高考数学总复习精品课件（苏教版）：第九单元第七节 双曲线.ppt

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1、第七节 双曲线,基础梳理,1. 双曲线的定义 （1）平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件： 到两个定点F1、F2的距离的 等于常数2a; 2a F1F2. （2）上述双曲线的焦点是 ，焦距是 .,2. 双曲线的标准方程和几何性质,差的绝对值,F1,F2,F1F2,顶点坐标：,顶点坐标：,3. 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为 x2-y2=(0)，离心率e= ，渐近线方程为y=x.,典例分析,题型一 双曲线的定义及标准方程,【例1】已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切，与圆C2: (x-4)2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程.,分析 设动圆M的半

2、径为r，则MC1=r+r1,MC2=r-r2,则 MC1-MC2=r1+r2=定值，故可用双曲线定义求解轨迹方程.,解 由题意易知圆M如图所示.设动圆M的半径为r， 则由已知得MC1=r+ ， MC2=r- , MC1-MC2=2 . 又C1(-4,0),C2(4,0), C1C2=8,2 C1C2. 根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支. a= ,c=4,b2=c2-a2=14, 点M的轨迹方程是 (x2).,学后反思 （1）求动点的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，再用定义法或参数法来求轨迹方程. （2）在运用双曲线定义时，

3、应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支.若是一支，是哪一支.,举一反三,1. 如图，已知圆A的方程为(x+3)2+y2=4,定点C(3,0),求过点C且和圆A外切的动圆的圆心P的轨迹方程.,解析: 依题意得PA-PC=2.又PAPC,且AC=62, 由双曲线的定义知，点P的轨迹是以A,C为焦点的双曲线的右支. 故点P的轨迹方程为x2- =1(x1).,题型二 双曲线的几何性质,【例2】F1，F2为双曲线 的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P且PF1F2=30，求双曲线的渐近线方程.,分析 由PF1F2=30,结合双曲线定义分析PF1、PF2、

4、F1F2三边关系，求出a、b间的关系，进而得出渐近线方程.,解 设PF2=m，所以PF1=2m. F1F2=2c=3m,PF1-PF2=2a=m, e= ，e2=3= , 的渐近线方程为y= x.,举一反三,2. (2009陕西改编)已知双曲线C的方程为 （a0,b0）,离心率e= ，顶点到渐近线的距离为 ,求双曲线C的方程.,学后反思 充分利用重要的焦点三角形 中三边关系和双曲线渐近线的定义，可迅速求解.,解析： 由题意知，双曲线C的顶点(0,a)到渐近线ax-by=0的距离为 ,即 由 ,得 a=2, b=1, c=5. 双曲线C的方程为,题型三 直线与双曲线 【例3】(14分) 求经过点

5、( ,2) 且与双曲线 仅有一个公共点的直线方程.,分析 将直线方程设出代入双曲线方程，消y,可得关于x的方程，考虑到直线与双曲线只有一个公共点,因此，必须分所得方程是一次还是二次方程来讨论求解.,解 若直线的斜率存在，设为k, 则所求直线方程为y-2=k(x- ),2 由 ,将代入整理，得 .4 (1)当直线与双曲线相切时，仅有一个公共点， 所以有 即 (k2),解得k= . 故所求的直线方程为 6 (2)当k=2时，方程变为一次方程，且有唯一解,因而直线和双曲线仅有一个公共点，故得到y=2x+1,.8,学后反思 双曲线与直线的问题，往往需要设出直线方程，与双曲线方程联立，转化为方程的根与系

6、数间的关系问题，因此，应注意两个问题： （1）所设直线的斜率是否存在； （2）消元后方程是否一定是二次方程.,(3)当k=-2时，同理可得直线y=-2x+3; 若斜率不存在时，因为点( ，2)在直线x= 上且与双曲线相切，故所求的直线方程为x= .12 综上所述，符合题意的直线有四条，分别为 ,y=2x+1,y=-2x+3和x= 14,举一反三 3. 已知双曲线 ，过右焦点F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D，E，求双曲线C的离心率e的取值范围.,解析： 由已知得l： ,有 设 ， 则,点D，E分别在双曲线左、右两支上， , ，即 ,即 , ，即,

7、易错警示,错解 方程可化为 , ,即k=6.,错解分析 错解误认为k0，忘记讨论k的正负.,【例】双曲线 的焦距为6，求k的值.,正解 当k0时，方程化为 , ,解得k=6; 当k0时，方程化为 , ，解得k=-6. 综上，k=-6或6.,考点演练,10. (2009四川改编)已知双曲线 (b0)的左、右焦点分别为 , ,其一条渐近线方程为y=x,点 在该双曲线上，求 的值.,解析: 由渐近线方程y=x,得b=2.又点 在双曲线上,代入 ,得 .若 (2,0), (-2,0), 若 ，同理可得,11. 已知双曲线的渐近线方程为 ，并且焦点都在圆x2+y2=100上，求双曲线方程.,解析： 方法

