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1、城市居民食品分类及零售价格预测【摘要】本文针对城市居民食品零售价格，提出了将模糊聚类分析用于食品分类的方法。根据题中提供的城市居民食品的零售价格的数据，以42种不同食品及它们各自的39个不同时期的价格为研究对象，对它的走势进行曲线拟合，利用模糊聚类分析法对食品进行分类，并由它们的价格走势利用平滑预测法对2011年4、5月的城市居民食品零售价格进行预测，从而有针对性的对相关部门提出建议。【关键词】 模糊聚类分析法 二次平滑预测法 1、 问题的提出消费者物价指数，也称消费价格指数，是反映与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标，是与人民生活密切相关的
2、参考指标。城市居民食品零售价格是消费者物价指数的重要组成部分，权威机构研究认为粮食生产、流通成本上涨一定会带动农产品价格总体上涨，特别是2011年异常的气候情况，导致生产成本大量增加，国际粮价对国内供需的影响，食品价格未来可能发生上涨。刚公布3月份的消费价格指数增幅达5.4%，创32个月来的新高，这使得年内的通货膨胀压力正在增强。问题1：根据附录建立数学模型，将所涉及食品适当分类，并分析每类食品的特点；问题2：根据附录建立数学模型，预测2011年4、5月的城市居民食品零售价格走势；问题3：写一篇城市居民食品零售价格情况分析和对有关部门建议的文章。2、 问题的分析本题是一个关于城市居民食品分类及
3、零售价格预测的问题。问题一要求根据2010.3.52011.3.25城市居民的食品零售价格数据，对42种食品进行分类，并归纳出每类食品的特点。考虑到食物链的影响，各种食品价格之间存在着连带关系，我们的一个自然想法就是要根据题目所涉及的各种食品的价格走势的相似性和相关性，对全部食品进行分类。因此，我们想到了模糊聚类分析的方法。首先我们利用Matlab软件，根据各种食品的价格变化，对它们的价格走势进行曲线拟合，再由拟合后的曲线分析得出各类食品的相关性；然后利用模糊聚类分析法的一般步骤，对数据进行处理，最终对食品进行恰当的分类。问题二要求对2011年4、5月的城市居民食品零售价格走势进行预测。要对之
4、作出恰当预测，在题目已知条件下，再依据问题一的结果，关键就是要找到一种较理想可信度较高的预测方法，此题我们采用二次平滑预测的方法，利用题中的价格数据，对未来两个月的零食价格作出预测。 3、 模型假设为使问题简化，特作如下假设：（1）、在研究期间，所有食品的价格只受市场的正常调节，无人为干扰；（2）、研究期间无重大自然灾害，市场供需一切正常。4、 符号说明：第种食品(按照题目附表给出的食品的顺序)：第种食品的第个价格：归一化处理后，第种食品的第个标准价格：每种食品在研究期间的均价的最小值：每种食品在研究期间的均价的最大值：食品和食品的相似程度：42种食品的原始价格数据矩阵5、 模型的建立与求解5
5、.1 问题一的模型建立与求解一个确切的分类,是由一个普通等价关系确定的,而一个模糊等价关系确定了一个模糊分类. 因此,进行模糊聚类分析,求取模糊等价关系是关键，假定所有讨论均在论域上进行,具体步骤如下：（1） 数据矩阵设论域为被分类对象，每个对象又有个特征表示其性状，即 ，于是，得到原始数据矩阵为。其中表示第个分类对象的第个特征的原始数据。在题目的基础上，我们知道。因此可以建立食品价格的原始数据矩阵，矩阵如下：（2）样本数据的标准化这是指：对样本指标数据进行归一化处理,将数据压缩到论域区间内。设有个样本,每个样本具有个样本特征值；表示第个样本的第个特征值。本文42个样本的39个特征值即题中给出
6、的各食品不同时间段的零售价格。这里我们利用移动极差公式将原始数据矩阵归一化处理得标准矩阵，这样食品价格全部压缩到论域中。具体标准矩阵见附表一。（3）标定（建立模糊相似矩阵）设论域，依照传统聚类方法确定相似系数，建立模糊相似矩阵，与的相似程度。这里本文确定的方法主要借用传统聚类的数量积法：所以根据此方法，对42种食品的价格建立阶的模糊相似矩阵，具体矩阵见附表二。（4）模糊等价矩阵的求取上述标定过程得到的模糊关系是一个模糊相似矩阵,一般只具有自反性和对称性,不满足传递性,必须对进行改造,为此, 经过有限次运算后,必有,就可以得到一个模糊等价矩阵。根据题中的数据，我们建立了食品价格的阶模糊等价矩阵，
