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1、多自由度系统振动的研究 第 19 页 共 19 页多自由度系统振动的研究摘要：多自由度振动系统在工程技术领域有着广泛的应用，对其研究也日渐完善。本文首先通过分析力学的方法建立多自由度振动系统动力学方程并介绍其解法，其次介绍了多自由度系统求解的几种近似方法(邓克利法和瑞利法)及其应用，最后介绍了利用Matlab程序求解多自由度振动系统的数值解的方法。关键词：多自由度，振动，方程 1 引言人类对振动现象的了解和利用有着漫长的历史，远古时期的先民已有利用振动发声的各种乐器。人们对与振动相关问题的研究起源于公元前6世纪毕达哥拉斯（Pythagoras）的工作，他通过实验观测得到弦线振动发出的声音与弦线
2、的长度、直径和张力的关系。在我国，早在战国时期成书的庄子就已明确记载了共振现象。现代物理科学的奠基人伽利略（Galileo Galilei）对振动问题进行了开创性的研究，他发现了单摆的等时性并利用他的自由落体公式计算单摆周期。胡可（R.Hooke）于1678年发表的弹性定律和牛顿（I.Newton）于1687年发表的运动定律分别为振动力学的发展奠定了物性和物理的基础。欧拉（L.Euler）于1728年建立并求解了单摆在有阻尼介质中运动的微分方程。1739年他研究了无阻尼简谐受迫振动，从理论上解释了共振现象。1747年他对个等质量质点由等刚度弹簧连接的系统列出微分方程组并求出精确解，从而发现系统
3、的振动是各阶简谐振动的叠加。1762年拉格朗日（J.L.Lagrange）建立了离散系统振动的一般理论。 在许多机械系统，根据其工作状况，简化成一个单自由度或两自由度系统的理论模型，以满足对其动态特性进行分析的要求。事实上，所有机械系统都是由具有分布参数的元件所组成，严格地说，都是一个无限多自由度的系统（或连续系统，分布参数系统）。根据结构特点和分析要求，把有些元件或其部分简化成质量，而把有些元件或其部分简化成弹簧，用有限个质量、弹簧和阻尼去形成一个离散的、有限多的集中参数系统，这样就得到一个简化的模型。多自由度系统是对连续系统在空间上的离散化和逼近，由于计算机技术的广泛应用，有限元分析和实验
4、模态分析技术的发展，多自由度系统的理论和分析方法显得十分重要。 实际工程结构复杂而不规则，难以精确求解，于是各种近似计算方法相继被提出。1873年瑞利（J.W.S.Rayleigh）基于系统的动能和势能分析给出了确定基频的近似方法，里茨（W.Ritz）发展了瑞利法使之推广为几个低阶固有频率的近似计算。1894年邓克利（S.Dunkerley）分析旋转轴振动时提出一种近似计算多圆盘轴横向振动基频的简单实用方法。1904年斯托德拉（A.Stodola）计算轴杆频率时提出一种逐步近似方法，成为矩阵迭代法的雏形。1902年法摸（H.Frahm）计算船主轴扭振时提出离散化的思想，以后发展为 确定轴系和梁
5、的频率的实用方法。1950年汤姆孙（W.Thomson）将这种方法发展为矩阵形式而最终形成传递矩阵法。 在解决系统的振动问题时，常常借助计算机来完成，为求解多自由度系统的振动带来了很大的方便，但不同的计算机语言直接影响着编程的繁琐程度和解决问题的快慢程度。MATLAB作为一种高效的工程语言，将计算、可视化和编程功能集于一个易于使用的环境，提高了编程效率，还可以利用其绘图功能对结果进行直观地分析。2 多自由度振动系统动力学方程 2.1 系统的势能和动能建立系统的动力学方程可以采用牛顿力学与分析力学的任何一种方法。对于多自由度系统，采用分析力学方法更便于得到动力学方程的普遍形式。设系统具有个自由度
