《高考数学总复习精品课件（苏教版）：第八单元第四节 基本不等式及其应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学总复习精品课件（苏教版）：第八单元第四节 基本不等式及其应用.ppt（47页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第八章 不等式,知识体系,第四节 基本不等式及其应用,基础梳理,2. 几个重要的不等式 (1)a2+b2 (a,bR). (a,b同号). (3)ab (a,bR).,a0,b0,a=b,2ab,2,1. 基本不等式 (1)基本不等式成立的条件: . (2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号.,3. 利用基本不等式求最值问题 已知x0,y0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 时,x+y有 值 是 .(简记:积定和最小) ()如果和x+y是定值p,那么当且仅当 时, xy有 是 .(简记:和定积最大),典例分析,题型一 证明不等式,【例1】已知a0,b0,c0,且a+b+c=1, 求证
2、: 9.,x=y,最小,最大,x=y,证明 = (a+b+c)+ (a+b+c)+ (a+b+c) =3+ + + + + + = 3+2+2+2=9.,学后反思 本题如果改为a0,b0,c0,求(a+b+c)（ ）9就比较明显.用a+b+c=1的条件（a+b+c）“隐”去，造成了思考上的困难,因此应注意“1”的代换.构造基本不等式，使其积为定值，并使得等号同时成立.,分析 将a+b+c=1代入不等式左边,构造基本不等式模型,再利用基本不等式证明.,举一反三 1. 设a0,b0,c0,求证:,证明: a0,b0, 同理, , 即,题型二 求最值,【例2】(1)设00,y0,且x+y=1,求 的
3、最小值.,分析 (1)由00,8-3x0. 由于3x+(8-3x)=8,可由基本不等式得 (2)原式变为 ,再讨论a-4的正负. (3)由 ,再用基本不等式求最值.,解 (1)020, , 当且仅当3x=8-3x,即 时取等号, 当 时, 的最大值是4.,(2)显然a4,当a4时,a-40, ,当且仅当 时,取等号;,(3)x0,y0,且x+y=1, ,当且仅 当 ,即x=2y时等号成立， 当 时， 有最小值18.,当a4时,a-40, ， 当且仅当 ,即a=4- 时,取等号. 的取值范围是(-,- +4 +4,+).,学后反思 (1)在利用基本不等式求函数或代数式的最值时,有时不一定恰好能用
4、上基本不等式,因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理,通过凑项的办法(一般是凑和或者积为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解.本题第 (2)小题中 +a虽不是定值,但变形为 +(a-4)+4即可发 现 (a-4)=3为定值,故可用基本不等式求之.分式函数求 最值,通常化成y=mg(x)+ +B(A0,m0),g(x)恒正或恒负)的 形式,然后运用基本不等式来求最值.,(2)第(3)小题要求根据条件求最值,如何合理利用条件x+y=1是解答本题的关键,方法是在式子上乘以(x+y).利用基本不等式求最值时,要注意三个条件,即“一正、二定、三相等”，本题常见的错解为：,x0,y0, .此法错误的
5、原因是没有考虑等号成立的条件 和x=y同时成立是不可能的.所以在不等式连续放缩的时候,要时刻注意是否在同一条件下进行放缩,放缩时还要注意目的性、同向性，不要出现放缩后不能比较大小的情况.在第(2)小题中当a4,即a-40时,要用基本不等式必须前面添负号变为正.,举一反三 2. 求f(x)= +x的值域.,解析： 由已知得 (1)若x2,则x-20. 故 当且仅当 ,即x=3时，取等号. (2)若x2,则x-20.故 所以f(x)0,当且仅当 ,即x=1时，取等号. 由（1）、(2)可知， 的值域为 （-,04,+）.,分析 这是一道建筑工程类问题，解决本题的突破点是将总费用分成三个部分：（1）
6、建花坛MNPQ的费用；(2)阴影部分铺花岗岩地坪费用；（3）草坪费.,题型三 实际应用 【例3】 (14分)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 的十字型区域.现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/ ,在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/ ，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/ . (1)设总造价为S元，AD的边长为x m,试建立S关于x的函数关系式； （2）计划至少要投多少元，才能建造这个休闲小区?,解 （1）设DQ=y则 , ,.3 7
7、 (2) 10 当且仅当 ,即x=10时取等号. 即计划至少要投入11.8（万元）才能建造这个休闲小区.14.,学后反思 用基本不等式解决实际问题时，一般都是求某个量的最值，先把要求最值的量表示为某个变量的函数，再利用基本不等式求该函数的最值，求最值时，仍要满足前面所说的三个求最值的要求，有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个关系式，这时，问题变成了一个条件最值，可用前面求条件最值的方法来求最值.,举一反三 3. 某游泳馆出售冬季游泳卡,每张240元.其使用规定:不记名,每卡每次只限一人,每天只限一次.某班48名同学,老师打算组织同学们集体去游泳,除需购买若干
