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1、15淮南师范学院2009届本科毕业论文 勾股定理几种证明方法的探索与思考摘要 本文讨论了勾股定理的几种证明方法和勾股定理的一些应用。Abstract In this paper, we discuss several methods of proof about Pythagorean proposition and applications of Pythagorean proposition.关键词 勾股定理，证明， 演绎法Key words Pythagorean proposition ，proof ， deductive method 引言2002年8月第24届国际数学大会在北京召开
2、，这是从国际数学大会举行以来首次在我国召开，说明了中国的数学在国际上的地位。在本次大会上，随处都能看到一个旋转的纸风车，它就是这次大会的标志。这个图形是根据赵爽周脾算经注中的“弦图一”为模板进行设计1的。这个图案的设计充分说明了勾股定理在数学中的地位。对于勾股定理的由来，各国各民族都有不同的文字记载，但中华民族是最早发现勾股定理的民族之一。勾股定理是一坛千年佳酿，另人陶醉神往。它以其简洁,优美的形式，丰富深刻的内容，展现了自然界的和谐与唯美。1. 勾股定理的证明 勾股定理是数学中一条有名的定理，它是几何学的基础知识，在基础几何学2中对它进行了详细的介绍。目前勾股定理的证明方法已有500多种，每
3、种证明方法大都把几何知识与代数知识相结合，充分体现了数形结合思想的魅力，转化思想的巧妙。1.1拼图法拼图是数学中经常遇到的，它能充分体现出实践的作用，。下面我们就用拼图的方法来证明勾股定理。1.1.1拼法一：用四个相同的直角三角形（直角边长分别为a、b，斜边长为c），把他们拼成一图.如图（1） 在图1中，可以用两种方法把正方形ABCD的面积表示出来，即：(1) (2) 由此可得：化简后即为： 1.1.2拼法二 ：用四个完全相同的直角三角形（直角边长分别为a,b,斜边长为c）,如图2正方形ABCD的面积也能用两种方法表示出来，即：（1） （2）由（1）（2）得 化简后可得到： 不难发现拼法一与拼
4、法二都是用四个直角三角形。接下来我们用两个直角三角形拼一拼。（这种方法是美国的一位总统发现的） 1.1.3拼法三：在1876年一个周末的傍晚，当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德发现，附近的一个小凳上有两个小孩子在谈论着什么，好奇心驱使伽菲尔德问两个小孩在干什么？其中一个小男孩头也不抬地说：“请问先生如果直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边长为多少？” 伽菲尔德答到：“5呀”。小男孩又问到：“如果两直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？” 伽菲尔德不假思索的回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。“小男孩又说道：先生，你能说出其中的道理吗？” 伽菲尔德一
5、时语塞。当晚他潜心探讨小男孩留给他的问题，经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了一个极其简捷的证明方法，如图，就是伽菲尔德的证明方法ABC与ECD是一对同样的三角形,两直角边长分别为a和b,斜边长为c.我们很容易知道AED也是直角三角形,两直角边长为c,梯形ABCD的面积可以用两种方法表示出: 有两式可得：化简后得： 从以上三例我们能看到拼图这种方法的巧妙,但其思路还是离不开数形结合。拼法一这种方法是在西方广为流传的毕达哥拉斯等人的基础上被发现的.拼法二则是中华民族的发现,在数学史概论.3.一书中对此作了详细的说明。用拼图来证明勾股定理是一种简单又明了的方法,有好多学者在这方面
6、都有研究,也有专门的文章出现.31.2.1演绎法在许多有关勾股定理的证明方法中,有一种方法最为古老,而且对后来的影响有比较大,这种方法就是演绎法,是古希腊数学家欧几里德发现的.在他所著的几何原本中给出了这种方法。如图 直角三角形ABC的AC边长为a，AB边长为b,斜边CB长为c.正方形ACGF边长为a,正方形ABHI边长为b, 正方形CDEB边长为c.证明过程如下: 连接GB,AD,CH,AE,过点A做AK垂直于BE交DE与点K。因为CG=CA,CB=CD, GCB=ACD .容易知道ACD GCB，又因为所以 同理： 因为 所以 又因为 所以 又+可以得到即 欧几里德的这种演绎思想对后来的数