6、，以个广义坐标表示系统的位形。系统的势能为广义坐标的函数，在平衡位置处满足2 （1）将平衡位置取作广义坐标的零值，则广义坐标也表示系统相对平衡位置的偏移。当系统在平衡位置附近作微振动时，广义坐标及其导数均为小量。设势能在平衡位置处也取零值，将在平衡位置附近展成泰勒级数1只保留广义坐标的二阶微量，考虑条件（1），导出 （2）其中系数均为常数，定义为 括号外的下标“0”表示在平衡位置处取值，常数被称为系统的刚度系数且满足。于是，系统的势能可以进一步表示为此式中的方阵称为刚度矩阵，常用记之，是阶对称正定方阵。 设系统受定常约束，其动能为广义速度的二阶齐次函数 （3）其中系数为广义坐标的函数，且有。系
7、统作微振动时，只保留广义坐标和速度的二阶小量，系数可用平衡位置处的值代替而成为常系数。这样，系统的动能最终可近似表达为3 次式中的方阵称为质量矩阵或惯性矩阵，常用记之，是阶对称正定方阵。引入广义坐标列阵,则 , （4）2.2 动力学方程设为与广义坐标对应的非保守力，为拉格朗日函数，拉格朗日第二类方程的一般形式为1 将式（2）和（3）代入拉氏方程，导出多自由度系统的动力学方程 （5）动力学方程（5）可写成矩阵形式 （6）其中为非保守力构成的矩阵。讨论保守系统的自由振动时，令，方程简化为 （7）动力学方程（6）有明确的物理意义，即弹性恢复力、惯性力与非保守力平衡。将动力学方程（6）各项左乘的逆阵化
8、作另一形式 （8） 其中称作系统的柔度矩阵，各元素称作柔度影响系数。令方程（8）中，得到保守系统自由振动的另一种形式动力学方程 （9）其中矩阵称作系统的动力矩阵。 无外力作用的多自由度系统受到初始扰动后，即产生自由振动。将线性动力学方程（7）中的广义坐标列阵改用表示，得到 （10） 此方程有以下特解 （11）此特解表示系统内各个坐标偏离平衡值时均以同一频率和同一初相角作不同振幅的简谐运动。式（11）也可写作矩阵形式 （12）将上式代入方程（10），化作矩阵和的广义本征值问题 （13）有非零解的充分与必要条件为系数行列式等于零4 即 （14）这是关于的次方程，称为系统的本征值方程。方程有的个正实
9、根，即系统的本征值。每个本征值所对应的为系统的个固有频率。其中的最低固有频率称为系统的基频。2.3 保守系统运动方程的解法由式（14）可得系统的个本征值，对应每个本征值 ，式（13）存在的一组非零解，记作。于是，我们得到式（10）的组特解是5 ， 为系统的固有振型，而系统运动微分方程的通解则可表示成 ， (15)图1 三振子弹性系统x1x2kmmMkx3 例1：如图1所示，两个弹簧连接三个质点组成的一维振动系统，其中弹簧的劲度系数均为，中间质点的质量为，两端点的质量为。解：以图1所示的三个质点相对自身平衡位置的位移作为广义坐标， 并以向右的位移为正，则系统的动能和势能分别是 由方程式（10）
10、其中设解的形式为 , 由式（13）和式（14）可得相应的本征值方程由此解得 由式（13）得对本征矢量为，则对本征矢量为，则，系统作纯平动。对本征矢量为，则故系统振动微分方程的通解为：积分常数和由初始条件确定。 2.4 多自由度系统的受迫振动 多自由度系统受到外力激励所产生的运动为受迫振动。设自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同的广义简谐力的激励。将（6）的广义坐标列阵写作，右项以代入，得到系统的受迫振动方程1 （16）其中为复数列阵，其实部或虚部为实际广义坐标，分别为余弦或正弦激励的响应，为激励频率，为广义激励力的幅值 2.5 有阻尼的多自由度系统 任何实际的机械系统都不可避免地存在阻
11、尼因素，如材料的结构阻尼、介质的粘性阻尼等。一般情况下，可将各种类型的阻尼都化作等效粘性阻尼。假定阻尼力为广义速度的线性函数，写出 （17）其中称为阻尼影响系数。在利用拉氏方程推导系统的动力学方程时，考虑阻尼力的作用，将式（17）加入方程（5）的右边，得到 令，改用表示，将上式写作矩阵形式，得到有阻尼多自由度系统的振动方程1 （18）其中称作系统的阻尼矩阵。3 多自由度系统求解的几种近似方法 3.1 邓克利法若将特解（12）代入（9）形式的自由振动方程为 （19）将（11）代入方程（19），转化为动力矩阵的本征值问题 （20）其中参数为频率平方的倒数 的非零解条件要求方程（20）的系数行列式为
