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1、第八章第八章 立体几何立体几何 8 8. .1 1 空间几何体的空间几何体的结构结构 及其及其三视图和直观图三视图和直观图 知识梳理 -3- 知识梳理双基自测2341 1.空间几何体的结构特征 平行且相等 全等 任意多边形 有一个公共顶点的三角形 相似 知识梳理 -4- 知识梳理双基自测2341 矩形 直角边 直角腰 圆锥 半圆面或圆面 知识梳理 -5- 知识梳理双基自测2341 2.三视图 (1)几何体的三视图包括 ,分别是从几何 体的 方、 方、 方观察几何体画出的轮 廓线. (2)三视图的画法 基本要求: , , . 画法规则: 一样高, 一样长, 一 样宽;看不到的轮廓线画 线. 正视
2、图、侧视图、俯视图 正前 正左 正上 长对正 高平齐 宽相等 正侧 正俯 侧俯 虚 知识梳理 -6- 知识梳理双基自测2341 3.直观图 (1)画法:常用 画法. (2)规则 原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x轴、y轴的夹角 为 ,z轴与x轴和y轴所在平面 . 原图形中平行于坐标轴的线段,在直观图中仍平行于坐标轴. 平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中 , 平行于y轴的线段长度在直观图中 . 斜二测 45(或135) 垂直 保持不变 变为原来的一半 知识梳理 -7- 知识梳理双基自测2341 4.常用结论 (1)常见旋转体的三视图 球的三视图都是半径相等的圆. 底面与水平面平行放
3、置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的 等腰三角形. 底面与水平面平行放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的 等腰梯形. 底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的 矩形. 知识梳理 -8- 知识梳理双基自测2341 知识梳理 2 -9- 知识梳理双基自测3415 1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. ( ) (2)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之 间的部分.( ) (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.( ) (4)画几何体的三视图时,看不到的轮廓线应画虚线.( ) (5)用斜二测画法画水平放置
4、的A时,若A的两边分别平行于x 轴和y轴,且A=90,则在直观图中A=45.( ) 答案 答案 关闭 (1) (2) (3) (4) (5) 知识梳理 -10- 知识梳理双基自测23415 2.(教材习题改编P8TA1(2)给出下列命题: 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆 柱的母线; 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥; 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都 是圆锥; 棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3 答案 答案 关闭 A 知识梳理 -11- 知识梳理双基自测23415 解
5、析 不一定,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;不一定, 因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共 顶点的三角形”,如图(1)所示;不一定.当以斜边所在直线为旋转轴 时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图(2)所示, 它是由两个同底圆锥组成的几何体;错误,棱台的上、下底面是 相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长 不一定相等. 知识梳理 -12- 知识梳理双基自测23415 3.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几 何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( ) 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理
6、 -13- 知识梳理双基自测23415 4.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几 何体的侧(左)视图为( ) 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理 -14- 知识梳理双基自测23415 5.(2018湖北襄阳月考)如图,已知直观图四边形ABCD是一个底 角为45,腰和上底均为1的等腰梯形,则原平面图形的面积是( ) 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -15- 考点1考点2考点3 例1下列结论正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转 形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.若棱锥的侧棱长与底面多边形的
7、边长都相等,则该棱锥可能是 六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 思考如何熟练应用空间几何体的结构特征? 答案: D -16- 考点1考点2考点3 解析: A错误,如图是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的 几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B错误,如图,若 ABC不是直角三角形,或ABC是直角三角形但旋转轴不是直角 边所在直线,所得的几何体都不是圆锥;C错误,若该棱锥是六棱锥, 由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长, 这与题设矛盾. -17- 考点1考点2考点3 解题心得1.要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面 地去分析,多观察
