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1、初中数学论文 变则灵动 新则鲜活 新课程理念下，如何实施变式教学有感 摘要 变式训练是指变换问题的条件或结论，从而更深刻地揭示问题本质的训练。这样的训练使学生不只看到问题的表象，而能自觉地探索问题的本质，学会比较全面地看待问题，能在一定程度上克服和减少由于绝对化思维而出现的思维僵化、思维惰性，从而培养学生思维的发散性。文章用“新”、“变”的手法诠释初中数学题通过变式后的“鲜活”与“灵动”。通过构建有价值的变式探索研究，展示数学知识发生、发展和应用的过程，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，使所学知识点融会贯通，培养学生的探索创新的思维
2、能力。关键词 变式教学 激发兴趣 思维能力 随着新课程改革的不断深入，新的教育理念必将贯穿于教学实践中，与之相悖的旧的教学模式日益障显出它的问题：老师讲得多，学生思考少；一问一答多，研讨交流少；操练记忆多，鼓励创新少；强求一致多，发展个性少等等。而新理念下的课堂教学要求学生在课堂上有参与意识，使之真正成为课堂教学的主体。学生的自主合作，探究猜想是当前数学课堂教学必不缺少的元素。这就要求我们教师在课堂教学中如何根据教学内容，设计出隐藏着“丰富内含”的教学材料，引导学生去发现，让学生利用自己已有的知识去探索猜想，进而培养学生思维的创造性。 “变式教学”是通过对教材中的定理、命题进行变式，从不同角度
3、、不同层次、不同情形、不同背景暴露问题的本质，揭示不同知识点的内在联系的一种教学设计方法。通过“使一题多用，多题重组”的教学设计，增加学生的新奇感和参与感，教学、学习中的兴奋点不断闪现，从而激发学生的好奇心，求知欲和创造力，提高学生参与活动的兴趣和热情。下面笔者从几个方面谈谈如何进行“变式设计”。一、 变点为面 沟通新知认知心理学家奥苏伯尔认为：建立新旧知识之间的联系符合下述两条那才是有意义的，否则就是灌输的、死记硬背的：其一是合理联系（知识固着点及其性质，合适的潜在距离）；其二是实质联系（可以换一个形式去检查，注意变式训练是有效的手段）。数学基础知识、基本概念是解决数学问题的关键，要从新知识
4、产生的过程设计问题，突出新概念的形成过程；从学生原有的认知的最近发展区来设计问题，而不是将公式简单地告诉学生；通过设计开放性的问题，让学生通过类比、归纳、猜想得出结论，再对所得出的结论进行论证。例1 原题：依次连结任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。它是什么图形？（人教版，八年级下册P128活动3）变式1：依次连结矩形各边中点所得的中点四边形是什么图形？变式2：依次连结菱形各边中点所得的中点四边形是什么图形？变式3：依次连结正方形各边中点所得的中点四边形是什么图形？变式4：依次连结什么四边形各边中点所得的中点四边形是菱形？变式5：依次连结什么四边形各边中点所得的中点四边形是矩形？
5、变式6：依次连结什么四边形各边中点所得的中点四边形是正方形？通过这样一系列的变式训练，使学生充分掌握四边形这一章所有基础知识和基本概念，强化沟通常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线等。使学生感悟出：连结四边形各边中点所得到的是什么四边形与原四边形的对角线有关。这样极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。因此教师要根据教材的特点，有重点的对课本知识进行深入浅出地归纳这种归纳不是概念、性质的重复和罗列，也不同于一个单元的复习，而是一种源于课本而又高于课本的一种知识概括“概括”需要有一定的思维能力，这种能力不同于其它思维能力，它是通过对许多知识的提炼而得出的条理化、规律化的东
6、西，经过概括的知识易记、易懂。二、变更题设 推陈出新 现代认知心理学从信息加工的观点，把广义知识分为两大类：陈述性知识和程序性知识。该理论进一步认为，程序性知识学习的前身是陈述性知识，陈述性知识学习的本质是必须保证所表示的新信息（事实、概念、规则等）进入学生原有认知结构的适当部位。如果要将陈述性知识转化为解决问题的技能，则必须保证它们在充分变式条件下得到适当的练习，以便于他们日后在新变化环境中应用。因为中学生学习数学的最终目的是用它去熟练地解决有关问题，因此，中学生学习的数学知识大部分是程序性知识，也就是说，中学生掌握知识要通过变式训练来实现技能操作的自动化。例2 原题：如图1，在ABC中，C
