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1、 关于函数的一致连续问题摘要:从函数的一致连续概念出发,总结了一致连续的条件及运算性质.关键词:函数;一致连续;连续 在数学分析中,关于函数一致连续问题的理解与应用是理解数学中其他知识的基础,但目前各种教材对这类问题提出和总结得不够,广大数学爱好者很难对其有全面清晰的认识.为了加深对一致连续问题的认识,本文从一致连续的概念出发,总结了一致连续的条件、运算性质.1 一致连续及其相关概念 定义1 设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上连续是指, x0I, 0, 0,当xI且 x-x0 时,有 f(x) -f(x0) 0, 0(其中与对应而与x,y无关),使得对区间I上任意两点x,y,
2、只要 x-y ,就有 f(x) -f(y) 0,对 0,都可以找到x,xI,满足 x-x 0,可以分区间a,b成有限多个小段,使得f(x)在每一小段上任意两点的函数值之差都小于,以下用反证法证之,若上述事实不成立,则至少对于某一个0 0而言,区间a,b不能按上述要求分成有限多个小段. 将a,b二等分为a,c0、c0,b,则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小段,把它记为a1,b1.再将a1,b1二等分为a1,c1、c1,b1,依同样的方法取定其一,记为a2,b2.如此继续下去,就得到一个闭区间套an,bn,n= 1,2,由区间套定理知, 唯一的点c属于所有这些闭区间.因ca,b,所以
3、f(x)在点x=c连续,于是可找到 0,使 x-c (xa,b)时, f(x) -f(c) 0/2. 注意到c= 我们可取充分大的k,使 ak-c , bk-c ,从而对于ak,bk上任意点x,都有 x-c ,因此,对于ak,bk上的任意两点x1,x2都有 f(x1) -f(x2) f(x1) -f(c) + f(c) -f(x2) 0,令x1=,x2=2,则 x1-x2 =,而 f(x1) -f(x2) =,这时 x1-x2 可以任意小,但 f(x1) -f(x2) 可以任意大.函数f(x) = tanx在(-,)也有类似的情形.以上两例讨论的都是无界函数,而sin在(0,1)内的每一点都连
4、续,且显然在这个区间内有界,然而它也没有一致连续性,因为有任意小(因而也就彼此任意接近)的数x1与x2存在,使sin=1,sin=- 1. 定理2 f(x)在区间I上一致连续的充要条件是在区间I上满足(xn-yn) = 0的任意两数列xn、yn,必有f(xn) -f(yn) = 0. 证明 必要性.若f(x)在I上一致连续,由一致连续性的定义, 0, 0,当 xn-yn 时, f(xn)-f(yn) 0,对n 0,存在xn,yn,当 xn-yn n时, f(xn) -f(yn) 0,取n0,我们得到两数列xn、yn,当n时,xn-yn0,但 f(xn) -f(yn) 0,这与假设f(xn) -
5、f(yn) = 0矛盾. 评注4 定理2所述的必要性常被用来判定一个函数是不是一致连续的. 例如,函数f(x) = sin,在区间(0,1)上是连续的且有界,但在此区间上并非一致连续.事实上,当x0时,由基本初等函数在其有定义的区间上连续知,f(x)是连续的,同时,由于 f(x) 1,因而它也是有界的.现考虑(0,1)上的两串数列xn=,xn=,则当000取得多么小,只要n充分大,总可以使 xn-xn =0,因而f(x)在(0,1)上并非一致连续. 定理3 设f(x)在有限区间I上有定义,那么f(x)在I上一致连续的充要条件是对任意柯西(Cauchy)列xn I,f(xn) R也是Cauchy
6、列. 证明 必要性.因f(x)一致连续,即对 0, 0,对 x,xI,只要 x-x ,就有 f(x) -f(x) 0,必 N 0,使当n,mN时,有 f(xn) -f(xm) 0,xn,xnI,虽然 xn-xn 0, 0,当x,x(a,b)且x-x时, f(x) -f(x)成立.对端点a,当x,x满足0 x-a,0x-a时,就有 x-x x-a + x-a ,于是 f(x)-f(x) .由Cauchy收敛准则,f(a+ 0)存在且有限,同理可证f(b- 0)存在且有限. 评注5 (1)当(a,b)为无穷区间,本例中的条件是f(x)在(a,b)上一致连续的条件充分但不必要.例如f(x)=x,(x
7、)=sinx,x(-,+)及g(x)= ,x(0,+)均为所给区间上的一致连续函数,但f(-) =-,f(+) =g(+) =+,(+)和(-)不存在. (2)定理提供了一个判断函数一致连续性简单而有效的方法.例如,研究下列函数在所示区间上的一致连续性. i)f(x) = (0 x);ii)f(x) = cos (0 x0及x,yI,总 正数N,使正 f(x) -f(y) N x-y . (1)恒有 f(x) -f(y) 0, 0,使得对于x,yI,如果 f(x) -f(y) , (3)就有 x-y .而题设条件为对 0, N0,对x,yI,当不等式(3)成立时, f(x) -f(y) N x
8、-y . (4) 充分性.若题设中条件成立,则由(4)式得 x-y f(x) -f(y) ，再由(3)式得 x-y ,所以对给定的 0,只要取=,当x,yI,且满足(3)时,就有 x-y 成立. 必要性.若f(x)在I上一致连续,则对任给的 0,存在 0,使当x,yI,且满足不等式(3)时,就有不等式 x-y 成立,故 整数k,使得k x-y (k+ 1). (5)不妨设xy,将x,y分成k+1等分,记xi-1(i=1,k+1)为其分点,由(5)式知 xi-xi-1 = ,故 f(xi) -f(xi-1) 0,那么在I上也一致连续. 最后应指出,一致连续函数的反函数,一般说来,不再一致连续,例如f(x)= 在(0, +)上一致连续而它的反函数 (x)= 在(0,+)内不一致连续,但可以证明在有限区间上,结论仍真.参考文献:1 斐礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京:高等教育出版社,1993.93103.2 王向东.数学分析中的概念与方法M.上海:科学技术文献出版社,1989.278299.3 周家云,刘一鸣.数学分析的方法M.济南:山东教育出版社,1991.4862.