7、具体见附表三。（5）聚类分析根据上步求得的模糊等价矩阵，利用SPSS对其进行聚类分析，通过设定不同的值得到以下四种结果：1）可分为四类：，。2）可分为五类：，。 3）可分为六类：，。4）可分为七类：，。（6）聚类效果检验设对应于值的分类数为，第类的样本数为，第类的样本记为：，第类的聚类中心为向量，其中为第个特征的平均值，即，。利用检验法做统计量： ，其中 为与间的距离，为第类中第个样本与其中心间的距离，由此求得的值称为统计量，它是遵从自由度为，的分布。它的分子表征类与类之间的距离，分母则表征类内样本间的距离。因此，值越大，说明类与类之间的距离越大；类与类间的差异越大，分类就越好。根据以上原理，
8、计算得：分为四类时，F=57.321%分为五类时，F=77.128%分为六类时，F=45.981%分为七类时，F= 46.178%由以上数据发现：当分为五类时，它的F值最大。故分五类为最佳分类法。下表即为42种食品被分为五类时的表格：项目食品名称第一类大豆油第二类萝卜第三类大白菜，油菜，胡萝卜，圆白菜，食用盐第四类菜籽油，鲜猪肉（肋），鸡肉，鸡蛋，带鱼，草鱼，鲤鱼，芹菜，黄瓜，茄子，西红柿，土豆，青椒，尖椒，豆角，蒜苔，韭菜，芦柑，苹果，香蕉，西瓜，豆腐，绵白糖，白砂糖，红糖，酱油，醋，鲜牛奶第五类花生油，大豆调和油，鲜猪肉（精），鲜牛肉，鲜羊肉（去骨），鲜羊肉（带骨），活鸡利用曲线拟合，42
9、种食品被分为五类时，每类中食品的价格走势图如下：（备注：上图中的序号是按照题目附表给出的食品的顺序定的。）所以，根据价格走势图，我们可以分析出每类食品的特点是：第一类：2010.3开始到2010.9期间，大豆油的价格变化较平缓；可是到9月之后它的价格迅速飞涨，之后也有不少的涨幅，且呈持高不下的态势。 第二类：萝卜的价格波动较大，研究期间内价格的最大值和最小值差值很大，且该期间的初期和末期萝卜价格差不多。第三类：该类中食品的变化趋势大致一样，3月到6月期间，食品价格有一定的变化，但是幅度不太大；6月到8月，该类中每种食品价格的走势也差不多；再之后它们的价格较之前趋于平缓。第四类：此类中食品价格的
10、走势都很相似，3月期间价格有一定的涨跌，之后都变化不大。第五类：每种食品价格走势差不多，3月到10月期间变化都很平缓，之后虽有一点涨幅，但马上又趋于平缓。5.2 问题二的模型建立与求解此题我们采用指数平滑预测法，这是指：以某种指标的本期实际数和本期预测数为基础，引入一个简化的加权因子，即平滑系数，以求得平均数的一种预测方法。它是加权移动平均预测法的一种变化。平滑系数必须大于且小于。根据问题一对每种食品的价格进行曲线拟合，具体地我们用二次平滑预测法对未来两个月的食品的价格作出预测。(1) 用二次平滑法求预测模型系数二次平滑法的预测公式为：式中：k代表从基期t到预测期的期数，且式中：其中代表第时刻
11、的价格实际值，为修正系数，为第时刻的一次平滑指数预测值，为第时刻的二次指数平滑预测值。指数平滑和方程系数可以使用Matlab计算。由题目数据可得出预测值，其中预测后2011年4、5月42种食品的价格预测数据如下表：城市居民食品零售价格预测（ 2011.4.5 2011.5.25 ）商品名称规格等级计量单位均价(11-4-5)均价(11-4-15)均价(11-4-25)均价(11-5-5)均价(11-5-15)均价(11-5-25)菜籽油散装元/500克5.9114735.9105715.909675.9087695.9078675.906966大豆油散装元/500克5.5228045.5200
12、215.5172385.5144555.5116715.508888花生油一级桶装元/5升116.8477116.8476116.8475116.8474116.8473116.8471大豆调和油一级桶装元/5升61.2961.23661.18261.12861.07461.02鲜猪肉精瘦肉元/500克12.9701512.9533812.9366112.9198512.9030812.88631鲜猪肉肋条肉元/500克10.3387610.3549310.371110.3872710.4034410.41961鲜牛肉新鲜去骨元/500克18.1237818.1224918.121218.11
13、99118.1186218.11734鲜羊肉新鲜去骨元/500克21.118421.0979421.0774721.05721.0365421.01607鲜羊肉新鲜带骨元/500克19.1614919.159619.1577119.1558219.1539319.15204活鸡活肉鸡1-1.5公斤元/500克11.9853711.9846611.9839411.9832211.982511.98178鸡肉白条鸡、开膛 上等元/500克8.6362798.6429068.6495348.6561628.662798.669418鸡蛋新鲜完整 鸡场蛋元/500克4.6730834.6874874.
