《高考数学总复习精品课件（苏教版）：第六单元第二节 平面向量的基本定理及坐标表示.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学总复习精品课件（苏教版）：第六单元第二节 平面向量的基本定理及坐标表示.ppt（47页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二节 平面向量的基本定理及坐标表示,基础梳理,1. 平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量a, 有且只有 一对实数1,2,使a= 1e1+2e2. 其中， 不共线的向量e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (2)平面向量的正交分解 一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=1e1+2e2的形式,我们称它为向量a的分解.当e1,e2所在直线 互相垂直 时,这种分解也称为向量a的正交分解.,(3)平面向量的坐标表示 一般地,对于向量a,当它的起点移至原点O时,其终点的坐标(x,y)称为向量
2、a的(直角)坐标,记作 a=(x,y). 若分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,则a=x i+yj.,2. 平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算,(2)向量坐标的求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量终点 的坐标减去 始点 的坐标. (3)平面向量平行(共线)的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a0,则a与b共线 a= .,典例分析,b,题型一 平面向量基本定理 【例1】 如图,在OAB中, ,AD与BC交于点M,设 ,以a、b为基底表示 .,分析 本题可用待定系数法,设O
3、M=ma+nb(m,nR),再利用向量的运算及共线向量的条件列出方程组,确定m,n的值.,解 设OM=m a+n b(m,nR), 则AM=OM-OA=(m-1)a+n b, 因为A,M,D三点共线,所以 ,即m+2n=1.,又因为C,M,B三点共线,所以 ,即4m+n=1. 所以,学后反思 (1)在平面向量基本定理的应用中,当基底确定后,向量的表示是唯一的.合理地选取基底会给解题带来方便. (2)解决该类问题,用基底表示向量是基本方法,还应注意三角形法则、中点坐标公式的熟练应用.,举一反三,1.如图所示，OADB是以向量 =a, =b为边的平行四 边形，点C为对角线ABOD的交点，又BM=
4、BC,CN= CD,试用a,b表示,解析 ：,题型二 平面向量的坐标运算,分析 根据题意可设出点C、D的坐标,然后利用已知 的两个关系式,列方程组,求出坐标.,解 设点C、D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 由题意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).因为 所以有 所以点C、D的坐标分别是(0,4),(-2,0),从而CD=(-2,-4). 学后反思 向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只与起点、终点、相对位置有关,三者中给出任意两个,可求第三个.在求解时,应将向量坐标看作一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运
5、算是向量中最常用也是最基本的运算,必须熟练掌握.,举一反三 2.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA,CN=2CB,求M、N及MN坐标. 解析：A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), CA=(1,8),CB=(6,3), CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6). 设M(x,y),则CM=(x+3,y+4)=(3,24), 同理可求N(9,2),因此MN=(9,-18).,题型三 平面向量的坐标表示 【例3】 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)若(a+k c)(2b-a),求实数k; (2)设d
6、=(x,y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d. 分析 (1)由两向量平行的条件得出关于k的方程,从而求出实数k的值. (2)由两向量平行及|d-c|=1得出关于x,y的两个方程,解方程组即可得出x,y的值,从而求出d.,解 (1)(a+kc)(2b-a), 又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 2(3+4k)-(-5)(2+k)=0, ,(2)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4), 又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,学后反思 (1)与平行有关的问题,一般地可考虑运用向量平行的充要条件,用待定系数法求解.,(2)向量共线定理的坐标表示提供了通过
7、代数运算来解决向 量共线的方法,也为点共线、线平行问题的处理提供了简单 易行的方法.解题时要注意向量共线定理的坐标表示本身具 有公式特征,应学会利用这一点来构造函数和方程,以便用 函数与方程的思想解题.,举一反三,3.已知梯形ABCD中， 则A（1，1），B(3,-2),C(- 3,-7),若 。求D点坐标。,解析 设D点坐标（x,y),则,(x-1)+10(y-1)=0,解得x=-9,y=2, D点坐标为（-9，2）,分析 利用向量相等,建立点P(x,y)与已知向量之间的关系,表示出P点的坐标,然后根据实际问题确定P点坐标的符号特征,从而解决问题.,解 (1)O(0,0),A(1,2),B(