7、学发展起到了很大的作用,更直接的作用是给勾股定理的证明方法提供了一个全新的思路。看下面一例 首先画直角三角形ABC, （如图）设点C为直角顶点,(斜边长为c,两直角边长分别为a,b),分别以直角边BC,AC为一边画正方形BCDE,ACFG,以斜边AB为一边画正方形ABJK.接着连接DF,容易知道ABCFDC,从而六边形ABEDFG的面积是以BC为一边的正方形的面积 ，AC为一边的正方形的面积，再加上直角三角形ABC的面积的二倍的总和。即 通过验证还能知道六边形ABEDFG的面积是四边形ABEG面积的两倍;再接下来,过J引CA的平行线,过K引CB的平行线,设它们的交点为L,则ABCJKL( 两角
8、夹一边).于是,六边形AKLJBC的面积是以斜边AB为一边的正方形面积与直角三角形ABC面积的二倍的总和. 即 我们还不难发现,如果把四边形ABEG绕B点旋转90度后,它恰巧重合于四边形JBCL.如果把四边形ABEG绕A点旋转90度后,它恰巧重合于AKLC.由此能说以六边形ABEDFG面积等于六边形AKLJBC的面积.即 由式可得 即定理即得证:不难发现这两种方法与前面的拼图法有着许多不同之处,在这里注重图形的转化演绎,所以我们可把它们归结为演绎法证明勾股定理.演绎法证明勾股定理一直都是一个重要的思路，不论在西方,还是在中国,都受到了这种思想的影响,在数学史中勾股定理的证明5一文有更详细介绍。
9、接下来,我们看这样一种证法,它融合拼图与演绎为一体,构思相当巧妙，如图 图(6)里的四个完全相同的直角三角形和一个小正方形构成了一个大正方形.现在,把其中一个直角三角形命名为ABC(图8),并设BC = a，CA = b，AB = c,中间一个正方形的边长是a-b,大正方形的边长是c,从而,图(8)里的大正方形的面积是 。把图(6)中的两个直角三角形合成一个长方形,这样,四个直角三角形就合成两个长方形和图(6)中间的一个小正方形,.把他们重新拼起来,就可以得到图(7)，然后,如图(9)那样，在该图中再引一条铅垂的虚线,标上各边的长.将图(9)作适当的简化后,能够恰好成为图(10)所表示的那样,
10、由一个边长为a的正方形,和一个边长为b的正方形组成.由此我们可以得到： 定理得证。1.3.1一种纯粹的数学与几何相结合的方法不难发现,无论采用的拼图,演绎,或者拼图与演绎相结合,最后都是离不开面积相等这种思路.在近500多种证明方法中大都采用了这种思想.但也有许多方法另辟蹊径,.在基础几何学与几何的有名定理5两本书中有这方面的介绍在中学八年级老教材中,我们见到过这样一种方法:如图 直角三角形ABC,直角边AC长为a,直角边BC长为b,斜边AB长为c,求证 证明如下:过点C作CHAB交AB与点H,对于BCH与BAC: B为公共角,BHC = BCA= BCHBAC 同理,在ACH与ABC中,也有
11、一个公共角A,另有一直角,所以它们也相似，既ACHBAC,所以 所以 有 +可得 = 即 定理得证, 这种证明方法不同与以上,抛开面积相等这种思路,是一种纯粹的数学与几何相结合,体现了数形结合的巧妙与独有魅力。 勾股定理的证明方法有不下500多种每种方法都与数形结合思想有联系。同时对勾股定理的证明也反映了中西方文化的差异6。在几何的有名定理一书中对勾股定理有详细介绍.2. 勾股定理的应用勾股定理是数学中一条重要的定理,所以它的应用相当广泛。它包括定理本身的应用，有定理证明方法的应用.对证明方法的应用,主要是对证明方法中所蕴涵的思想的应用。比如,数形结合思想,演绎变换(转化思想)7等。但是大多时
12、候定理与思想是共同出现。 数形结合是数学这门学科中一种重要思想,它把代数与几何联系在一起,往往能起到另人意想不到的效果。2.1勾股定理与方程的联系求解。(数形结合的方法)例1在一棵树的20米高处有两只小松鼠,其中一只爬下树向离树40米的池塘，而另一只爬到树顶后直接扑向池塘。如果两只松鼠经过的路程相等,问这棵树有多高?分析:根据题意画出图形,在直角三角形中运用勾股定理求解。 解:如上图，D为树顶,AB=20米,点C为池塘,AC=40米 设BD的长为米,则树高为(20+)米AC+AB=BD+DCDC=40+20-x=60-x在直角ACD中,有勾股定理可得: 即 : 解得 =10 所以树高为30米。
13、通过此例我们能看到勾股定理与数形结合之间的联系,相互包含,而且求解时通常与方程的联系也相当紧密。我门再看一例与生活有联系的实例。例2 图(1)是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图(单位:cm), 中矩形ABCD是有双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤,矩形DCEF为绸缎面。 将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆从杆顶到地面的高度为220cm,在无风的天气里.彩旗自然下垂,如图(1)求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h。 分析本题是以大家熟悉的红旗为素材编拟一道具有较强的创新意识的试题,通过本题的解决,可使我们认识到数学无处不在,彩旗下垂的高度就是矩形DCEF的对角线DE的长度，所以本题需先求出对角线DE的
