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1、 2 20 01 11 1 届届本本科科毕毕业业论论文文 题目：二次曲线的主方向和曲面的主方向题目：二次曲线的主方向和曲面的主方向 及其联系及其联系 学学 院院： 数数学学科科学学学学院院 专专业业班班级级：数数学学与与应应用用数数学学0 06 6- -4 4 班班 学学生生姓姓名名： 指指导导教教师师： 答答辩辩日日期期： 2 20 01 11 1- -5 5- -1 11 1 目目 录录 引言1 1 二次曲线的主方向 1 2 曲面的主方向 3 3 二次曲线的主方向和曲面的主方向的联系 6 总结7 参考文献8 致谢9 二次曲线的主方向和曲面的主方向及其联系二次曲线的主方向和曲面的主方向及其联
2、系 摘要摘要：本文章是二次曲线的主方向和曲面的主方向重要概念基础下，讨论它们 的联系为目的而进行的。也就是说，本文章首先讨论了二次曲线的定义，它的 求法，特征方程和特征根。然后以曲面的第一，第二基本形式，法曲率，迪潘 指标线共轭方向为基础下讨论了曲面的主方向。最后用具体地例子来研究了二 次曲线的主方向和曲面的主方向的联系。 关键词：关键词：二次曲线；主方向；特征根；迪潘指标线；曲面；主曲率 1 引言引言 解析几何是大学数学系的主要基础课程之一，学好这门课对于掌握微分几 何的内容也有很大的帮助，所以这两门课程的内容有着密切的关系。本文章的 主要目的也是讨论解析几何中的“二次曲线的主方向”和微分几
3、何中的“曲面 的主方向”及其它们的联系。 本文章论证严谨，同时又力求简明，叙述上深入浅出，条理清楚，让读者 很容易掌握里面的内容。 1 1 二次曲线的主方向二次曲线的主方向 定义：为二次曲线 YX : =0 的一非渐近方向，若共轭),(yxF 332313 2 2212 2 11 222ayaxayaxyaxa 与该方向的直径： （2-1） 0, 21 yxYFyxXF 与方向垂直，则称这直径为二次曲线的主直径；而直径（2-1）方向及方YX : 向均成为二次曲线的主方向。YX : 主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径也叫做二次曲线的轴。 如果二次曲线为中心曲线，那么根据主方向的定义： 非渐近方
4、向 X:Y 为 主方向X:Y 与共轭方向=垂直YX ： ）（YaXaYaXa 22112212 ( : ) 0YYXX =XYYX:YX :)( : ) 22121211 YaXaYaXa（ 因此 X:Y 成为中心二次曲线的主方向的条件是 YYaXa XYaXa 2212 1211 成立，其中0，或把它改写成 0( 0 2212 11 12 YaXa YaXa ） ）（ 22 可见，这是一个关于 X,Y 的齐次线性方程组，而 X,Y 不能全为零。 所以 =0 2212 1211 aa aa 32 即 0 21 2 42 2 可见，若求二次曲线的主方向,只需先求方程式的根，再0,yxFYX :4
5、2 代入式就能得到它的主方向。22 如果二次曲线为非中心二次曲线，那么它的任何任直径的主方向总是它的 唯一的渐近方向 1222111211 aaaaYX： 而垂直与它的方向显然为 2212121122 aaaaYX： 所以非中心二次曲线的主方向为 渐近主方向 1222111211 aaaaYX：52 非渐近主方向 2212121122 aaaaYX：62 如果我们把式或式推广到非中心二次曲线，即式中的可取3242 2 等于零，这样当时，方程式的两根为 0 2 42 ， 0 1 221112 aa 把它代入式所得的主方向，正是非中心二次曲线的渐近主方向与非中心22 二次曲线主方向。 定义：方程式