8、4,5), OA=(1,2),AB=(3,3), OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t). 若P在x轴上,则2+3t=0,解得 若P在y轴上,则1+3t=0,解得 若P在第二象限,则,(2)OA=(1,2),PB=PO+OB=(3-3t,3-3t), 若四边形OABP为平行四边形, 则OA=PB,而 无解, 故四边形OABP不能成为平行四边形.,学后反思 (1)向量的坐标表示,实际上是把向量的运算代数化,从而实现了数与形的有机结合.这样很多的几何问题都可以转化为代数的运算,体现了向量的优越性. (2)利用设出参数求参数是解决向量坐标运算问题的常用方法,而方程(组)是求解的重要工具,这一方法
9、需灵活应用.,举一反三 4. 如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标. 解析 方法一:设P(x,y), 则OP=(x,y),OB=(4,4). OP,OB共线, 4x-4y=0. 又CP=(x-2,y-6),CA=(2,-6), 且向量CP、CA共线, -6(x-2)+2(6-y)=0. 解由组成的方程组,得x=3,y=3, 点P的坐标为(3,3).,方法二:设OP=tOB=t(4,4)=(4t,4t), 则AP=OP-OA=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t), AC=(2,6)-(4,0)=(-2,6). 由AP,AC共线的充要条件知
10、(4t-4)6-4t(-2)=0, 解得 ， OP=(4t,4t)=(3,3)， 点P的坐标为(3,3).,易错警示,【例2】 已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7)，向量 平行 吗？直线AB平行于直线CD吗？,错解分析 在证明三点共线或直线平行时，直接由 得 ABCD，这是不正确的。因为向量平行与直线平行存在一定的差异： 向量平行不等于对应的直线平行，还可能出现直线的重合；而直线平 行时，对应的向量平行。所以解题时应区分开这一点。,正解 =（2，4）， =（1，2）， 2241=0， 又 =（2，6）， =（2，4）， A,B,C三点不共线，直线AB与直线CD不重合，
11、 ABCD.,错解 =（1（-1），3（-1）=（2，4）， =（2-1， 7-5）=（1，2），又2241=0， ，ABCD.,考点演练,10.已知a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b与a-3b平行，求k的值。,解析 方法一：ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时，存 在唯一实数 ，使ka+b= (a-3b), (k-3,2k+2)= (10,-4), ,方法二：ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4), (ka+b) (a-3b), (k-3) (-4) 10(2k+2)=0, k=-,11.已知ABC中，A(7,8),
12、B(3,5),C(4,3),M、N是分别AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交与F，求,解析 如图所示，A(7,8),B(3,5),C(4,3), =(3-7,5-8)=(-4,-3), =(4-7,3-8)=(-3,-5). D是 的中点， 又M、N分别为AB、AC的中点，F为AD的中点, ,12.在 ABCD中，A(1,1), =(6,0),点M是线段AB的中点，线段CM交BD于点P (1) 若 =（3，5）求点C的坐标; (2) 当 时，求点P的轨迹,解析 （1）设点C的坐标为（ ）， 又 即（ ）=（9，5）， 即点C（10，6）,（2）设P( ),则 ， ABCD为菱形， ,
13、故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线 y=1的两个交点.,第三节 等比数列,基础梳理,1. 等比数列的定义 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，通常用字母q表示. 2. 等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列an的第n项an,有公式an= a1qn-1 ,这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比. 3. 等比中项 如果 a,G,b成等比数列 ，那么G叫做a与b的 等比中项.,4. 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an=am qn-m (n,mN*). (2
14、)若an为等比数列，且k+l=m+n(k、l、m、nN*),则 akal= aman. (3)若an,bn（项数相同）是等比数列，则 (bn0)仍是等比数列.,5. 等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn，当q=1时，Sn=na1;当q1时，Sn= a1+a1q+a1qn-1，即,6. 等比数列前n项和的性质 等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.,题型一 等比数列的基本运算 【例1】设等比数列an的公比为q(q0)，它的前n项和为40,前2n项和为3 280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项. 分析 利用
15、前n项和公式列出关于a1与q的方程组，求出a1与q即可，但是需注意的是应分q=1和q1两种情况讨论. 解 若q=1，则na1=40,2na1=3 280，矛盾.,得1+qn=82,qn=81. 将代入，得q=1+2a1. 又q0,qn=81,q1,an为递增数列. an=a1qn-1=27. 由、得q=3,a1=1,n=4. a2n=a8=137=2 187. 学后反思 在等比数列求基本量的运算中“知三求二”问题通常是利用通项公式与前n项和公式建立方程(组)，解之即可，同时利用前n项和公式时需对q进行讨论.,解析: a9+a10=a, a9(1+q)=a, 又a19+a20=b,a19(1+q