8、一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为 渐近线的方程为 ，并且焦点都在圆x2+y2=100上， ， 解得 a=6， a2+b2=100， b=8.双曲线的方程为 ； 当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为 渐近线的方程 ，并且焦点都在圆x2+y2=100上， , 解得 a=8, a2+b2=100, b=6.,另一条双曲线的方程为 . 综上,双曲线的方程为 和 .,方法二：设双曲线的方程为42x2-32y2=(0), 从而有 ，解得=576. 故双曲线的方程为 和 .,12. 双曲线 的离心率 ,直线l过A(a,0),B(0,-b)两点，且原点O到直线l的距离是 (1)求双曲线的方程； (2)过点

9、B作直线m,交双曲线于M，N两点，若 ,求直线m的方程.,解析: (1)由 ,得 设直线l的方程为 ,则 , ,所要求的双曲线方程为 (2)设直线m的方程为y=kx-1, , 将y=kx-1代入双曲线方程，得 即 , 直线m的方程为 或,第三节 圆的方程,基础梳理,1. 圆的标准方程 （1）方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)表示圆心为 ,半径为 r 的圆的标准方程. （2）特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为 .,2. 圆的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+ )2+(y+ )2= .故有：（1）当D2+E2-4F0时，方程表示以 为圆心，以

10、为半径的圆;,(a,b),x2+y2=r2,3. 点与圆的位置关系 对于平面上的任意一点M(x0,y0)和一个圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2, 点M与圆C的位置关系及判断方法如下： （1）点M在圆外(x0-a)2+(y0-b)2r2; (2)点M在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (3)点M在圆内(x0-a)2+(y0-b)2r2.,4. 求圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：,（2）当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(- ,- ); (3)当D2+E2-4F0时，方程不表示任何图形.,典例分析,题型一 求圆的方程,【例1】求过两点A(

11、1,4)、B（3，2）且圆心在直线y=0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.,分析 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标与圆的半径的大小;而要判断点P与圆的位置关系，只需看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系.若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内.,（1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D，E，F的方程组； （3）解出a，b，r或D，E，F,代入标准方程或一般方程.,（1-a)2+16=r2， a=-1, (3-a)2+4=r2， 解得 r2=20. 所求圆的方程为（x+1)2+y2=20. 方法二：设

12、圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为圆心在x轴上，则 =0,即E=0.又圆过A（1,4）和B（3,2），所以 D+17+F=0, 解得 D=2, 3D+13+F=0, E=0, F=-19. 所以圆的方程为x2+y2+2x-19=0.,解 方法一：设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 圆心在y=0上，b=0,圆的方程为(x-a)2+y2=r2. 又该圆过A(1,4)、B(3,2)两点,方法三：因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段 AB的垂直平分线l上.又因为kAB= =-1,故l的斜率为1. 又AB的中点为（2，3）， 故AB的垂直平分线l的方程为y

13、-3=x-2, 即x-y+1=0. 又知圆心在直线y=0上，故圆心坐标为(-1,0), 所以半径r=AC= . 故所求圆的方程为（x+1)2+y2=20. 又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离为 d=PC= =5r,所以点P在圆外.,学后反思 （1）本题方法一与方法二都使用了待定系数法，其 中方法一设了圆的标准方程，方法二设了圆的一般方程，都是 结合条件来求所设方程中的待定系数；方法三则应用了平面几 何知识：圆心与弦的中点的连线与弦垂直.一般而言，在解析几 何问题中，能用上平面几何知识，会使解题变得相对简单. (2)无论哪种解法，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的 量，然后根据圆心与定

14、点之间的距离和半径的大小关系来判定 点与圆的位置关系.,举一反三 1. 求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程.,解析: 因为圆经过点A(5,2),B(3,2),所以圆心在x=4上;又圆心在2x-y-3=0上，所以可得圆心为（4，5）. 可设圆的方程为 ,又圆过B(3,2)， 所以 ,即r2=10. 故圆的方程为,题型二 与圆有关的参数问题,【例2】(2009威海模拟）已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点A(1,2),要使过定点A的圆的切线有两条.求实数a的取值范围.,分析 (1)方程表示圆，则D2+E2-4F0,即a2+4-4a20. (

15、2)由定点A的切线有两条，则点A一定在圆外. 解 已知x2+y2+ax+2y+a2=0表示圆， 则应满足a2+4-4a20,即4-3a20, 又A应在圆外，有12+22+a+22+a20,即 a2+a+90, 由,得- a . 故a的取值范围是(- , ).,学后反思 （1）一般地，方程表示圆隐含着条件D2+E2-4F0， 此点易被忽视. （2）点(x0,y0)在x2+y2+Dx+Ey+F=0外，x02+y02+Dx0+Ey0+F0.,答案： -3,举一反三 2. (2009福州模拟)圆 与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若APB=90,则实数c=.,解析： 圆的方程可化为 ,5-c0. P(