7、=90在ABC外，分别以AB、BC、CA为边作正方形，这三个正方形的面积分别记为S，S，S，探索S，S，S之间的关系。（人教版，八年级下册P73探究） 图1 图2 图3变式1：如图2，在ABC中，C=90在ABC外，分别以AB、BC、CA为边作正三角形，这三个正三角形的面积分别记为S，S，S，探索S，S，S之间的关系。变式2：如图3，在ABC中，C=90在ABC外，分别以AB、BC、CA为直径作半圆，这三个半圆的面积分别记为S，S，S，探索S，S，S之间的关系。变式3：你认为所作的图形具备什么特征时， S，S，S均有这样的关系。丰富而扎实的基础知识是形成创新意识的前提，有“知”未必有“能”但无
8、“知”必定无“能”，因此在教学中要使学生掌握知识，更要使学生把握知识产生的“过程”。在勾股定理形成之后，教师不应急于让学生应用定理去解决问题，而是引导学生对定理作进一步的探讨，通过变更题设和转换图形，使学生对定理有更加深刻的理解，让学生既知其然，又知其所以然。 使学生意识到： 只要向外作以AB、BC、CA为对应边的相似图形即可。三 、变中求真 解中求新 根据现代心理学的观点，一个人创造能力的大小，一般来说与他的发散思维能力是成正比例的。所谓发散思维，是指从同一材料出发探求不同答案的思维过程,它往往透过现象找到问题的本质所在。发散思维具有流畅性、变通性和创造性的特征，加强发散思维能力的训练是培养
9、学生创造思维的重要环节。例3 原题：抛物线y=3x向右平移2个单位得：_抛物线y=3x向上平移2个单位得：_。变式1：双曲线y=向左平移2个单位得：_。双曲线y=向下平移2个单位得：_。变式2：猜想：函数图象y=是由双曲线_向_平移_单位,再向_平移_单位得到.使学生意识到：变式1，图象向上平移a 个单位即y用y a 替换，向下平移a 个单位即y用 y + a 替换。向右平移a 个单位，即x 用 x a 替换，向左平移a 个单位即x 用 x+ a 替换。变式2 ,y= ，即y 1=，因此由原题和变式1就可以说明是双曲线y=向右平移2单位,再向下平移1单位得到.例4 原题 ： 点 P(x ,y)
10、 关于x轴对称的点的坐标是（ ）；关于y轴对称的点的坐标是（ ）；关于原点O对称的点的坐标是（ ）。变式1：直线y=2x -1关于x轴对称的直线的解析式是_；关于y轴对称的直线的解析式是_；关于原点O对称的直线的解析式是_；变式2：下列函数图象: y=2x , y=3x, y=3x3 ,y= y=2 ,关于x轴对称的有_关于y轴对称的有_,关于原点O对称的有_。变式3: 抛物线y=3x+2x -1关于x轴对称的抛物线的解析式是_；关于y轴对称的抛物线的解析式是_；关于原点O对称的抛物线的解析式_；使学生意识到：图形的对称问题不一定要画出图形去判断，最根本的是：线由点组成，线的对称就是点的对称，
11、因此关于x轴对称，即y用- y 替换，x不变；关于y轴对称即x用- x 替换，y不变；关于原点O对称即x用- x 替换，y用- y 替换即可。数学问题的演变是从基础问题出发进行变化，对学生的思维能力要求较高，但仍有一定的方法、技能可循。我们要引导学生根据现有的思维水平，运用已掌握的知识，通过正确的思维方式，把新问题转化为老问题，把难问题分解成容易的问题来解决，做到变中求解，解中求真。四、变换图形 发展新意著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣。一旦学生对所学内容发生了兴趣，就会在其大脑中形成最佳的兴奋中心，由此促使各种感官处于最活跃的状态，为其参与学习提供最佳的心理准备。所以在
12、教学中教师要根据教学内容，精心设计问题和练习，展示数学的内在魅力，激发、培养和保护学生的学习兴趣。 例5 原题：如图4，正方形ABCD中P为BC中点， CF平分正方形ABCD的外角DCH ，PMAP交CF于M， 求证：AP= PM （人教版，八年级下册P133） 简证： 取AB的中点O，连结PO，可得，AO=PC， 又APC=BAP +B=APM+MPC， B=APM=Rt BAP=MPC， 又由等腰直角BOP和CF是DCH 的平分线，可得AOP=PCM =135。 图4 AOPPCM， AP= PM 变式1： 当P为边BC上任意一点时，结论AP= PM 仍成立。 当P为边BC延长线上任意一点