16、)=b, 由 得 则a99(1+q)=x, 由 得 答案:,举一反三 1.(2009潍坊模拟)在等比数列 中, (a0), 则 =_.,题型二 等比数列的判定 【例2】已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nN*). (1)求证：数列an+1是等比数列; (2)求通项公式an. 分析 利用等比数列的定义证明 为非零常数即可. 解 (1)an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1) an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列. (2)由（1）知an+1=22n-1=2n,an=2n-1.,学后反思 等比数列的判定方法主要有： (1)定义法: (q是不为0的常数，nN*)；
17、 (2)通项公式法：an=cqn(c,q均是不为0的常数，nN*); (3)中项公式法：a2n+1=anan+2(anan+1an+2不为零，nN*); (4)前n项和公式法： 是常数，且q0,q1).,举一反三 2. (2010合肥质检)已知数列 的前n项和为 ,数列 是公比为2的等比数列.求证：数列 成等比数列的充要条件是,证明：数列 是公比为2的等比数列, 即 ,n=1, n=1 ,n2, n2 显然，当n2时， 充分性:当 时， ,所以对nN*,都有 ,即数列 是等比数列. 必要性:因为 是等比数列，所以 ,即 ,解得,题型三 等比数列的性质 【例3】 (1)在等比数列an中，a1+a
18、2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值； (2)已知一个等比数列的前四项之积为 ,第2、3项的和为 ,求这个等比数列的公比.,分析 (1)利用等比数列的性质求解. （2）注意4个数成等比数列的设法. 解 （1）由等比数列的性质,知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),a5+a6=4.,(2)依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3, 则 学后反思 在等比数列的基本运算问题中，一般是建立a1、q满足的方程组，求解方程组，但如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知，注意“隐含条件”.,举一反三 3
19、. (1)在等比数列an中，S4=1,S8=3,求a17+a18+a19+a20的值. (2)在等比数列an中，已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.,解析： （1）S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等比数列，而S4=1，S8-S4=2， a17+a18+a19+a20=S424=124=16. （）a3a5=a24, a3a4a5=a34=8, a4=2. 又a2a6=a3a5=a24, a2a3a4a5a6 =32,题型四 等比数列的最值问题 【例4】(14分)等比数列an的首项为a1=2 008，公比. (1)设f(n)表示该数列的前n项的积，求
20、f(n)的表达式; (2)当n取何值时，f(n)有最大值？,分析 （1）求出等比数列的通项公式an，然后根据f(n)=a1a2a3an求f(n)的表达式. （2）先判断f(n)的符号，然后根据|f(n)|的单调性，进一步解决问题.,解,当n=12时，f(n)有最大值为 学后反思 只要明确a1的正负，q与1的大小关系即可确定等比数列的前n项和,但是对于求等比数列前n项和的最值问题的方法有:一是用定义，若f(n)f(n+1),f(n)f(n-1)，则f(n)为最大值；二是用函数法.,举一反三 4. （2009潍坊模拟）已知等比数列bn与数列an满足bn= （nN*）. (1)判断an是何种数列，并
21、给出证明； (2)若a8+a13=m,求b1b2b20; (3)若b3b5=39,a4+a6=3,求b1b2bn的最大或最小值. 解析: (1)证明:设bn的公比为q, bn=3an, 3a1qn-1=3an.an=a1+(n-1)log3q, an是以a1为首项，log3q为公差的等差数列.,（2）a8+a13=m, 由等差数列的性质，得a1+a20=a8+a13=m. (3)由b3b5=39,得a3+a5=9.,易错警示,【例1】(2010临沂质检)已知数列 中， ,前n项的和为 ,对任意的自然数n2， 是 与 的等差中项. （1）求 的通项公式; (2)求,错解(1)由已知得 , 又 ,
22、得 , 两式相减得 ,故 , 又 ,故 (2)由于 是首项为1，公比为 的等比数列， 故,错解分析 错解(1)主要忽视了 成立的前提n2,只能说明数列从第2项起为等比数列，至于整个数列 an是否为等比数列还需验证 是否等于 ，这种在解答过程中忽视数列“定义域”限制而致错的题目频率是非常高的，应引起足够的重视.,正解(1)由已知，当n2时， . 又 , 由、得 (n2), 上两式相减得 , 成等比数列， 其中 ,即 , , 当n2时，,即 ,n=1 （2）当n2时， 当n=1时， 也符合上述公式.,【例2】已知一个等比数列的前四项之积为116,第2项、第3项的和为2,求这个等比数列的公比,错解
23、依题意，设这四个数为 , ,aq, , 则 , , 由得 ,代入并整理，得 解得 或 故原等比数列的公比为 或,错解分析 从表面上看，这种解法正确无误，但认真审查整个解题 过程，由于设这四个数为 , ,aq,aq2,公比为q2,就等于规定了这个等比数列各项要么同正，要么同负，而例题中无此规定，错误就出在这里. 正解 依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3, 则 解得 或,考点演练,10. 各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ，若 , ,求,解析： 由等比数列性质得， , , , 成等比数列， 则 由 得 ,又 解得,11. (2010惠州模拟)设正项等比数列 的前n项和为 ,已知 , (1)求首项 和公比q的值； （2）若 ，求n的值.,解析 (1) ,解得 (2)由 ,得 n=10.,12. (2009全国)设数列 的前n项和为 ,已知 , (1)设 ,证明数列 是等比数列； （2）求数列 的通项公式.,解析： (1)由 及 ,得 ,即 , , 当n2时， . -得 = , 又 , 是首项为 ,公比为q=2的等比数列.,（2）由(1)可得 =3 , 数列 是首项为 ,公差为 的等差数列, ,即,