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1、-1- 5 简单复合函数的求导法则简单复合函数的求导法则 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 复合函数的导数 (1)定义:对于两个函数y=f(u)和u=(x)=ax+b,给定x的一个值,就 得到了u的值,进而确定了y的值,这样y可以表示成x的函数,我们称 这个函数为函数y=f(u)和u=(x)的复合函数,记作y=f(x).其中 u=(x)为中间变量. (2)导数公式:复合函数y=f(x)的导数为yx=f(
2、x)=f(u)(x). 名师点拨求复合函数的导数的注意事项 (1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成,适 当选定中间变量. (2)尽可能地先将函数化简,再求导. (3)要注意复合函数求导法则与四则运算的综合运用. (4)复合函数的求导过程可简记为分解求导回代,熟练以后, 可以省略中间过程. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 【做一做1】 指出下列函数是怎样复合而成的: 解:(1)令u=g(x)=2x,则y=sin u,u=2x, y=f(u)=f(g(x)=sin 2x. (3)令u=g(x)=1-
3、2x,则y=logau,u=1-2x, y=f(u)=f(g(x)=loga(1-2x). XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 【做一做2】 求下列函数的导数. (1)y=(2x+1)5; 解:(1)设u=2x+1,则y=u5, yx=yuux=(u5)(2x+1)=5u42=10u4=10(2x+1)4. (2)设u=1-3x,则y=u-4,yx=yuux=(u-4)(1-3x)=-4u-5(-3) 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “”. XINZHIDAOXUE 新知导学 D
4、ANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 复合函数求导复合函数求导 【例1】 求下列函数的导数: (1)y=(2x+1)n(nN+); (2)y=sin(4x+3); (3)y=xcos 2x. 解:(1)y=(2x+1)n=n(2x+1)n-1(2x+1) =2n(2x+1)n-1. (2)y=sin(4x+3)=cos(4x+3)(4x+3)=4cos(4x+3). (3)y=(xcos 2x)=xcos 2x+(cos 2x)x =cos 2x-2xsin 2x. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当
5、堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 反思感悟求复合函数的导数要处理好以下环节: (1)中间变量的选择应是基本初等函数结构; (2)关键是正确分析函数和复合层次; (3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层的求导; (4)善于把一部分表达式作为一个整体; (5)最后要把中间变量换成自变量的函数; (6)复合函数求导,中间步骤可以省略,不必写出函数复合过程,可 以直接应用公式和法则,从最外层开始由外及里逐层求导. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 变式训练变式训练1
6、已知函数f(x)=ln(2x+1),则f(0)=( ) A.0B.1C.2D. 答案:C XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 变式训练变式训练2求下列函数的导数. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 综合应用综合应用 分析:先利用复合函数的求导法则求出函数f(x)的导数,再利用导 数的几何意义求切线方程. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEH
7、UO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 反思感悟根据导数的运算法则和复合函数求导法则可以求任何 一个初等函数的导数,从而解决了初等函数的求导问题,进而可以 解决与导数有关的实际问题. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 答案:2 变式训练变式训练4设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直, 则a= . 解析:y=aeax,且y=f(x
8、)=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0 垂直,k=2=f(0)=a,即a=2. 答案:2 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 没有分清复合函数的复合结构而致误 【典例】 求函数y=xe1-2x的导数. 易错分析:对e1-2x的求导应按照复合函数的求导法则进行,即(e1- 2x)=e1-2x(1-2x)=-2e1-2x. 解:y=e1-2x+x(e1-2x)=e1-2x+xe1-2x(1-2x) =e1-2x-2xe1-2x=(1-2x)e1-2x. 纠错心得1.求导数一定要弄清楚
9、函数的结构特征,分清是直接求 导函数,还是利用复合函数的导数公式求导. 2.复合函数y=f(x)的导数为yx=f(x)=f(u)(x).即对自变量 的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘中间变量对自变量的导 数,分步计算时,每一步都要明确是对哪个变量求导. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 解:令y=ln u,u=2x+3, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 1.函数y=cos (1+x2)的导
10、数是( ) A.2xsin (1+x2) B.-sin (1+x2) C.-2xsin (1+x2) D.xsin (1+x2) 解析:y=-sin (1+x2)(1+x2)=-2xsin (1+x2). 答案:C XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 2.函数y=e2x-4上x=2处的切线方程为( ) A.2x-y-3=0B.2x+y-3=0 C.ex-y-2e+1=0 D.ex+y+2e-1=0 解析:y=(e2x-4)=e2x-4(2x-4)=2e2x-4, k=2e22-4=2. 把x=2代入y=e2x-4,得y=1, 切点为(2,1). 函数y=e2x-4上x=2处的切线方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0. 答案:A XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 3.设函数f(x)=cos( x+)(0),若f(x)+f(x)是奇函数,则= . XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 4.求下列函数的导数.