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1、-1- 3.3 函数的应用(一) 3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点 首页 课前篇 自主预习 一二 知识点一、函数模型 1.思考 (1)在函数建模中,怎样确立两个变量是哪种函数关系? 提示:通常需要先画出函数图像,根据图像来确定两个变量的关 系,选择函数类型. (2)函数模型在实际应用中,函数的自变量有什么特点? 提示:在实际应用中,函数的自变量x往往具有实际意义,如x表示 长度时,x0;x表示件数时,x0,且xZ等.在解答时,必须要考虑这些 实际意义. 课前篇 自主预习 一二 (3)已知某商场经营一批进价为12元/个的小商品,在4天的试销中, 对此商品的销售单价x(元)与相应的日
2、销售量y(个)进行了统计,其 数据如下表: 你能否找到一种函数,使它反映y关于x的函数关系?若能,写出函 数解析式. 课前篇 自主预习 一二 提示:观察x,y的数据,可大体看到y与x是一次函数关系, 令y=kx+b(k0). 因为当x=16时,y=42,当x=20时,y=30, 即y=-3x+90. 显然当x=24时,y=18;当x=28时,y=6. 对照数据,可以看出y=-3x+90即为所求的函数解析式. 考虑到x的实际意义及y的取整性,所以y=-3x+90,x1,2,3,30. 课前篇 自主预习 一二 2.填空 (1)一次函数模型 解析式:y=kx+b(k0). (2)二次函数模型 一般式
3、:y=ax2+bx+c(a0); 顶点式:y=a(x-h)2+k(a0),其中顶点坐标为(h,k). (3)分段函数模型 有些实际问题,在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同,此 时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它,由于分段函数在不同 的区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际 问题中,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用. 课前篇 自主预习 一二 归纳提高1.在求其解析式时,应先确定分“段”,即函数分成几段,并 抓住“分界点”,确保分界点“不重,不漏”. 2.在求函数值时,先确定自变量的值所属的区间,再代入;同样,已 知函数值,求解自变量的值时,就是解方程的过程
4、,即每段都令y取已 知函数值,解出相应x的值,再判断是否属于所在区间. 课前篇 自主预习 一二 知识点二、解决数学应用题的一般步骤 1.思考对教材例3中的“客房问题”你有什么体会?在现实问题中, 有没有与它类似的问题?如果有,请举例说明. 提示:“客房问题”反映的规律性在实际生活中有很多典例,实际归 结到最后,“客房问题”是一个二次函数模型的具体应用,在现实生活 中的“调价问题”与其类似,其模型为: 当某类商品在销售价格为b元时,可售出a件,现欲提价,若单价每 提高m元,则销售量平均减少n件,求提高多少元时销售的总收入最 高? 设将商品售价提高x个m元, 则总收入为y=(b+xm)(a-xn)
5、=-mnx2+(am-bn)x+ab. 它是一个自变量为自然数的二次函数,且其二次项系数小于零, 根据二次函数的知识知它有最大值. 课前篇 自主预习 一二 2.做一做 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价 格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报 社,在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份,其余10天每 天只能卖出250份.若每天从报社买进报纸的数量相同,则每天应该 从报社买进多少份报纸,才能使每月所获得的利润最大?并计算该 销售点一个月最多可赚多少元? 解:设每天应从报社买x份报纸,由题意知250x400,设每月赚y 元,根据题
6、意得y=0.5x20+0.525010+(x-250)0.0810- 0.35x30=0.3x+1 050,x250,400. 因为y=0.3x+1 050是定义域上的增函数,所以当x=400 时,ymax=120+1 050=1 170(元). 答:每天应该从报社买进400份报纸,才能使每月所获得的利润最 大,每月最多可赚1 170元. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 一次函数模型的应用一次函数模型的应用 例1 (1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关 系为y=6x+30 000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日 生产文具盒( ) A.2 0
7、00套B.3 000套 C.4 000套D.5 000套 (2)商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商 店推出两种优惠办法: 买一个茶壶赠一个茶杯; 按总价的92%付款. 某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个), 付款y(元),分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨 论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠? 当堂检测 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 (1)解析:因利润z=12x-(6x+30 000),所以z=6x-30 000,由z0解得 x5 000,故至少日生产文具盒5 000套. 答案:D (2)解:由
8、优惠办法可得函数解析式为y1=204+5(x- 4)=5x+60(x4,且xN). 由优惠办法可得y2=(5x+204)92%=4.6x+73.6(x4,且xN). y1-y2=0.4x-13.6(x4,且xN), 令y1-y2=0,得x=34. 所以,当购买34个茶杯时,两种办法付款相同; 当4x34时,y1y2,优惠办法更省钱. 当堂检测 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟1.一次函数模型的实际应用: 一次函数模型应用时,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则. 2.一次函数的最值求解: 一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b0(或0),解答时, 注意系数a的正负,
9、也可以结合函数图像或其单调性来求最值. 当堂检测 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练1若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则燃烧剩 下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为图中的( ) 解析:蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短,根据实际意义不可能 是D,更不可能是A,C.故选B. 答案:B 当堂检测 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 二次函数模型的应用二次函数模型的应用 例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不 得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格 销售,平均每天销售90箱,价格
10、每提高1元,平均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关 系式; (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之 间的函数关系式; (3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润 是多少? 当堂检测 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 分析:本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个 一次函数关系,虽然x50,55,xN,但仍可把问题看成一次函数模 型的应用问题;平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一 个二次函数关系,可看成是一个二次函数模型的应用题. 解:(1)根据题意,得y