8、实物,提高空间想象能力. 2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据 条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系 或增加线、面等基本元素,依据题意判定. 3.通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只 要举出一个反例即可. -18- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练1设有以下命题: 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; 底面是矩形的平行六面体是长方体; 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形; 棱台的相对侧棱延长后必交于一点; 其中真命题的序号是 . 答案: -19- 考点1考点2考点3 解析：命题符合平行六面体的定义,故命题是真命题;底面 是
9、矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题是假命题; 命题是真命题,如图,PD平面ABCD,其中底面ABCD为矩形,可 证明PAB,PCB为直角,这样四个侧面都是直角三角形;命题由 棱台的定义知是真命题. -20- 考点1考点2考点3 例2(1)右图是水平放置的某个三角形的直观图,D是ABC中 BC边的中点,且ADy轴,AB,AD,AC三条线段对应原图形中的 线段AB,AD,AC,则( ) A.ABADACB.ACADAB C.AB=ACADD.ADABAC C -21- 考点1考点2考点3 (2)如图,已知ABC的直观图ABC是边长为a的正三角形,则 原ABC的面积为 . 思考用斜二测画
10、法画直观图的方法技巧有哪些? -22- 考点1考点2考点3 解析:(1)ADy轴,根据斜二测画法的规则,在原图形中应有 ADBC,又AD为BC边上的中线,所以ABC为等腰三角形.AD为 BC边上的高,则有AB,AC相等且大于AD. -23- 考点1考点2考点3 (2)(方法一)建立如图所示的坐标系xOy,ABC的顶点C在y轴 上,边AB在x轴上,OC为ABC的高. 把y轴绕原点逆时针旋转45得y轴,则点C变为点C,且OC=2OC, 点A,B即为点A,B,长度不变. 已知AB=AC=a,在OAC中, 由正弦定理, -24- 考点1考点2考点3 -25- 考点1考点2考点3 解题心得1.在原图形中
11、与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x轴 或y轴平行,原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端 点再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图 中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出. 2.把水平放置的直观图还原成原来的图形,基本过程就是逆用斜 二测画法,使平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度变 成原来的2倍. 3.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的 面积有以下关系: -26- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练2已知正三角形ABC的边长为a,则它的直观图的面积是 . 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -27- 考点1考点2考点3 考向一 由空间
12、几何体的直观图识别三视图 例3一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图正确的是( ) 思考由直观图得三视图的基本思路是什么? 答案解析解析 关闭 该几何体是组合体,上面的几何体是一个五面体,下面是一个长方体,且五 面体的一个面即为长方体的一个面,五面体最上面的棱的两端点在底面的 射影到左右两边的距离相等,故选B. 答案解析 关闭 B -28- 考点1考点2考点3 考向二 由空间几何体的三视图还原直观图 例4某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都由正方 形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三 角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和 为 ( )
13、A.10 B.12C.14 D.16 思考由三视图还原几何体的直观图的基本步骤有哪些? 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -29- 考点1考点2考点3 考向三 由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图 例5如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个锥体 的侧视图和俯视图,则该锥体的正视图可能是( ) 思考各视图之间的联系是什么? 答案解析解析 关闭 由俯视图和侧视图可知原几何体是四棱锥,底面是长方形,内侧的侧面垂 直于底面,所以正视图为A. 答案解析 关闭 A -30- 考点1考点2考点3 解题心得1.由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和 俯视图的观察方向,注意看到的部分用实
14、线表示,看不到的部分用 虚线表示. 2.由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球 的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为 实物图. 3.由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部 分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三 视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给 出的部分三视图是否符合. -31- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练3(1)(2018安徽马鞍山二模)如图,点E在正方体ABCD- A1B1C1D1的棱CC1上,且CE= CC1,削去正方体过B,E,D1三点所在 的平面的下方部分,则剩下部分的侧(左)视图为( )A -32- 考点1考点2考点3 (2)(2018江西赣州十四县市期中)某几何体的三视图如图所示,则 此几何体的各个面中最大面的面积为( )B -33- 考点1考点2考点3 (3)(2018河北衡水调研)某几何体的正视图与俯视图如图所示,则 其侧视图可以为( )B -34- 考点1考点2考点3 解析:(1)先作出B,E,D1三点所在的平面,可以取AA1的中点F,则平 行四边形BED1F就是B,E,D1三点所在的平面(两个平行的平面被第 三个平面所截交线平行),所以剩下部分的侧(左)视图是A,故选A. (2)由三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥A1-BCD.