14、7018914.7162954.7306994.745103带鱼冻 250克左右元/500克9.5434299.4932979.4431659.3930329.34299.292768草鱼活1000克左右一条元/500克6.1594176.1885046.2175916.2466776.2757646.304851鲤鱼活500克以上一条元/500克5.9799945.9799945.9799945.9799935.9799935.979993芹菜新鲜一级元/500克3.0756453.070323.0649963.0596713.0543463.049021大白菜新鲜一级元/500克0.636
15、8740.634850.6328260.6308020.6287780.626754油菜新鲜一级元/500克1.1064531.0793831.0523141.0252440.9981740.971104黄瓜新鲜一级元/500克3.1033583.1116683.1199783.1282883.1365983.144909萝卜新鲜一级元/500克0.804510.8047310.8049520.8051740.8053950.805616茄子新鲜一级元/500克4.059054.0753754.0917014.1080274.1243524.140678西红柿新鲜一级元/500克2.84438
16、52.8156992.7870122.7583262.729642.700953土豆新鲜一级元/500克2.6416522.6512242.6607962.6703682.6799392.689511胡萝卜新鲜一级元/500克2.3067422.3151692.3235962.3320232.340452.348877青椒新鲜一级元/500克3.4228473.4065373.3902273.3739173.3576073.341297尖椒新鲜一级元/500克6.3949266.4017056.4084836.4152616.4220396.428818圆白菜新鲜一级元/500克1.24602
17、1.2425241.2390281.2355331.2320371.228541豆角新鲜一级元/500克6.4293946.4268596.4243246.421796.4192556.41672蒜苔新鲜一级元/500克8.6054028.6937098.7820168.8703238.958639.046937韭菜新鲜一级元/500克3.6653443.673193.6810373.6888833.6967293.704575芦柑一级元/500克3.2323953.2325113.2326273.2327423.2328583.232974苹果红富士 一级元/500克4.6435534.62
18、03064.5970584.5738114.5505634.527316香蕉国产 一级元/500克2.8583872.837392.8163932.7953962.7743992.753402西瓜当地主销 一级元/500克2.4096812.3959192.3821582.3683962.3546352.340873豆腐无包装元/500克2.252.252.252.252.252.25食用盐精致含碘盐元/500克1.31.31.31.31.31.3绵白糖当地主销(袋装)元/500克8.838.838.838.838.838.83白砂糖当地主销(袋装)元/500克5.7498815.749876
19、5.749875.7498645.7498585.749852红糖当地主销(袋装)元/500克6.2502286.2502396.250256.2502616.2502736.250284酱油当地主销 瓶装 500ml元/瓶5.2810925.2811455.2811995.2812525.2813065.281359醋当地主销 瓶装 500ml元/瓶3.821023.8205793.8201383.8196973.8192563.818815鲜牛奶当地主销(袋装)元/500克3.53.53.53.53.53.55.3 问题三的求解依据问题一的食品分类和对食品价格的曲线拟合，以及对4、5两个月
