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1、浅淡数学发散思维的特征与培养引言：著名数学家马明先生说过：数学教学的本质是思维过程，更确切地说是展示和发展思维的过程。现今的教材内容，偏重逻辑思维，以常规的演绎推理的抽象题型培养学生的三大能力（运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力）。这显然与今后社会的发展对开拓创新型人才的需要不相适应。因此，教育的侧重点作了如下转变：培养的学生由知识型转向开放型；变逻辑、集中思维为发散、直觉思维；变基础、应试教育为能力、应变教育。因此，身为教育第一线的教师，就得研究教育的对象，教学方法和如何调动教育对象的思维积极性。 关键词：探索、寻求、总结摘要：当今的教育，在不断地创新，不断地改革。作为被教育者学生，就必须
2、具有创新的思维、发散的思维。但是目前，相当多的学生在解题是，满足于一题一解。因而，思路狭窄，方法单一，以致题目稍作变化，就一筹莫展。为了改变这种状态，本人选用“一题多问”、“一题多解”、“一题多变”和“一题多思”等形式进行解题教学，从而收到了较好的效果。如下是本人的一点点拙见：一、 数学发散思维的含义和特征。发散思维（又称辐射思维）是指对已知数学信息进行多方向、多角度的思考，从而提出新问题、探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式。它的特点是对已知信息通过转换或改造进行扩散派生，思路广阔，寻求变异，以形成各种新视角或新思路。发散思维在思维方向上具有逆向性、侧向性（或横向性）和多向性；在思维
3、内容上具有变通性和开放性，发散思维对推广问题，引伸知识、发现新方法等具有积极的开拓作用。二、 发散思维的培养与训练。1、一题多问，创设情境，深入探索。在教学中，教师应引导学生努力做到问题解完，思路不断，深入探索，总结经验，让知识得以深化，达到正向迁移。怎样创设情境？一般可如下几问： 解此题最关键的步骤是什么？你是怎样完成这一步的？ 解此题用的是什么方法？其法有无技巧？ 解本题的方法你以前见过否？在解哪道习题时曾用过？这种方法有无普遍意义？ 本题的结论能否应用或推广到一般？ 还有无其它解法？本题能否进行演变？例题：已知：如图1在梯形ABCD中，ADBC，过对角线交点O平行于底线BC的直线交两腰A
4、B，CD于E、F，求证：OE=OF。证法1：（以下各法均为略证）。AEODCBF图（1）BOEBDA COFCAD ADEFBC OE=OF 这里，仅就其中一问举例如下：教师：这种证法的思路是什么？关键的一步是什么？学生：若证明二线段a=b，只需证明即可。最关键的步骤是找到“过渡比例式”。很明显，一题多问是培养学生发散思维，深刻性的好办法。2、一题多解，开拓思路，启迪思维。一题多解，即面对一个问题，引导学生尽量提出多种思路，特别是那些不依常规，不拘常法的新途径、新方法，从而把思维展开、扩散，让其尽情驰骋，进而使学生思维的多向性得以发展。一题多解的方法较多，这里仅举两种为例。（1）充分挖掘图形的
5、性质，广泛联想，平行类比。譬如，对例题的图形进行剖析，可得下图：（图2）ADCBFEADBC0ADOEBAAOBCEBh2 ECBOFh1 AFDCAOCBFODADh2图（）经过学生的细心观察和教师的点拔，发现表示例题的中心，图形是由上、下、左、右六个符合定理的基本图形组合而成的。从而，学生很快又获得10余种证法，下面仅举4种供参考。证法：如图所示。ABCAEO DCBDFOOE=OF ADBC证法3：如图中心图所示，设的 高分别为，由相似三角形的性质得：两式相除= =1OE=OF证法4：应用相似三角形的另一性质，可得 SAEO=SDFO ADBCSABC=SDCBEOh1=FOh1OE=O
6、F证法：容易证得SA=SDEO（h1h2） FO（h1h2）OE=OF由上面五种证法可以看出：运用在同一学科内的平行类比，广泛联想，不仅拓广了思路，而且又可获得解题技巧，增强能力，从而，也培养了学生思维的纵向波动性。（）综合运用所学的教学知识，垂直类比，融会贯通利用不同学科的密切联系，本文例题还可获得下面两种（限于学生的知识面）代数法。证法：如图中心图所示，设 可得方程组：两式相加即同理可得OE=OF。证法：再设，则易得：两式相除 ，即OE=OF又如：已知，如图，梯形ABCD中，ADBC,DE=EC,EFAB于点F.求证：梯形=ABEF.证法：如图，过E作MNBA交BC于N，交AD延长线于M，
