发展到75 亿只? 答案:由于兔子在适宜环境下,其繁育的数量呈指数增长趋势,指 数增长又称为“爆炸性增长”,因此发展十分迅猛. 课前篇 自主预习 一二 (2)你能借助图象得出在xR时,2x=x,2x=x2的根的个数吗?在 (0,+)上存在满足2xx2的x的范围是什 么? 答案:2x=x无根,2x=x2的根有3个(2正1负); 在(0,+)上,存在这样的数x0满足 4时均有2xx2成立. 2.填空 (1)一般地,指数函数y=ax(a1)与一次函数y=kx(k0)的增长差异 都与上述情况类似.即使k的值远远大于a的值,y=ax(a1)的增长速
3、 度最终都会大大超过y=kx(k0)的增长速度,即总存在这样的 x0(0,+),当xx0时,恒有 (2)对于y=ax(a1)与二次函数y=x2也有这样的结论,即存在 x0(0,+),使当xx0时总有 课前篇 自主预习 一二 3.做一做 (1)下列函数中,增长速度最快的是( ) A.y=2x B.y=3x C.y=5x D.y=10x (2)在x(0,+)时,满足2xx吗?对于 log2xx2结论又如何? 答案:结合图象(略)分析可知, log2x=x只有一个根,log2x=x2也只有一个根. 存在这样的x0(0,+)使log2x0x0,同样也存在这样的x0(0,+) 使log2x0 成立,但最
4、终随着x取值足够大,log2x1)与一次函数y=kx(k0)在区 间(0,+)上都单调递增,但它们的增长速度不同.随着x的增大,一次 函数y=kx(k0)保持固定的增长速度,而对数函数y=logax(a1)的增 长速度越来越慢.不论a的值比k的值大多少,在一定范围内,logax可 能会大于kx,但由于logax的增长慢于kx的增长,因此总会存在一个x0, 当xx0时,恒有logax1)与y=x2也存在类似结论,即总会存在一个x0, 当xx0时,恒有logaxx2log2x. 当22xlog2x. 当x4时,2xx2log2x. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范解答随堂演练 反思感悟反思
5、感悟 在(0,+)上,尽管函数y=ax(a1),y=logax(a1)和y=x2都 是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,随着x 的增大,y=ax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y=x2(n0)的增长速度,而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢,总 会存在一个x0,当xx0时,有logax1)的函数关系分别是 f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x.假设他们一直跑下去,最终跑在 最前面的人具有的函数关系是 ( ) A.f1(x)=x2B.f2(x)=4x C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x 解析:当x
6、足够大时,跑在最前面的人具有的函数关系为指数型函 数. 答案:D 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范解答随堂演练 根据根据数据信息判断函数类型数据信息判断函数类型 例例2在一次数学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据: 则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中a,b为待定系数)( ) 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范解答随堂演练 解析:散点图如图所示: 由散点图可知,此函数图象不是直线,排除A选项;此函数图象是 “上升”的,因此该函数为增函数,排除C,D选项,故选B. 答案:B 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范解答随堂演练 反思感悟反思感悟 判断函数类型的三种方
7、法 1.当函数关系式确定时,一般把数值代入分析即可. 2.当函数关系不明确时,可先画出散点图,再根据散点图与各种类 型函数的增长规律进行选择. 3.当需要独立建立模型时,要设出函数模型逐一验证筛选. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范解答随堂演练 变式训练变式训练2在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组 实验数据(见下表).现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这 些数据的规律,其中最接近的一个是( ) A.y=2x B.y=log2x C.y= (x2-1) D.y=2.61x 解析:将数据代入验证各选项,与函数性质的应用相结合. 答案:B 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三
8、规范解答随堂演练 图象信息迁移问题图象信息迁移问题 例例3 如图所示的是一份统计图表,根据此图表得到的以下说法中,正 确的有( ) (1)这几年人民生活水平逐年得到提高; (2)人民生活费收入增长最快的一年是2016年; (3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2017年; (4)虽然2018年生活费收入增长是缓慢的,但由于生活费价格指数 也略有降低,因而人民生活有较大的改善. A.1项 B.2项 C.3项D.4项 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范解答随堂演练 解析:由题意,“生活费收入指数”减“生活费价格指数”所得的差是 逐年增大的,故(1)正确;“生活费收入指数”在20162017
9、年最陡,故(2) 正确;“生活费价格指数”在20172018年最平缓,故(3)不正确;由于 “生活费价格指数”略呈下降趋势,而“生活费收入指数”曲线呈上升 趋势,故(4)正确. 答案:C 反思感悟反思感悟 用函数图象分析函数模型是一种常见的题型.主要考 查学生的识图能力,利用图象信息分析问题和解决问题的能力.这 类问题应结合图象的特征,观察坐标轴所代表的含义,紧扣题目的 语言描述,并把它转化为数学特征(单调性、最值等),即可得到完美 的解决. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范解答随堂演练 变式训练变式训练3某天0时,小鹏同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好 多了,中午时他的体温基本正常
10、(正常体温为37 ),但是下午他的体 温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反 映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是( ) 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范解答随堂演练 解析:观察图象A,体温逐渐降低,不符合题意; 图象B不能反映“下午他的体温又开始上升”; 图象D不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉 身上不那么发烫了”. 综上,只有C是正确的. 答案:C 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范解答随堂演练 选择恰当函数模型解决实际问题 典例典例 某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激励销 售部门的奖励方案:在销售利润达
11、到10万元时,按销售利润进行奖励, 且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总 数不超过5万元,同时奖金总数不超过利润的25%.现有三个奖励方案 模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合该公司的要 求? 分析:某个奖励模型符合公司要求,就是依据这个模型进行奖励时, 奖金总数不超过5万元,同时奖金总数不超过利润的25%,由于公司总 的利润目标为1 000万元,所以部门销售利润一般不会超过公司总的 利润. 于是,只需在区间10,1 000,分别检验三个模型是否符合公司要求. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范解答随堂演练 解:
12、借助计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x在第一 象限内的大致图象(如图所示): 观察图象发现,在区间10,1 000上,模型y=0.25x,y=1.002x的图象 都有一部分在直线y=5的上方,只有模型y=log7x+1的图象始终在 y=5的下方,这说明只有按模型y=log2x+1进行奖励时才符合公司的 要求,下面通过计算确认上述判断. 对于模型y=0.25x,它在区间10,1 000上递增,当x(20,1 000) 时,y5,因此该模型不符合要求; 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范解答随堂演练 对于模型y=1.002x,由函数图象,并利用计算器,可知在区间 (805,806)内有一个点x0满足1.002x=5,由于它在区间10,1 000上递 增,因此当xx0时,y5,因此该模型y=1.002x也不符合要求; 对于模型y=log7x+1,它在区间10,1 000上递增,而且当x=1 000 时,y=log71 000+14.55x0时,下列不等式恒成立的是( ) A.2x0且a1)的解的个数为 . 解析:当a1时,在同一坐标系中画出y=logax和y=a-x的图象,如图所 示,由图(1)可知两函数图象只有一个交点;同理,当0a1时,由图(2) 知两函数图象也只有一个交点.因此,不论何种情况,方程只有一个 实数解. 答案:1