20、的价格走势的预测，我们分析出城市居民食品零售价格情况如下：据对城市居民食品零售价格42个品种的监测，2010.3.5到2011.3.25期间，大豆油和萝卜的价格涨跌幅度较大。其中大豆油在研究期间前期价格波动不大；到中期开始，它的价格开始大幅上涨，之后也呈现持高不下的态势。萝卜的价格则根据时间也有上下波动，且从6月开始，它的价格突然上涨，这一原因也许是季节变化的影响；随着时间的推移，它的价格又差不多回到了初期的值。其次，包括大白菜，油菜在内的五种食品，在10年3月到10年6月期间，它们的价格基本趋于平缓，变化不大。但从6月开始，价格都呈上涨趋势，之后保持在一定价格值附近，8月后价格降到一定值后又
21、趋于平缓。再者，在研究期间前期，包括菜籽油，鲜猪肉（肋）在内的28种食品的价格有一定量的涨跌幅度，之后都大致保持不变。最后，包括花生油，大豆调和油在内的7种食品价格走势大致一样，3月开始到9月，价格没怎么发生变化；接着价格上涨后变化又趋于平缓。由未来两个月食品价格的预测数据可知，42种食品的价格走势大致相同，且变化都不是太大。现在的物价较以前都有上涨的趋势，城市整体的消费水平也升高了。但并不是所有的居民都能长期支付起高涨的食品价格。因此针对食品零售价格走势、城市消费水平和物价情况，我们对相关部门提出如下几点建议：1) 相关食品管理部门要严格控制各食品销售商的物价，不能出现价格太高或太低的情况；
22、2) 相关部门也要严格控制市场的食品供求关系，切忌供不应求或者供过于求；3) 大力打击垄断食品市场的非法销售商，避免商品价格持续高涨不下；4) 有关部门要及时了解各销售商的商品产销情况，避免由市场商品过剩或产量不足而引起的价格下降或上升的不利现象；5) 管理部门在重大节假日期间，要严格控制商品价格，不要出现价格大幅上涨的混乱状况。6、误差分析问题二中，在对食品价格进行预测时，根据各食品价格的波动情况，我们采用了回归预测和二次平滑预测。可是理论值和实际值总有一定的差距，所以我们作了如下的误差分析：1) 大豆油误差分析记表示理论值与实际值之间的平均误差、标准差和方差，通过计算可知：，, 下图给出了
23、大豆油价格的理论值和实际值的拟合曲线比较： 2) 萝卜误差分析同理按照上述误差分析法，可得萝卜误差分析的相关数据为，, 下图为萝卜价格的理论值和实际值的拟合比较： 3) 第三类食品误差分析计算得第三类食品的平均误差，标准差和方差分别如下：（它们的下标序号是按照问题二食品分类表中的食品的顺序定的。） ，；，；，。理论值和实际值的拟合曲线图如下：4) 第四类食品误差分析由于该类食品种数过多，所以我们选择前五个食品进行误差分析。依照上述方法，计算可得该类食品的平均误差，标准差，方差分别如下：，；，； ，。理论值与实际值的具体比较如下图：5) 第五类食品误差分析对该类中的七种食品进行误差分析，具体相关
24、数据如下：，；，；，。它们的理论值、实际值的比较如下图：根据误差分析，我们知道这些预测值都在允许的误差范围内，所以预测值具有一定可信度。6、 模型的改进与评价本文所建模型的主要思想是：首先，根据食品之间的相关性以及它们价格变化的连带关系，利用模糊聚类分析方法对42种食品进行分类。根据模糊聚类分析法，我们对原始数据进行预处理，将价格走势做了曲线拟合。通过拟合，能让读者很清楚地对比出各种食品价格的相关性，从而做出恰当的分类。然后，基于生成的食品分类，本文又采用了二次平滑预测的方法，以某指标的本期实际数和本期预测数为基础，引入一个简化的加权因子平滑系数，求得平均数，进而根据公式求出下期预测数。该方法
25、详尽，易懂，便于读者阅读，理解之。再之后，我们根据问题一和问题二的结果，顺理分析得出城市居民食品零售价格情况，对针对市场情况，对相关部门提出了一些人性化的建议。整个建模的思路、想法自然，便于理解。这也是本文最大的优点。7、 参考文献【1】 韩中庚. 数学建模方法及其应用. 北京. 高等教育出版社. 2005【2】 胡良剑. 数学实验：使用MATLAB. 上海. 上海科技出版社. 2003【3】 谢季坚，刘承平. 模糊数学方法及其应用（第二版）. 武汉. 华中科技大学出版社. 2009附表一：标准矩阵2010.3.52010.7.50.0404650.0420840.0416890.041689
26、0.0426990.0421940.0420710.0416230.0417240.0400410.0400410.0400410.0393540.0357110.0370210.0367280.0367280.0377440.0372360.0367990.0368810.0369820.0354440.0354440.0354440.03475411111111111110.5217120.5251560.5237990.5237990.5192410.5240510.5231970.5161220.5109050.5017360.5017360.4848830.4845140.10491