6、成为二次曲线的特征方程，其根成为曲线的特征根。42 性质：二次曲线的特征根全为实数 1 事实上，044 2 12 2 22111 2 1 aaa 二次曲线的特征根不全为零。 2 事实上，若不然，则0 21 即 0 2 1222112211 aaaaa 所以 这不可能0 2 12 2 11 aa0 122211 aaa 定理：主方向为渐近主方向对应与方向的特征根为 0。： 证：设主方向对应的特征根为，： 3 YYaXa XYaXa 1211 1211 所以 22 1211 Y:XaXaYX 因为 X,Y 全为实数，且不全为零 所以 00,YX 定理： 中心二次曲线至少有两条主直径，具体地，圆的任
7、意实直径均 1 为主直径，非圆的中心曲线仅有两条即相垂直又相共轭的主直径 无心二次曲线只有一条主直径。 2 线心曲线的主直径就是唯一的主直径，赤即中心直线或渐近线。 3 2 2 曲面的主方向曲面的主方向 设 S：是一个曲面，矢函数的微分是vurr， r dv u r du u r dvrdurrd vu rdrdds 2 22 2dvrrdudvrrdurr vuvuuu 02 22 GdvFdudvEdu 其系数， ， uu rrvuEE , vu rrvuFF , vv rrvuGG , 是的可微函数，也可以看成曲面上的函数。 vu,S 定义：称是曲面的第一基本形式，、 22 2GdvFd
8、udvEduEF 是曲面的第一基本量。G 曲面的第一基本形式也叫做曲面的弧长元素，可以用来计算曲面上曲线的 弧长，曲面上区域的面积及曲面上两曲线的夹角等。 定义：称是曲面的第二基本形式，其系数 22 2NdvMdudvLduS ， ， vunvurL uu , vunvurM uv , ，lim n x xA 是曲面上的函数，成为曲面的第二基本量。S 第二基本形式反映曲面在一点附近沿方向的弯曲情况，它也告诉我dvdu： 们在这一方向朝切平面的那一边弯曲。 4 定义：称 22 22 2 2 n LduMdudvNdv k EduFdudvGdv 是曲面沿方向的法曲率。Sdvdu : 通过曲面上点
9、作平行于法矢及方向的平面，它与曲面Svu,n dvrdur vu 交与一条曲线，叫做处沿方向法载线。S 0 CPdvdu : 性质：设是沿方向的法曲率，是法载线在处的曲率， n kdvdu : n kk 0 CP 在时0k 0 0 n n kkCn kkCn 时，法载线向方向弯曲 时，法载线向相反方向弯曲 定义：我们取点为原点，曲面的坐标曲线在点的切向量和PSP u r v r 为基向量，则它们构成曲面在点的切平面上的坐标系。我们给出曲面上SPS 点的一个方向，设是对应于方向的法曲率，为法曲P dvdud: n K d n K1 率半径的绝对值。过点沿方向画一线段，使其长度P dvrdurrd
10、d vu 即PN 等于，则对于切平面上所有的方向，点的轨迹成为曲面在点的迪 n k1NSP 潘指标线。 迪潘指标线的方程为 12 22 NyMxyLx 上式中的系数，与曲面上的方向无关，它们对于曲面上已知点来LMN 说即为常数，并且上式中不含，的一次项，所以上述方程表示以为中心xyP 的有心二次曲线。 这样，曲面上的点由它的迪潘指标线可以进行分类 5 如果0，则点成为曲面的椭圆点，这时迪潘指标线是一椭 1 2 MLN P 圆 如果0，则点成为曲面的双曲点，这时迪潘指标线是一 2 2 MLN P 对双曲线。 如果，则点成为曲面的抛物点，这时迪潘指标线是一 30 2 MLNP 对平行直线。 如果，
11、则点成为曲面的平点（平面上的点都是平点） 40MNLP ,这时迪潘指标线不存在。 设曲面上点处的两个方向为和，如果包含这P dvdud: vu: 两个方向的直线是点的迪潘指标线的共轭直径，则方向和成为曲面的P d 共轭方向。 定义：曲面上一点的两个方向，如果它们即正交又共轭，则称为曲面的P 主方向，主方向对应的法曲率称为曲面的主曲率。 由定义知道，主方向总是成对出现的。与是一对主方向的dvdu :vu: 条件也可以表示为 ， 0 rrd 0 nrd 性质： 曲面上每一点至少有两个主方向； 1 是曲面上主方向的条件是 2dvdu :0 22 NML GFE dvdudvdv 或 0 22 dvG
