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1、-1- 4 数学归纳法数学归纳法 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 数学归纳法 (1)定义:数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题 的一种方法. (2)证明步骤 验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时,命题成立; 在假设当n=k(kN+,kn0)时命题成立的前提下,推出当n=k+1 时,命题成立. 根据可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. (3)证明依据:数学归纳法能保证命题对
2、所有的正整数都成立,因 为根据,验证了当n=1时命题成立;根据可知,当n=1+1=2时命 题成立,由于n=2时命题成立,再根据可知,当n=2+1=3时命题也 成立,这样递推下去,就可以知道当n=4,5,时命题成立,即命题对任 意正整数n都成立. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 名师点拨应用数学归纳法的注意事项 (1)数学归纳法的两个步骤缺一不可. 步骤是命题论证的基础,步骤是判断命题的正确性能否递推 下去的保证.这两个步骤缺一不可,若只有步骤缺少步骤,则无 法判断n=k(kn0)时命题是否成立;若只有步骤缺少步骤
3、,则假 设就失去了成立的前提,步骤就没有意义了. (2)用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什 么成立?n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定 义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入, 否则n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证明. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 【做一做1】 用数学归纳法证明3nn3(n4,nN+),第一步应验 证( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 解析:由题意知n4,nN+,所以第一步应验证n=4,故选D.
4、 答案:D XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 【做一做2】 用数学归纳法证明1+3+5+(2n+1)=(n+1)2,当 n=1时,左边式子为 .从k到k+1左端需增加的式子是 . 解析:当n=1时,左边=1+3=4,右边=(1+1)2=4. 左边式子是连续(n+1)个奇数相加,因此当n=k时,左边式子为 1+3+5+(2k+1). 当n=k+1时,左边式子为 1+3+5+2(k+1)+1=1+3+5+(2k+1)+(2k+3). 故增加的式子是2k+3. 答案:1+3 2k+3 XINZHIDAOXUE 新知导学
5、DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “”. (1)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1. ( ) (2)数学归纳法的两个步骤缺一不可. ( ) (3)凸(n+1)边形的对角线比凸n边形的对角线多(n-1)条. ( ) (4)用数学归纳法证明“2nn2+1对nn0的正整数n都成立”时,第 一步证明的初始值n0应取2. ( ) (5)所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决. ( ) XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答
6、疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 用数学归纳法证明恒等式用数学归纳法证明恒等式 等式左边=等式右边,所以等式成立. (2)假设n=k(kN+,k1)时等式成立,即有 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2),可知对一切nN+,等式 都成立. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟用数学归纳法证明问题的三个关键点 (1)验证是基础
7、.数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个 数n0(n01,nN+).这个n0就是要证明的命题对象对应的最小正整 数,这个正整数并不一定是“1”. (2)递推是关键.数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1” 的过程中,要正确分析式子项数的变化,关键是弄清等式两边的构 成规律.弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样 的项. (3)利用假设是核心.在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳 假设,即必须把假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1时命 题成立”.在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k) 中的最后一项,这是数学
8、归纳法的核心.不用归纳假设的证明不是 数学归纳法. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练1用数学归纳法证明 (n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN+). 证明:(1)当n=1时,左边=1+1=2,右边=211=2,等式成立. (2)假设当n=k(k1,kN+)时,等式成立,即 (k+1)(k+2)(k+k)=2k13(2k-1). 则当n=k+1时,(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k)(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)