27、30.1029430.1002640.1002640.1012120.1100210.1058630.1067440.1079970.0987740.0987740.1003060.1047740.0739570.0738320.0707120.0638520.0600950.0604430.0617880.0621710.0631120.0607760.0606740.0592440.0579580.1632330.1646450.1646440.1635880.1628890.15770.1570010.1585880.1623640.1569970.1621040.1608780.160
28、2780.1722130.171290.1712930.1712930.1711120.1680380.166280.1668070.1668950.1613890.1613890.1613890.1607890.1574220.1525160.1525070.1525070.1523460.1506330.1483550.1485770.1486670.1437180.1437180.1437180.1431050.1070260.1085330.1097630.0981530.0872960.0828060.0850910.0932560.0936680.0960160.0960160.0
29、960160.1025250.0824090.0826920.0817940.0889710.0896150.0933540.0868830.0832460.076810.0730340.0730340.0691520.0623530.0266240.0279510.0256460.0267020.0257250.0254220.0249890.026870.0260250.0251280.0251280.025230.0251460.1220290.1254090.1324540.117150.1038480.0969410.0915230.0868280.0807080.0763020.0
30、763020.0763020.0795260.0494450.0484130.0488650.045910.0469160.0464140.0449180.0458380.0441470.042390.0434120.0420840.0403760.0491280.0507330.0501320.0501320.0511330.0506330.0502950.0495260.0488880.0464760.0464760.0464760.0457940.0195460.0201460.0174140.0161480.0177120.0152950.0139180.0145420.0130650
31、.0134830.0139940.0112360.0105280.0010570.0043240.006860.0116090.0137060.0097050.0049560.0047420.0037930.0029620.0039840.0045970.0038840.0100370.0146610.0163590.013720.011070.0121310.0091730.0068490.0067430.0061290.0068440.0060270.0053150.0232440.0270010.0248020.0187860.0189770.0168780.012020.0121180
32、.0085340.0063330.0048010.0035750.00327100.001266000000000000.0266240.0295330.0337730.0383110.0390090.0398730.0350060.0247630.0243390.0219610.0204290.01430.0120620.0200740.0185630.0195250.0202640.0235110.0305910.0246730.0205480.0178060.0131770.0131770.0121550.0102220.0078180.0110750.0103430.0119260.0
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