8、张游泳卡外,每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名同学,每次的包车费均为40元. (1)若使每个同学游8次,每人最少应交多少元钱? (2)若使每个同学游4次,每人最少应交多少元钱?,解析： 可设买x张游泳卡,总开支y元,则 (1)每批去x名同学,共需 批. 总开支又分为:买卡所需费用240x; 包车所需费用 (0x48,xN*), 当且仅当 ,即x=8时取等号. 每人最少应交 =80(元).,(2)每批去x名同学,共需去 批.总开支又分为: 买卡所需费用240x;包车所需费用 (0x48,xN*), 当且仅当 ,即x5.66时取等号. 又xN*,当x1=5时, 当x2=6时, ,当x=6时,y
9、有最小值 每人最少应交 (元).,易错警示,【例】已知两正数x,y满足x+y=1,求 的最小值.,错解 方法一：因为对任意a0恒有a+1a2,从而 4, 所以z的最小值为4. 方法二：x+y=1,x2+y2+2xy=1, x2+y2=1-2xy, = (x2y2+x2+y2+1) .,错解分析 方法一中z=4成立的条件是 且 ，即x=1且 y=1，与x+y=1相矛盾；方法二中z=2（ -1）的条件是 =xy， 即xy=2,这与0xy 相矛盾.,正解 由x+y=1知x2+y2+2xy=1,x2+y2=1-2xy,从而有 z= = (x2y2+x2+y2+1) = (2+x2y2-2xy)= ,
10、令xy=t(0t ,t= 时，x=y= ), 则z= = +t-2. 令f(t)= +t,不难证明f(t)= +t在(0，14上单调递减, 当t= 时，f(t)= +t取最小值334. 即当x=y= 时，z= 取最小值254.,考点演练,10. 若lg x+lg y=2,求 的最小值.,解析： lg x+lg y=2, lg xy=2,即xy=100, （当且仅当x=y=10时取等号） 的最小值为,11. 已知x0,y0,且x+y=1. (1)求 的最小值; (2)求 的最大值.,解析: （1）方法一：x0,y0,且x+y=1, （当且仅当x=2y时取等号） 方法二:x0,y0,且x+y=1,
11、 可令 , ,0,2,则 当且仅当 ,即 , 时等号成立. 当 , 时， 有最小值18.,(2)当a,b0时，a+b2 , (当且仅当a=b时取等号). x0,y0，且x+y=1, 当且仅当2x+1=2y+1,即 时取等号.,12. (2008湖北)如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小 相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之 和为18 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,两栏之间的中缝空 白的宽度为5 cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能 使矩形广告面积最小?,解析：方法一:设矩形栏目的高为a cm,宽为b cm, 则ab=9 000. 广告的高为a
12、+20,宽为2b+25,其中a0,b0. 广告的面积为S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500 =18 500+25a+40b18 500+ =18 500+ =24 500,当且仅当25a=40b时等号成立，此时b= ,代入式得a=120,从 而b=75,即当a=120,b=75时，S取得最小值24 500，故广告的高 为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.,方法二:设广告的高和宽分别为x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为x-20, ,其中x20,y25. 两栏面积之和为2(x-20) =18 000,由此得y= +25, 广告的面积S=xy=x(
13、 +25)= x+25x, 整理得S= +25(x-20)+18 500,因为x-200,所以S +18 500=24 500, 当且仅当 =25(x-20)时等号成立. 此时有(x-20)2=14 400(x20),解得x=140, 代入y= +25,得y=175. 即当x=140,y=175,时,S取得最小值24 500, 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使广告的面积最小.,第六节 椭圆,基础梳理,1. 椭圆的定义 （1）平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件: 到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a; 2a F1F2. (2)上述椭圆的焦点是 ，椭圆的焦距是F1