9、(2k+2) =2(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1) =22k13(2k-1)(2k+1) =2k+113(2k-1)2(k+1)-1, 所以当n=k+1时等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对任意正整数n都成立. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式 分析:此题用数学归纳法证明时,要注意n2,故第(1)步应验证 n=2时是否成立. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIE
10、HUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 当n=k+1时,不等式也成立. 综合(1)和(2),知对任意n2,nN+,原不等式恒成立. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟用数学归纳法证明不等式的具体形式和关键 (1)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式:一 是直接给出不等式,按要求证明;二是给出两个式子,按照要求比较 大小.对于第二种形式通常要先对n取前几个值的情况分别验证比 较,再猜出从某个n值开始都成立的结论,最后用数学归纳法证明. (2)用数学归纳法证
11、明不等式的关键是由n=k时成立,得n=k+1时 成立,要利用假设,并对照目标进行恰当的放缩,使问题简单化. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 所以当n=k+1时,不等式也成立. 由(1)和(2),知对一切大于1的正整数n,不等式都成立. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页
12、 探究一探究二探究三思维辨析 用数学归纳法证明与数列有关的问题用数学归纳法证明与数列有关的问题 分析:在研究数列问题时常用数学归纳法,对于数列的通项、前n 项和的公式推导中,应注意由n=k到n=k+1时中间的过渡项是什么. 由(1)和(2),可知等式对任何正整数n都成立. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟数列与数学归纳法有着非常密切的关系,数列是定义在 N+(或其有限子集)上的函数,这与数学归纳法运用的范围是一样的, 并且数列的递推公式与归纳原理实质上也是一致的.因此数列中有
13、不少问题都可以用数学归纳法证明.在证明过程中尤其要注意,由 n=k到n=k+1时,中间的过渡项增加多少项,这是解决问题的关键. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练3在数列an中,a1=a2=1,当nN+时,满足an+2=an+1+an, 且设bn=a4n,求证数列bn各项均为3的倍数. 证明:(1)a1=a2=1, a3=a2+a1=2,a4=a3+a2=3. b1=a4=3,当n=1时,b1能被3整除. (2)假设n=k时,bk=a4k是3的倍数. 则n=k+1时,bk
14、+1=a4(k+1)=a4k+4=a4k+3+a4k+2=a4k+2+a4k+1+a4k+1+a4k =3a4k+1+2a4k 由归纳假设,知a4k是3的倍数,故可知bk+1是3的倍数. n=k+1时,命题成立. 综合(1)和(2),可知对任意正整数n,数列bn的各项都是3的倍数. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 应用数学归纳法证明时,不用归纳假设而致误 【典例】 用数学归纳法证明1+5+9+(4n-3)=(2n-1)n. 易错分析:本题的易错点是不利用归纳假设,而是直接利用等差 数列
15、的前n项和公式加以证明,这与数学归纳法不相符. 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=11=1,等式成立. (2)假设当n=k(k1,kN+)时,等式成立,即1+5+9+(4k- 3)=k(2k-1), 则当n=k+1时,1+5+9+(4k-3)+(4k+1) =k(2k-1)+(4k+1)=2k2+3k+1=(2k+1)(k+1) =2(k+1)-1(k+1). 当n=k+1时,等式成立. 由(1)和(2),知对一切nN+,等式成立. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 纠错心得判断用
16、数学归纳法证明数学问题是否正确,关键要看两 个步骤是否完整,特别是第二步归纳假设是否被应用,如果没有用 到归纳假设,那么就是不正确的. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 所以当n=k+1时,不等式也成立. 由(1)和(2),可知原不等式对一切n2,nN+均成立. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 1.某个与自然数n有关的命题,若当n=k(kN+)时该命题成立,则可 推得当n=k+1时该命题
17、也成立,现已知n=5时命题不成立,则可推得( ) A.当n=4时该命题不成立 B.当n=6时该命题不成立 C.当n=4时该命题成立 D.当n=6时该命题成立 答案:A XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 中,验证当n=1时,等式左边应为 ( ) A.1B.1+a C.1+a+a2D.1+a+a2+a3 解析:当n=1时,等式的左边=1+a+a2. 答案:C XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 3.若f(n)=12+22+32+(2n)2,nN+,则f(k+1)-f(k)= . 解析:f(k+1)=12+22+33+(2k)2+(2k+1)2+2(k+1)2, f(k)=12+22+32+(2k)2, f(k+1)-f(k)=(2k+1)2+2(k+1)2. 答案:(2k+1)2+(2k+2)2 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 即当n=k+1时等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对任意nN+都成立.