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1、手 机：13969605386 邮 箱：qd- 办公室：J13-110,数 值 分 析 李桂玲,数值分析：数值计算方法,基础：分析、代数知识 工具：MATLAB数学软件,预备知识：,第一章,绪论,1.数值分析的背景,2.误差,1,数值分析的来源、发展 及其实际应用背景,一、举例：,已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（ ）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度 （如500米, 600米， 1000米）处的水温。,计算数学,二、现代科学研究的三大支柱,21世纪信息社会的两个主要特征
2、： “计算机无处不在” “数学无处不在”,21世纪信息社会对科技人才的要求： -会用数学解决实际问题 -会用计算机进行科学计算,建立数学模型,选取计算方法,编写上机程序,计算得出结果,科学计算解题过程,数值代数：方程求根、线性方程组求解、 特征值和特征向量的计算、 非线性方程组的求解；,数值逼近：插值与函数逼近、数值微分 和积分、 最小二乘法；,微分方程数值解：常微分方程数值解； 偏微分方程数值解： 差分法 有限元法 有限体积法,三、研究内容,一、误差的来源与分类,从实际问题中抽象出数学模型 模型误差,2 误 差,通过测量得到模型中参数的值 观测误差,求近似解 方法误差 (截断误差）,机器字长
3、有限 舍入误差,求近似解 方法误差 (截断误差）,例如，当函数,用Taylor多项式,近似代替时，数值方法的截断误差是,机器字长有限 舍入误差,用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位, = 3.1415926,小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来,代替位数较多的有限小数，如：,四舍五入后,在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差 （包括初始数据的误差）对计算结果的影响！,二、 误差的概念,1、绝对误差与绝对误差限,例 :若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，大约为1.45米，求1.45米的绝对误差。,1.45米的 绝对误差=？,不知道！,是近似值 的绝对误差,简称为误差。,定义：设 是准
4、确值，为 的一个近似值，称,但实际问题往往可以估计出 不超过某个正数 ，,即 则称 为绝对误差限，有了绝对误差限,就可以知道 的范围为,即 落在 内。,在应用上，常常采用下列写法来刻划 的精度。,2、相对误差与相对误差限（比值）,定义：设 是准确值， 是近似值，是近似值的误差，,通常取,为近似值 的相对误差，记作 ，,称,一般情况下是不知道 的，怎么办？,relative：相对的,事实上，当 较小时,是 的二次方项级,故可忽略不计.,相应地，若正数,满足,则称 为 的相对误差限。,3 、有效数字,由上述定义,定义：若 的误差限是某一位的半个单位，该位到 的第一位非零数字共有n位，就说 有n位
5、有效数字。, = 3.1415926,定义 :,若,其中， 是1到9中的一个数字； 是0到9中一个数字, 且 为整数,若,x*另一记法,取 作 的近似值， 就有三位有效数字；,取 作 的近似值， 就有五位有效数字。,例如：,注： 若一近似数是由原真值经四舍五入得到， 则必为有效数.,四舍五入保证成立,补：有效数字的运算规则,1 . 加减法： 以 小数点后位数最少的为准先修约后加减，结果位数也按点后位数最少的算。 例如, 0.0121+12.56+7.8432 可先修约后计算,即 0.01+12.56+7.84=20.41,2 .乘除法:结果保留位数应与 有效数字位数最少者相同。 例如, (0.
6、014224.43305.84)/28.67 可先修约后计算, (0.014224.4306)/28.7=3.69。 进行乘除运算时, 第一位数字大于或等于8, 其有效数字位数可多算一位。 如9.46可看做是四位有效数字.,注意,3 .乘方或开方: 结果有效数字位数不变。 例如, 6.542=42.8,4 .对数计算: 对数尾数的位数应 与真数的有效数字位数相同。 例如：,PH=-lg(H+),为提高计算的准确性, 在计算过程 中可暂时多保留一位有效数字, 计 算完后再修约.运用电子计算器运 算时, 要对其运算结果进行修约, 保 留适当的位数,不可将显示的全部 数字作为结果。,注意,4 、误差
7、限与有效数字的关系,则 至少具有 位有效数字。,Th1.1：,对于用 式表示的近似数 ，若 具有 位有效,数字，则其相对误差限为,反之，若 的相对误差限为,证：,因为n个有效数字,缩小x*,放大x*,已知条件,所以n个有效数字,3 数值运算的误差估计,一、四则运算,两个近似数 与 ,其误差限分别为 及 ,它们进行加减乘除运算得到的误差限分别为,二、函数误差估计,当自变量有误差时，计算函数值也会产生误差，其误差限可利用函数的Taylor展开式进行估计。,设 是一元函数， 的近似值为 ,以 近似 ，其误差限记作 ，可用Taylor展开,假定 与 的比值不太大, 可忽略 的高阶项,于是可得计算函数的
8、误差限为,当 为多元函数时计算 ,如果,的近似值为 ,则 的近似,于是函数值 的误差 由Taylor展开,得：,于是误差限为,而 的相对误差限为,(1.3.3),(1.3.4),例:已测得某场地长 的值为 ,宽 的值为 ,已知 , .试求 面积 的绝对误差限与相对误差限.,解:,绝对误差限：,相对误差限：,多元函数,4 数值计算中应该注意的一些原则,1.要使用数值稳定的算法,例：求,的值.,解：由于,初值,递推公式,按公式就可以逐步算出,注意此公式精确成立,What happened?!,不稳定的算法 ！,这就是误差传播所引起的危害 !,由题设中的递推公式可看出， 的误差扩大了,5倍后传给 ，
9、因而初值 的误差对以后各步,这就造成 的计算结果严重失真。,计算结果的影响，随着 的增大愈来愈严重。,要怎么做才能解决这个问题呢?,可求得I9 0.017，按改写后的公式可逐次求得,不妨设I9 I10，于是由,将公式,变为,I8 0.019 I7 0.021 I6 0.024 I8 0.028 I4 0.034 I3 0.043 I2 0.058 I1 0.088 I0 0.182,稳定的算法 ！,在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性会是一个非常重要的话题。,2.要避免两个相近的数相减,在数值计算中，两个相近的数作减法时 有效数字会损失。,例: 求,的值。当x = 1000，y
10、的准确值为0.01580,(1)、直接相减,类似地,(2) 将原式改写为,则 y = 0.01581,3.尽量避免绝对值太小的数作分母,例：,如分母变为0.0011，也即分母只有0.0001的变化时,结果相差这么大!,4. 避免大数吃小数,精确解为,例：用单精度计算 的根。,在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成为： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010, 算
11、法1：利用求根公式,算法2：先解出,再利用,注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。,例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算,1 + 2 + 3 + + 40 + 109,5. 简化计算步骤，避免误差积累。,一般来说，计算机处理下列运算的速度为,例：多项式求值：给定的x 求下列n 次多项式的值。,解：1. 用一般算法，即直接求和法；,2. 秦九韶方法；,算法的递推性,计算机上使用的算法常采用递推化的形式，,递推化的基本思想是把一个复杂的计算过程,归结为简单过程的多次重复。这种重复在程序,上表现为循环。递推化的优点是简化结构和节,省计算量。,例： 已知一个五次多项式为,用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。,解：,将多项式变形：,按由里到外的顺序，依此计算：,所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2,作业,2，4，9，12，15,