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1、8.4不可简约矩阵分式描述,不可简约MFD实质上是系统传递函数矩阵的一类最简结构MFD，通常也成为最小阶MFD。在线性时不变系统复频率域理论中，对系统的分析和综合总是相对于不可简约MFD进行讨论的。本节是对不可简约矩阵分式描述的一个系统性的讨论。主要内容包括不可简约MFD的定义和基本特性。,1,不可简约MFD,考虑q p传递函数矩阵G(s)， 和 为它的一个右MFD和一个左MFD。其中，D(s)和N(s)为p p和qp多项式矩阵， 和 为qq和qp多项式矩阵。下面给出G(s)的不可简约MFD的定义,2,称G(s)的一个右MFD 为不可简约或右不可简约，当且仅当D(s)和N(s)为右互质； 称G
2、(s)的一个左MFD 为不可简约或左不可简约，当且仅当 和 为左互质。,3,不可简约MFD的基本特性,结论8.18不唯一性对qp传递函数矩阵G(s)，其右不可简约MFD和左不可简约MFD均为不唯一。,4,结论8.19两个右不可简约MFD关系 设N1(s)D1-1(s)和N2(s)D2-1(s)为给定的传递函数矩阵G(s)的任意两个不可简约MFD，则必存在单模阵U(s)，使成立 D1(s) = D2(s)U(s)， N1(s) = N2(s)U(s),证明：三步证明： I. 构造U(s)：已知,令,等式成立,II. 证明U(s)为多项式矩阵：已知N2(s)，D2(s)为右互质，成立,5,多项式矩
3、阵,多项式矩阵,III. 证明U-1(s)也为多项式矩阵：由N1(s)，D1(s)为右互质可知，,所以U-1(s)也为多项式矩阵,如上证明U(s)为单模阵，所以性质1得证。,结论8.21广义唯一性 在一般意义下传函矩阵G(s)的不可简约MFD不唯一，但其满足广义唯一性，即一旦G(s)的一个不可简约MFD被确定，则所有其它的不可简约MFD即可由此构造出来。 取 则 也为 G(s)的右不可简约MFD。,6,7,8,9,结论8.25右不可简约MFD的同一性 对传函矩阵G(s)的所有不可简约MFD G(s) = Ni(s)Di-1(s)，i = 1，2， 必成立：(1)Ni(s)，i=1，2，具有相同
4、的史密斯形；(2)Di(s)，i=1，2，.，具有相同的不变多项式。,10,结论8.27左和右不可简约MFD的关系令DL-1(s)NL(s)和N(s)D-1(s)分别为给定传递函数矩阵G(s)的任一左不可简约MFD和右不可简约MFD，则必成立 deg det DL(s) = deg det D(s),11,结论8.28不可简约MFD最小阶属性 给定传函矩阵G(s)的一个MFD为N(s)D-1(s)或DL-1(s)NL(s)，其阶次定义为 nr= deg det D(s) 或 nl = deg det DL(s) 则当且仅当N(s)D-1(s)或DL-1(s)NL(s)为不可简约MFD时，必为最
5、小阶MFD。并且，N(s)D-1(s)和DL-1(s)NL(s)均为最小阶MFD时，必有nr= nl。,12,8.5 确定不可简约矩阵分式描述的算法,不可简约MFD在线性时不变系统的复频率域分析和综合种具有基本地位，由可简约MFD确定不可简约MFD是一个常遇到的基本问题。本节的内容着重介绍这个问题的几种常用算法。 基于最大公因子的算法 基于最大公因子构造定理的算法 由右可简约MFD确定左不可简约MFD的算法,13,14,基于最大公因子的算法 算法依据：G(s)的一个可简约MFD为 ，R(s)为 和 的gcrd且非奇异，取 那么N(s)D-1(s)必是G(s)的一个不可简约MFD。,步骤：,利用
6、行初等运算，求 和 的gcrd：R(s),计算R(s)的逆矩阵R-1(s),取 ，则N(s)D-1(s)为不可简约MFD。,15,基于最大公因子构造定理的算法,算法依据：令 为可简约MFD，单模矩阵U(s)使 R(s)为gcrd。表 其中，dimV11(s)=dim 。则V21(s)V11-1(s)是 的一个不可简约MFD。,步骤：,利用行初等运算，求U(s),计算U(s)的逆矩阵U-1(s)=V(s),分块化V(s)，V21(s)V11-1(s)为不可简约MFD,16,由右可简约MFD确定左不可简约MFD的算法,此算法提供由右可简约MFD 求出其左不可简约MFD DL-1(s)NL(s)的计
7、算方法。,步骤：,DL-1(s)NL(s)为所求不可简约MFD,求解矩阵方程 得到,左互质？,DL(s)= , NL(s)=,列初等运算求 的gcld RL(s),17,8.6 规范矩阵分式描述,埃尔米特形MFD 给定qp传递函数矩阵G(s)，则称NH(s)DH-1(s)为它的列埃尔米特形MFD，如果DH(s)具有列埃尔米特形。而称DLH-1(s)NLH(s)为G(s)的行埃尔米特形MFD，如果DLH(s)具有行埃尔米特形。,dii(s)为首1多项式，i=1,2p。 deg dii(s)deg dij(s),j=1,2i-1；当dii(s)=1，满足关系式dij(s)=0,18,结论8.31：
8、给定传递函数矩阵G(s)的所有不可简约右MFD，均具有相同的列埃尔米特形MFDNH(s)DH-1(s)；G(s)的所有不可简约左MFD，均具有相同的行埃尔米特形MFD DLH-1(s)NLH(s)。,证明： N1(s)D1-1(s)和N2(s)D2-1(s)为G(s)的任意两个不可简约MFD 成立 D1(s) = D2(s)U(s)， N1(s) = N2(s)U(s) 所以D1(s)和D2(s)具有相同的列埃尔米特形DH(s)。 导出N1(s)D1-1(s) = N1H(s)DH-1(s)， N2(s)D2-1(s) = N2H(s)DH-1(s) 得到 N1H(s) = N1(s)D1-1
9、(s)DH(s) = N2(s)D2-1(s)DH(s) = N2H(s) 证明完成,19,波波夫形MFD,给定qp传函矩阵G(s)，称NE(s)DE-1(s)为它的波波夫形右MFD，如果DE(s)具有波波夫形。而称DLE-1(s)NLE(s)为波波夫形左MFD，如果DLE(s)具有波波夫形。,结论8.32：给定传函矩阵G(s)的所有不可简约右MFD，均具有相同的波波夫形右MFD NE(s)DE-1(s)；G(s)的所有不可简约左MFD，均具有相同的波波夫形左MFD DLE-1(s)NLE(s) 。,20,导出任一不可简约MFD：,列既约？,化多项式矩阵为波波夫形，确定DE(s),计算NE(s) = G(s)DE(s)，则所要求波波夫形即为NE(s)DE-1(s),