11、=90-3(x-50), 化简,得y=-3x+240(50x55,xN). (2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量每 箱销售利润. 所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50x55,xN). (3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200, 所以当x500,应付y=30+0.15(1 200- 500)=135(元). (3)90元已超过30元,所以上网时间超过500 min,由解析式可得上 网时间为900 min. 当堂检测 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟分段函数的实际应用 1.在刻画实际
12、问题中,变量之间的关系因自变量x取值范围的不同, 对应的函数关系不能用同一个解析式表示时,常用分段函数建立函 数模型解决问题. 2.分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函 数.求解分段函数的最值问题时应注意:分段函数的最大值是各段 函数最大值中较大的一个,分段函数的最小值是各段函数最小值中 较小的一个. 当堂检测 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 延伸探究延伸探究为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某 福利企业免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进 价为每件40元,每月销售量q(单位:百件)与销售价p(单位:元/件)之间 满足关系式: 该企
13、业职工每人每月工资 为1 200元,其他经营性费用为每月13 200元. (1)如果暂时不考虑还贷的前提下,当销售价p为52元/件,每月刚好 收支平衡,求该企业的职工人数; (2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外, 剩余的利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款? 当堂检测 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 解:(1)设该企业职工人数为t,依题意当p=52时,q=36,则(52- 40)36100=1 200t+13 200,t=25. 即该企业有25名职工. (2)设每个月的利润为f(p),则f(p)= 当p=55时,(-2p+140)(p-40)max
14、=450, 当p=61时,(-p+82)(p-40)max=441, 450441, 当p=55时,能更早还清贷款, 又(100450-1 20020-13 200)12=93 600, 当定价为55元时,最早5年后能还清贷款. 当堂检测 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 因忽视实际问题中x的范围而致误 典例 如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(ab),在 AB,AD,CB,CD上分别截取AE=AH=CF=CG=x(x0),设四边形 EFGH的面积为y. (1)写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系式; (2)求当x为何值时,y取得最大值,最大值是多少? 当堂
15、检测 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正? 你怎么防范? 提示:错解过程中一是没注意实际问题中x的取值范围,二是求函 数最值时没有讨论对称轴与区间的关系,但从根本上错误的根源是 第(1)问中没有明确定义域. 当堂检测 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 防范措施1.对实际问题中的函数解析式一定要注意自变量x要受 实际问题的约束,养成遇到实际问题“定义域优先”的习惯. 2.有时一个小细节的失误,会导致严重错误的产
16、生.因此解决实际 问题时,要充分考虑问题的背景、实际意义、隐含条件等. 当堂检测 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练某企业实行裁员增效.已知现有员工a人,每人每年可创 纯收益(已扣工资等)1万元,据评估,在生产条件不变的条件下,每裁 员一人,则留岗人员每人每年可多创收0.01万元,但每年需付给每位 下岗工人0.4万元生活费,并且企业正常运转所需人数不得少于现 有员工的 ,设该企业裁员x人后年纯收益为y万元. (1)写出y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围; (2)当140a280时,该企业应裁员多少人,才能获得最大的经济 效益?(注:在保证能取得最大经济效益的情
17、况下,能少裁员,应尽量 少裁) 当堂检测 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 1.一个等腰三角形的周长是20,则底边长y是关于腰长x的函数,其解 析式为( ) A.y=20-2x(x10)B.y=20-2x(x10) C.y=20-2x(5x10)D.y=20-2x(5x10) 答案:D 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 2.某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为 y=x2-80x,若每件产品的售价为25万元,则该厂获得最大利润时,生产 的产品件数为( ) A.52B.52.5 C
18、.53 D.52或53 解析:因为利润=收入-成本,当产量为x件时(xN),利润f(x)=25x-(x2- 80x), 所以x=52或x=53时,f(x)有最大值. 答案:D 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 3.某商店进货单价为45元,若按50元一个销售,能卖出50个;若销售 单价每涨1元,其销售量就减少2个,为了获得最大利润,此商品的最 佳售价应为每个 元. 解析:设涨价x元,销售的利润为y元, 则y=(50+x-45)(50-2x)=-2x2+40x+250=-2(x-10)2+450, 所以当x=10,即销售价为60元时,y取得最大值. 答案:60 课堂篇 探究学习
19、 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 4.已知直角梯形ABCD,如图(1)所示,动点P从点B出发,由 BCDA沿边运动,设点P运动的路程为x,ABP的面积为f(x). 如果函数y=f(x)的图像如图(2)所示,则ABC的面积为 . 解析:由题中图像可知BC=4,CD=5,DA=5, 答案:16 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 5.南博汽车城销售某种型号的汽车,进货单价为每辆25万元,市场调 研表明:当销售单价为每辆29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售 单价每降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆.如果设每辆汽车降价 x万元,每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润=销售单价 -进货单价). (1)求y与x之间的函数关系式,并在保证商家不亏本的前提下,写出x 的取值范围; (2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元,试写出z与x之间的 函数关系式; (3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时,平均每周的销售利润最大? 最大利润是多少?