14、F2.,2. 椭圆的标准方程和几何性质,F1、F2,-a,-a,-b,-b,(-a,0),(0,-b),(a,0),(0,b),(0,-a),(-b,0),(0,a),(b,0),2a,2b,2c,(0,1),a2-b2,典例分析,题型一 椭圆的定义及其标准方程,【例1】已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 和 ，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.,分析 方法一：用待定系数法，设出椭圆方程的两种形式后，代入求解. 方法二：先由椭圆定义，确定半长轴a的大小，再在直角三角形中，利用勾股定理求c,然后求b.,解 方法一：设椭圆的标准方程 或 ,两个焦点分别
15、为F1、F2，则由题意知 2a=PF1+PF2= , a= . 在方程 中,令x=c,得y= ； 在方程 中,令y=c,得x= . 依题意知 = ,b2= . 即椭圆的方程为,方法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,则 PF1= ,PF2= . 由椭圆的定义,知2a=PF1+PF2= ,即a= .,由PF1PF2知，PF2垂直于长轴. 故在RtPF2F1中，4c2=PF12-PF22= , c2=53，于是b2=a2-c2= . 又所求椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为,学后反思 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来
16、设方程，分别计算；有时也可以直接设成 （2）过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为 .,举一反三 1. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3,2),求椭圆的方程.,解析: （1）当焦点在x轴上时，设椭圆方程为 (ab0), 则 解得 此时所求的椭圆方程为,(2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为 (ab0)，则 解得 此时所求的椭圆方程为 综上，所求的椭圆方程为 或,题型二 椭圆的几何性质 【例2】 已知P是椭圆 (ab0)上一点，F1、F2 分别是左、右两个焦点. （1）若 (0)，求证:F1PF2的面积为 (2)若存在点P,使 ，求椭圆离
17、心率的取值范围.,分析 （1） 为焦点三角形，设 , ,则m+n=2a,而 只要将mn用m+n表示出来即可. （2）若求离心率e的取值范围，则必须依据条件，得到关于e的不等式求解.,解 (1)证明：如图所示，设 , , 的面积为S，则 . 在 中， m+n=2a,1+cos 0, . 由、得 (2)当 时，由(1)得 又 (当且仅当m=n时取等号), e , e的取值范围为 ,1).,学后反思 本题涉及到椭圆的顶点，长轴、短轴、离心率等几何性质，解题时应理清它们之间的关系，结合图形挖掘它们之间的数量联系，从而使问题得到解决.,举一反三 2. (2009北京)椭圆 的焦点为 , ,点P在椭圆上，
18、若|P |=4,求|P |及 的大小.,解析: , , ,又|P |=4,且|P |+|P |=2a=6, |P |=2,又由余弦定理，得 ,题型三 直线与椭圆的位置关系,【例3】(14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.,分析 (1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.（2）直线方程与椭圆方程联立后得到交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的
19、右顶点可得到两直线垂直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系.,解 （1）据题意设椭圆的标准方程为 , 由已知得a+c=3,a-c=1, .2 a=2,c=1,b2=a2-c2=3, 椭圆的标准方程为x24+y23=1. .4 (2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 y=kx+m， x24+y23=1， 得（3+4k2）x2+8mkx+4(m2-3)=0, .6 则由题意得 =64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)0,即3+4k2-m20. 又x1+x2= ，x1x2= ， y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=
20、8,以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0), kADkBD=-1,即 , y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0, , 即7m2+16mk+4k2=0. 解得m1=-2k,m2= ,且均满足3+4k2-m2012 当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),直线过定点（2，0）,与已知矛盾； 当m2=- k时,l的方程为y=k(x- ),直线过定点( ,0). 所以直线l过定点，定点坐标为( ,0). 14,学后反思 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况. （2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐
21、标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础.,举一反三,3. 若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C： 于A,B两点，且A,B关于点M对称，求直线l的方程.,解析： 设A,B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2). 已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1）显然直线l的斜率存在,从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程，得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为A,B关于点M对称，所以 , 解得k= . 所以直线l的方程为y= (x+2)+1,即8x-
22、9y+25=0.,【例4】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S. 求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域.,题型四 椭圆的实际应用,分析 建立坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而求出S与x的函数式.,解 依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如下图）， 则半椭圆方程为 (y0), 解得 (0xr).,S= (2x+2r) = (x+r), 由S0和C与D不重合，得其定义域为x0xr.,学后反思 解答实际应用题可分四个步骤： (1)阅读理解
23、材料：读懂材料中量与量之间的关系，模型是什么（是方程还是不等式等）; (2)建立变量关系：利用量与量的已知关系列出相应的关系式（建模）; (3)讨论变量性质：利用代数知识对所建立的变量关系式化简、推导并讨论变量具有的性质（单调性、最大值或最小值等）; (4)作出问题结论：最后的结论不可少，注意实际问题中变量的含义.,举一反三,4. 已知某荒漠上有两个定点A、B，它们相距2 km.现准备在荒漠上围垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.问农艺园的最大面积能达到多少?,解析： 设平行四边形的另两个顶点为C、D，由围墙总长为8 km得CA+CB=4AB=2,
24、由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆.以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为 易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD面积最大，则以C、D为此椭圆短轴的两端点，此时面积S= km2.,易错警示,【例】若椭圆 的离心率 ,则k的值为 .,错解 由已知 , ,又 ,解得k=4.,错解分析 忽视了椭圆的焦点位置不确定，即焦点也有可能在y轴上的情况.,正解 （1）若焦点在x轴上，即k+89时， , ,解得k=4; (2)若焦点在y轴上，即0k+89时， , ,解得 综上，k=4或,考点演练,10. 椭圆 的焦点为
25、, ，点P为其上的动点， 当 为钝角时，求点P的横坐标 的取值范围.,解析: 由题意 ( ,0), ( ,0),设 则 , . 又 , 由、得： ， 则点P的横坐标x0的取值范围为 ( , ),11. 求以坐标轴为对称轴，一焦点为（0， ）且截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为 的椭圆方程.,解析： 根据题意所求椭圆的方程为 (ab0). c= , 由 ,消去y,得 设直线与椭圆相交于 , 两点， 则 , 是上述方程的根，且有0, 即 恒成立. 即 , .故所求椭圆方程为,12. (2008北京）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆 上，对角线BD所在直线的斜率为1. （1）当直线BD过点（
26、0，1）时，求直线AC的方程； （2）当ABC=60时，求菱形ABCD面积的最大值.,解析： （1）由题意，得直线BD的方程y=x+1.因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD. 于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由 , 得 因为A、C在椭圆上,所以 ，解得 设A，C两点坐标分别为 ，,则 , 又 , ，所以 所以AC的中点坐标为 由四边形ABCD为菱形可知， 点 在直线y=x+1上，即 ,解得n=-2. 所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0. (2)因为四边形ABCD为菱形，且ABC=60, 所以AB=BC=CA,所以菱形ABCD的面积 由（1）可得 所以 所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值,