16、2,-1),又APB=90,PA=PB, 2=PBsin 45, PB=22. 5-c=8,c=-3.,题型三 与圆有关的最值问题,【例3】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求 的最大值和最小值； （2）求y-x的最大值和最小值； （3）求x2+y2的最大值和最小值.,解 原方程可化为（x-2）2+y2=3,表示以（2，0）为圆心， 为半径的圆.,分析 根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解.,（1） 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设 =k,即 y=kx.当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此 时 ,解得k= .(如图1） 所以yx的

17、最大值为 ,最小值为- . (2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距.当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时 ,解得b=-2 .（如图2） 所以y-x的最大值为-2+ ，最小值为-2- .,(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方.由平面几何知识 知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. （如图3） 又圆心到的原点的距离为 . 所以x2+y2的最大值是（2+ ）2=7+4 , x2+y2的最小值是（2- ）2=7-4,学后反思 （1）本例中利用图形的直观性，使代数问题得到非常简捷的解决，这是数形巧妙结合的好处. （2）本例的解题关键在于能否抓

18、住“数”中的某些结构特征，从而联想到解析几何中的某些公式或方程，从而挖掘出“数”的几何意义，实现由“数”到“形”的转化.,(3)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： 形如=y-bx-a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； 形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； 形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题.,举一反三,3.已知圆C：（x-3）2+(y-4)2=1,点A(-1,0),B(1,0),点P为圆上的动点，求d=PA2+PB2的最大值、最小值及对应的点P坐标.,解析 设P(x0,y0),则d=PA2+PB2

19、=(x0+1)2+y02+(x0-1)2+y02 =2(x02+y02)+2.欲求d的最值，只需求=x02+y02的最值，即求圆 C上的点到原点距离平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆 的两个交点P1，P2即为所求. 设过O,C两点的直线交圆C于P1，P2两点，易知OC所在直线方程 为y= x，则min=(OC-1)2=16=OP12, 此时dmin=216+2=34,并易得P1( ); max=(OC+1)2=36=OP22, 此时dmax=236+2=74,并易得P2( ).,题型四 圆的方程的实际应用 【例4】(14分）在气象台A正西方向300千米处有一台风中心B，它以每小时40千米

20、的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响，问：从现在起，大约多长时间后，气象台A所在地将受台风影响？持续多长时间？,分析 几小时后气象台所在地受到台风影响，就是指以台风中心为圆心的圆何时开始经过该城市，持续多长时间即为台风圆何时离开.建立直角坐标系，用时间变量t表示出B点坐标，进而求解.,解 以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系.如图，则现在台风中心B的坐标为（-300，0）.根据题意可知,t小时后，B的坐标为 （-300+40tcos 45,40tsin 45）,(300+202t,202t）.3 因为以台风中心为圆心，以250

21、千米为半径长的圆上和圆内的区域将遭受台风影响，所以气象台A在圆上或圆内时，将受台风影响. 所以令AB250,即（-300+202t2+(202t)22502,7 整理得16t2-1202t+2750,.10 解得152-574t152+57412 故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时.14,学后反思 在解决有关实际问题时，关键要明确题意，根据所给条件建立直角坐标系，建立数学基本模型，将实际问题转化为数学问题解决.,举一反三 4. 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍.已知A、

22、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：运费和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在的方程的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？,解析: 如图，以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系.AB=10, A(-5,0),B(5,0). 设P(x,y),P到A、B两地购物的运费分别是3a、a(元/公里). 当由P地到A、B两地购物费用相等时，即价格+A地运费=价格+B地运费， 化简整理，得 (1)当P点在以 ,0为圆心、154为半径的圆上时，居民到A地或B地购货总费用相等，此时到A地或B地购物均可.,

23、（2）当P点在上述圆内时， .此时到A地购物合算. （3）当P点在上述圆外时， .此时到B地购物合算.,考点演练,10. (2009天津)若圆 与圆 （a0）的公共弦的长为 ,求a的值.,解析： 易知 的半径为 ，画图可知 ,解得a=1.,11. （2010济南模拟）两圆 和 相交于PQ两点，若点P的坐标是(1,2),求点Q的坐标.,解析： 由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为 (-1,1),(2,-2),则过它们圆心的直线方程为 ,即y=-x，根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称，故由P(1,2)可得它关于直线y=-x的对称点,即点Q的坐标为(-2,-1).,12. 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为 的圆的方程.,解析: 设所求的圆的方程是 则圆心(a,b)到直线y-x=0的距离为 ,即 . 所求的圆与x轴相切， . 又圆心在直线3x-y=0上，3a-b=0. 联立得：a=1,b=3, 或a=-1,b=-3, , 所求圆的方程为 或,