14、长。 解:在RTDEF中,根据勾股定理,得因为 DF=120,EF=90,所以 2所以 = DE=150所以 h=220-150=70(cm)所以彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度是70cm;2.2演绎法的应用对于数形结合思想随处可见 ,不再举例.下面我来看转化思想; 在勾股定理证明方法时 ,提到了演绎法,其实这种方法里就是转化思想，这种思想在数学中也比较重要。在七年级的教材里就出现了这种思想,我来看几例。 例3,如图,长方体的长为25cm,宽AF为20cm,高为30cm,点B距点C5cm,一只昆虫,如果要沿着长方体表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是多少? 分析:由于昆虫是沿着长方体的表
15、面爬行的,故需把长方体展开平面图形,根据两点之间线段最短,昆虫爬行的路程有两种可能如图2、图3所示,利用勾股定理容易求出图2,图3中AB的长度,比较后即可求得昆虫爬行的最短路程。 解:将长方体展开成平面图形,因为两点之间线段最短,所以能求的爬行路程是线段AB的长度,根据点B在图上的位置,展开后线段AB有两种可能.即图2和图3所示。 图2中,由勾股定理,得.AB= 图3中,由勾股定理,得 因为15251625,所以 昆虫需要爬行最短路程是cm. 这种类型的问题从七年级时就已体现,求立体图形的最短距离,一般需要把立体图形展开,最终利用勾股定理求两点的距离,对于转化思想,在生活中也经常遇到,如: 例
16、4,如图,林中有两棵树,相距12m,一颗树高为13m,另一棵树高8m,一只小鸟从一棵书的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞多远？ 分析:本题是一道具有创意的实际问题,当小鸟从高树顶端按直线飞行到另一棵树的顶点时,所飞行的距离最短,本题涉及到两点之间线段最短,以及勾股定理的应用等知识.分别用AB,CD表示两棵树,如图得到梯形ABCD.过D作AB的垂线可构造直角三角形,利用勾股定理解决。解:如图2,作DEAB与点E.因为AB=13米,CD=8米,所以AE=5米,由BC=12米,得 DE=12米在RtADE中,因为AE=5,DE=12,所以所以AD2=169,所以AD=13米所以一只小鸟从一棵树的
17、顶端飞到另一棵树的顶端,至少要13米。 2.3 构造直角三角形来解题 以上两种应用均有侧重点,第一种侧重数形结合,第二种侧重思想转换。我们知道构造直角三角形来解题是求解平面几何问题的重要的方法。下面就看这样一例,它包含数形结合与转化思想于一体。 例5 已知等边ABC的边长为2，点E是边BC延长线上的一点，且CE=BC，点D是AB的中点，求DE的长。 分析：因为DE与ABC的各边都没有明显的关系，所以可以通过添加辅助线构造直角三角形，将DE作为直角三角形的一条边，利用勾股定理求DE的长。 解法1 ： 过点D做DFBE，垂足为点F 在Rt 在RtDFE中，FE=4-=，利用勾股定理可以求得DE的长
18、：DE=解法2 ，连结AE，因为AB=BC=CE,所以利用在直角三角形中，若一条边的中线长等于这条边的一半，则这条边所对的角为直角。可得是直角。所以DE是Rt的斜边。在RtABE中，用勾股定理求得在Rt中所以的长为致谢：本论文是在李远华老师的悉心关怀和指导下完成的李老师严谨的治学态度，渊博的专业知识给了我深刻的印象。提高我独立检索资料的能力，初步具备搜集、整理、筛选信息资料的能力，初步掌握科学研究的基本方法，了解科学研究论文的写作技巧与规范化要求，受到科学研究的初步训练。实验期间李老师不仅仅在是在学术上辛勤指导，还对我生活予以无微不致的关怀，使我顺利的完成了本论文的研究工作。在此，向各位老师，
19、同学及我的家人表示深深的谢意和感激！ 参考文献1 赵爽.周脾算经注2 A、B勃格莱洛夫.基础几何学M 程永茂 李德文（译）黑龙江科学技术出版社. 3 李文林.数学史概论M. 高等教育出版社,2005,(4). 4 朱奎详.在趣味拼图中感悟勾股定理.中学生数学.J 2006年04期. 5 朱哲. 数学史中勾股定理的证明 数学教学J 2006年3期. 6 失野健太郎.几何的有名定理M 陈永明（译）上海科学技术出版社. 7 王凯. 勾股定理与中国古代数学.邵阳学院学报J. 2005年3期. 8 刘顿. 勾股定理与数学思想.初中生J. 2006年2期. 9 九年义务教育八年级教科书. 几何J.人民教育出版社出版.15