12、MFNdudvGLENduFLEM 定义：称曲面上满足条件的点是脐点，如果，不全 G N F M E L LMN 为零，称这种脐点为曲面上的圆点。 推论: 脐点处任一方向为主方向，对应的主曲率是常数，在圆点处此 1 常数不为零 非脐点处有且只有一对主方向，这两个主方向互相共轭垂直。 2 证 在非脐点处，主方向的方程为 6 0 22 dvGMFNdudvGLENduFLEM ，主方向方程的解与垂直的条件是vu:dvdu :vu: 0FLEMGGLENFGMFNE 它显然成立，同理可知与共轭的条件是dvdu :vu: 0FLEMNGLENMGMFNL 它也显然成立，因此曲面在非脐点处只有一对主方向
13、。 在脐点处可设，设是脐点处任一方向，而是 G N F M E L dvdu :vu: 它的垂直方向，这时 0vGdvudvvduFuEdu 两边乘以，得 0vNdvudvvduMLdudv 因此与也共轭，是一对主方向。因此脐点处任意方向为dvdu :vu:dvdu : 主方向。 主方向的判别定理：是主方向的充要条件是存在实数，使dvdu : rdnd 这时是方向的法曲率，也是这一点的主曲率。 n kdvdu : 3 二次曲线的主方向和曲面的主方向的联系 曲面在椭圆点的迪潘指标线是曲面在该点的切平面上的椭圆，曲面此点一 对主方向是该椭圆的一对主直径即对称轴的方向。 曲面在双曲点的迪潘指标线是曲
14、面该点的切平面上的双曲线，曲面此点的 一对主方向是该双曲线的一对主直径即对称轴的方向。 曲面在抛物点的迪潘指标线是曲面在该点的切平面上的一对平行直线，曲 面此点的一对主方向是该平行直线的一对主直径即对称轴的方向。 曲面在平点没有迪潘指标线，曲面在平点处的每一个方向都是主方向。 总之，曲面上每一点处（除了平点之外）总有两个方向，它们也是这一点 的迪潘指标线（二次曲线）的主轴方向。 7 总结总结 综上所述，本文章主要讨论了二次曲线的主方向和曲面的主方向及其它 们的联系。为了达到目的，首先讨论了二次曲线的主方向概念，它的求法， 特征方程和特征根。然后以曲面第一，第二基本形式，迪潘指标线来讨论了 曲面
15、的主方向。最后以上内容基础下，研究了二次曲线的主方向和曲面的主 方向的联系。通过这些分析和研究，我们得到这样一个结论，即曲面上一点 （除了平点之外）的主方向是曲面该到的迪潘指标线（二次曲线）的主轴方 向。 新疆师范大学数学科学学院 2011 届数学与应用数学专业毕业论文 8 参考文献参考文献 1吕林根等编.解析几何 (第三版)M.北京:高等教育出版社, 210205 p 2梅向明，黄敬之编.微分几何 (第四版)M.北京：高等教育出版社, 10069 p 3周建伟. 微分几何M.北京:高等教育出版社， 105101 p 4梅向明等编.微分几何学习指导与习题选节M.北京：高等教育出版社， 4231
16、 p 5周建伟编.解析几何M.北京:高等教育出版社, 143137 p 6吕林根.解析几何学习辅导书M.北京：高等教育出版社 178168 P 7 梅向明，黄敬之编.微分几何(第二版)M.北京:高等教育出版社, 131124 p 9 致谢致谢 大学五年很快就要结束了，在这宝贵的五年学习过程中，我认识了数学系 的各级领导、老师和我亲爱的同学们，得到了他们热心的帮助和关心，使我能 够顺利的完成学业，同时我的道德修养在身边优秀的老师和同学的感染下得到 了很大的提高，在此向他们表示我最衷心的感谢！ 在老师的指导下我的毕业论文顺利通过，她帮我批阅了好多次，提供了这 方面的资料和很好的意见，非常感谢她的帮助，在老师耐心的指导下，我学会 了论文的三步骤：怎么样开头，怎么样继续，怎么样结束。 非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师，在她们的教育下，我在 各方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础。 2011 年 5 月