13、时，结论AP= PM 仍成立。 当P为边CB延长线上任意一点时，结论AP= PM 仍成立。 图4 - 图4- 图4- 图1 - 题证法一样。ABCDPE变式2：如图5-，正三角形ABC中，P为BC上任意一点，CF平分正三角形ABC的外角 ACH ， PM与AP的夹角等于B，（60）且PM交CF于M， 求证：AP= PM 图5-图5- 图5- 图6 简证： 在AB（BA延长线或AB延长线）上 取点O， 使BO=BP，连结PO，易证，AO=PC， 又APC=BAP+B=APM+MPC， B=APM=60 BAP=MPC， 又由正BOP和CF是ACH 的平分线，可得：AOP=PCM =120。 AO
14、PPCM， AP= PM 。变式3：正三角形、正方形可以推广到正N边形，其他条件不变，结论也成立！变式4：如图6，在ABC中， AB=AC， P为AC上任意一点，且 A =BPD =BCD， 求证： PB= PD 简证：连结BD，BPD =BCD，B、P、C、D四点共圆。BDP=BCP，CBD=CPD，又BPC =A + ABP ，且A =BPD，ABP =CPD =CBD， ABC=PBD，APEDCB又AB=AC，ABC=BCP，BDP=PBD，PB= PD （也可以： 过P作PEBC交AB于E再证明BEPPCD，从而得到PB= PD。）变式5：如图7，C为线段BE上一点，在BE的同侧分别
15、以BC、CE为边作等边三角形ABC和等边三角形CDE，P在线段BE上,且APD=60。求证：（1）APD的等边三角形；（2）ABPPEDACD .(自编题，限于篇幅，证明略) 图7 变式4则是问题的根本所在，它揭示了问题的内在特征和规律，使变式得到了质的突破。而变式5是变式2的加深拓展，可以编为赛题。因此，以基本图形为“基准点”，通过基本图形的运动、组合、分解、变式，从而将某一问题转换成更一般的问题，把研究的图形扩展到更大范围内进行考察，从而开阔学生解决问题的视野，激发了学生的学习兴趣，培养学生举一反三、触类旁通的思维品质和创新能力，使思维的灵活性和多向性得以培养和发展。五、变迁知识 衍生新题
16、迁移是教育心理学的一条重要规律。认知心理学认为：“迁移”是已经获得的知识、技能以至方法、态度与学习新知识、新技能之间所发生的相互影响。通俗地讲，就是对于所学过的知识能熟练应用。因此，“迁移”理论的运用对于提高教学效果具有举足轻重的作用。数学教学中的迁移变式指的是把所学的典型的若干公式、定理的推导、基本图形，在对知识的来龙去脉的探究中加以同类迁移。它有利于学生形成解题的思维方法。而问题的层次增加则要求抓住一个问题的条件，引导学生用类比、联想、归纳等发散性思维，将问题的结论向横向、纵向拓展与深入，从而发现数学问题的本质属性，以达到深入浅出，以点串线的目的。例6 原题：5x+2y+2xy-14x-1
17、0y+17=0；x、y为实数，求x、y的值。解：原方程变形为：5x+（2y-14）x + 2y-10y +17=0。x、y为实数，=（2y-14）-45（2y-10y+17）=-36（y-2）0（y-2）0 y=2 从而可得x=1变式1：已知函数y=的图象上有一点P（m、n），且m、n是关于x的方程x-4ax+4a-6a-8=0的两个实数根，其中a是使方程有实数根的最小整数，求函数y=的解析式。解：由=16a-4（4a-6a-8）=4（6a+8）0 a-a是最小整数 a=-1， 此时原方程即为x+4x+2=0m、n是方程的两个实数根 mn=2又P（m，n）在反比例函数图象上， k=mn=2 函
18、数解析式为y=。变式2：实数x、y满足（x-2）+y=3，求的最大值。解：设=k，则y=kx，于是（x-2）+（kx）=3,即（1+k）x-4x+1=0 x、y为实数 =16-4（1+k）0 , 解得-k 的最大值为.变式3：如图8，PT切O于T，直线PN交O于点M、N，求证：PM+PN2PTM NT.OP证明：由切割引定理得PMPN=PT于是PM、PN是方程x-（PM+PN）x+PT=0的两实数根。所以0，即（PM+PN）-4PT0，（PM+PN）4PT又PM、PN、PT均大于OPM+PN2PT 图8 数学问题的变式不是彼此孤立的，而是相互交叉渗透的，对于同一个问题的变式，常常是各种变化结伴