7、 DE=EC，ADBC1=2又DEN=CENDEMCEN梯形ABCD= ABEF图证法2：如图4-32，过D作DHAB交BC于H，交WF于G，过C作CMGFDEF交DG于M，则EGMCE图CHBM 证法3：如图4-33，作EGBC交AB于G，连结EA、EBOEBCFAD图 DA证法4：如图4-34，连结EA并延长交BC的延长线于G，作GMEF交AB于M，图GBCMEF 证法5：如图4-35，延长E F到F,使EF=EF,过点F作ABAB,交BC的延长线于点A,交AD的延长线与点B.BDA则四边形AB为平行四边形，FACEF图5B不难看出，综合运用数学知识进行一题多解，不仅使题目中的条件和结论简
8、单化，而且还会使学生对问题的认识更深入、更全面。尤其是对于那些添加辅助线的难题来说，更是别开生路。从而也培养了学生思维的横向波动性。、一题多解，寻求变导，举一反三。一题多变有三种形式，即：演变条件、演变结论、演变图形，三者之间既有联系又有区别。一般地，可对学生进行以下几个方面的训练。 题目的条件和图形不变，结论演变； 题目的结论不变，条件和图形演变 倒果为因，把结论和某一条件对换 将条件，结论和图形逐步演变。此外，还可以把一道证明题经过“改头换面”变为计算题、是非题、填空题、讨论题或选择题等。例如：在学生完成本文例题的证明之后，通过增置条件，可变为：设AD=a，BC=b，试求EF的长。这时，大
9、多数学生都能敏捷、迅速的联想到“证法6”，竟相举手发言，答曰：学生，轻松愉快；教师，欣然鼓励。接着，教师又在学生稍为平静的思维湖面上投下一颗石子：若将此题改变题型或把结论进行演变，还可获得哪些新题目呢？学生个个积极思考，“求证：。”有的说：“求证：”教师指出：后者形式的结论，表示线段的方法要一致。学生又立刻活跃起来，仅用十几分钟的时间，就获得了变异结论的累累硕果。整得如下表：减少条件增加条件例题求EF的长延伸结论求证：类比联想证法联想此表中“”表示正向思维，“”表示逆向思维。CFBEDqrAp8FEBCDh2h1oPDFECBbaoS2S1CBDDFQPOCB本来，问题到此可结束，但教师：若将
10、例题中的EF在梯形内平移（如图上），EG和HF是什么关系？若去掉EFBC而给出情况又怎样？若再将EF平移到梯形外（如图下），过两腰延长线的交点，被两条对角线的延长线截得二线段PE、PF又是什么关系呢？寥寥数语，又将学生引入“愤”、“悱”境地。紧接着，教师又提示：如果将梯形变为一般的圆内接四边形（如图左下），两条对角线交点O恰为弦EF的中点，那么这条弦EF被另外两弦AB、CD所截得的两条线段OP和OQ是否还相等呢？真是一波未平，一波又起。教师：同学们看，圆内的图形多么象一只美丽的蝴蝶呀！因此，这个命题名为“蝴蝶定理”。不过这个问题有待于学习圆内成比例线段定理之后再研究吧。留下一个悬念，激发了好奇
11、心与强烈的求知欲。为了更充分地利用这一题、一图所展示的有用信息，教师又给出了图中演变而来的各图所代表的题目（限于篇幅，恕不列举），布置课后进行演变讨论。由于学生对“一题多变”颇感兴趣，经过积极思维，充分研究，再通过归纳、梳理，又获得二十几个新题目，并且都得到了证明，其中“过任意梯形对角线交点且平行于底的直线被两腰截得的二线段相等”是一个很重要的定理，而且还有很多的用处。足见，象这样一题多变，由一道题变成一组题，而它们的解法又大致相同，达到了“多题一解”、“化难显易、以少胜多”的目的，又可使学生摆脱“题海”之苦，收到了举一反三、触类旁通的效果，并能培养学生的连动思维能力。、一题多思，探索发现，总
12、结规律解题之余，教师还要及时指导学生对所获得的有用信息作一番认真剖析、探索，进行一题多思的总结。解题后，一般可进行如下几方面的思考： 本题共有多少种解法？哪种解法最佳？这些解法中有无解题技巧？ 这些解法中有几种思路？各种解法之间的区别与联系是什么？哪种解法具有更广泛的意义？ 这些解法中有无新方法？新方法的特点是什么？ 从本题的解法中能否总结出一条规律？这条规律是否具有一般性？能否加以推广？ 本题可获得多少种变化？能否组成一类题，一组题？这一类题，一组题的关系如何？其共同解法是什么？很显然，如果教师能够坚持不懈地引导学生在解题后，进行一题多思，就能养成习惯，形成解题能力。数学家G利亚说过：问题是数学的心脏。这就是说，解题是数学教学的核心。作为一位数学教师，在教学中，应注意培养学生多角度、全方位的思考问题的能力，即进行发散思维的训练；激励学生敢于思考、勤于思考、善于思考。从而不断地培养和发展学生的思维能力。以上算法是本人对如何才能培养和发展学生的发散思维能力的点滴心得吧，希望老师们多加批评，多提宝贵的意见。参考文献中国教育改革和发展纲要中国教育出版社中小学数学2002.12期中国教育学会主办名人名言海南出版社