19、而行，从而引导对变式的反思、总结探索推广和引伸。而对于复杂的综合性较强的数学问题，我们可先将其分解成几个基本问题，然后分步进行解决，最终达到解决问题的目的。并且当一个问题得到解决后，进而探究这个问题解决后产生的一系列更深刻的数学问题，这有利于培养思维的批判性和深刻性。例7原题：如图9， ABC中，AB=AC，在AB、AC延长线上分别取点D、E，且BD=CE，连DE交BC于F。求证：DF=EF。PABCDEQABCDEFH图9 图10提示：过D作DHAC交BC于H，再证DHFECF 变式1如图10：正方形ABCD，边长为4，P、Q分别从A、C出发，同时以1个单位/秒的速度分别沿AB，BC方向运动
20、，PQ与对角线AC交于E，连接DE，（1）找出图中与线段PE相等的一条线段，并加以证明。（2）探究DE与PQ的位置关系，并加以证明。（自编题）使学生认识到：利用原题可得 PE=EQ，但连结BE 后，由直角三角形的中线性质得：PE=BE，又由正方形的对称性得BE=DE，因此PE=EQ=DE。又可证APDCQD，所以DP=DQ从而可得DEPQ 。 变式2: 如图11，已知直线y=-x+6与x轴、y轴交于A、B两点，动点P、Q分别从点B、点A同时出发，动点P沿射线BO方向运动，动点Q沿x轴正方向运动，速度都为1单位长度/秒，连结PQ交AB于点C。（1）设P、Q运动t秒后（0t6），OPQ的面积为S，
21、试写出S关于t的函数关系式；（2）当P、Q运动2秒后，求出直线PQ与直线AB交点C的坐标；yMABOPQDx（3）在运动过程中，点C是否始终为线段PQ的中点？如果是，请给出证明；如果不是，试说明理由。（自编题）DCPB0 A Q x y 图11 图12变式3:如图12，直线AB: y = x +8 , 与坐标轴交于A, B两点, P在点A处以每秒1个单位的速度向点B方向移动，同时，点Q从原点O出发，以同样的速度沿 x轴正方向移动。设 t 秒钟后，点P、Q到达如图位置。（1）t为何值时? PBQ是直角三角形。 （2）t为何值时? M为AO中点。 （3）t为何值时? PBQ是等腰三角形。 （4）在
22、P、Q 运动过程中。设四边形BOMP的面积为s， 写出s关于t的函数关系式 。（5）在点P、Q运动时，的值是否会保持不变，若不变，求其值； 若要使点M始终是 PQ的中点，则应如何改变点P（或Q）的速度，并加以说明。（自编题）变式2的编拟意在结合函数图象的动态变化来研究图形的“不变”性质 。通过加强对函数、三角形全等、等腰三角形等知识点的综合应用，起到复习巩固的作用。变式3 的编拟，结合了初三中考的要求，强化了动态几何在串题中的作用，是一个比较综合的“压轴题”。通过证明APDABO，PDMQOM和三角形形状的研究渗透常用的数学思想，（如函数思想、方程思想、分类讨论思想、化归思想等，）同时又考查了
23、几何和代数中的重点内容。创造性思维是对学生进行思维训练的归宿与新的起点，是思维的高层次化。实践证明，教学中经常改变例题结论和条件，引导学生自编一些开放性题目，这样既激发了学生学习兴趣，同时又培养学生研究探索问题的能力，进一步发展了学生的创造性思维。新课程标准的实施，新课程理念的普及，给我们带来了许多与之相适应的教学模式。如：自主探究法、活动探究法、开放探究法等等，但无论怎样的教学模式，数学的教学都离不开解题，解题中用到的数学基础知识、基本技能、思想方法总是不变的，只是有些题目的立意、创设的情景、设问的角度和解题技巧中力求新颖和鲜活，因此鲜活的题材，灵动的方法是我们数学教师在新课程教学中必须掌握和运用的两大法宝。而变式教学恰恰作为载体为我们提供了使用两大法宝的平台，如果我们能运用得恰当，则于师于生都无不大有益处。参考文献： 1，刘兼 ，孙晓天 数学课程标准解读，北京师范大学出版社 ， 2002年 2，鲍建生 ,黄荣金 ,易凌峰，顾泠沅 变式教学研究，数学教学出版社 2003年3，赵凌云 欲动与行动 2004年， 4，谢景力 数学变式教学的认识与实践研究湖南师范大学出版社 ，2006年 5，王伟 数学变式百例精讲，宁波出版社 ，2006年 7