12、零 设,上式写作 （21）展开后得到的次方程 （22）其中为动力矩阵的对角线元素之和，即矩阵的迹的负值 （23）当质量矩阵为对角阵时，的迹写作 本征方程（22）也可写作 则系数可写作 （24）比较式（23）和（24）导出 （25）设想系统内只保留第质量时，则的倒数必等于此单自由度系统的刚度系数。从而推论，系统内只保留第质量时，其固有频率的平方必与互成倒数 将上式代入式（25），左边的求和式中除与基频对应的以外，第二阶以上的固有频率对应的均远小于可近似地予以忽略，导出以下基频近似公式1 （26）利用此公式算出的基频必小于实际基频，成为实际基频的下限。3.2 瑞利法瑞利法是基于能量原理的一种近似方
13、法。对于多自由度系统，瑞利法可用于计算系统的基频，算出的近似值为实际基频的上限。讨论自由度保守系统。设系统作某阶主振动，利用式（4）写出系统的动能和势能 , 将式（12）代入上式，导出动能和势能的最大值 , 根据保守系统机械能守恒原理，系统的动能与势能的最大值应互等，即，导出以下固有频率计算公式1 （27）图2 串联的质量弹簧系统m1m2m3k1k2k3x1x2x3称作瑞利商。3.3 比较邓克利法和瑞利法例2：讨论图2所示由三个串联的质量弹簧系统，设系统中用邓克利法估算系统的基频下限。 解：可列出系统的刚度矩阵和质量矩阵系统中三个集中质量分别单独存在时，各个单自由度系统的质量和柔度系数分别为和
14、导出 代入式（26）计算 得到基频的下限为 （实际基频）例3：用瑞利法估算例2中系统的基频上限。解：考虑到离固有基座越远的物体的等效弹簧刚度越小，位移越大，近似取 代入瑞利商公式（27），得到故 与基频的精确值相比，相对误差约为6。若选取的假设模态更接近真实模态，例如令相应得到 ，则基频近似值的相对误差减小为0.5。故瑞利法的精度与建设模态的选取直接相关。因此可以利用瑞利法配合邓克利法估计实际基频的大致范围。4 利用MATLAB程序求解多自由度振动系统的数值解4.1 MATLAB的简介6求解系统的自由振动方程式（10）就是寻找式（13）的固有频率和对应的主振型。因存在非零解，则为相对于的广义特
15、征值，为相对于的属于的特征向量，所以系统自振特性的分析，从数值分析的角度归结为求解式（13）的广义特征值问题。MATLAB提供了一个求矩阵广义特征值的函数，计算指令格式为,计算后返回广义特征值向量阵和广义特征值阵，满足式（13）。将归一化处理，取对角元素后求算术平方根等简单处理后就可求出系统的自振特性。由于特征值问题在很多领域里占据极其重要的地位，MATLAB计算特征值和特征向量采用精良的算法，然而，由于该方法将会产生系统所有的广义特征值和广义特征向量，耗费的机时也是相当可观的。当系统自由度增多，要想求出系统所有特征对（固有频率和主振型），耗时将大大增加，如图3中实线所示。在实际工程中，对于自
16、由度数较大的系统，往往只需求出较低的前阶特征对。MATLAB也提供了求解系统若干阶特征对函数,经归一化，排序后即可得到所要求的解，函数的格式为：，其中参数和表示求解个低阶特征对。随着自由度数的增多，采用以上函数计算多自由度前六阶特征对的耗时远比用函数计算所有特征对耗时少，如图3所示。图3 求解特征对的耗时4.2 基于MATLAB的动力时程分析算例7利用MATLAB编程，对某五层钢筋混凝土结构（如图4）输入一地震波进行弹性时程分析，结构的特性参数为：第一层到第五层质量都为1.0105kg，第一至第五层刚度分别为4.0106Nm，3.0106N/m, 3.0106N/m, 2.0106N/m, 2
17、.0106N/m。地震波采用200gal El centro波，采样周期为0.02s，如图5所示。结构阻尼比为0.05。图5 EL Centro 地震波图4 框架（1）通过MATLAB编程，对该框架进行结构时程分析，求得结构顶层的位移、速度和加速度反应，如图6所示。可以清楚地看到该结构顶层在地震波作用下的动力时程反应，使用MATLAB语言中max命令求得框架各层的最大位移、速度和加速度（表1），以及结构的自振频率（表2），具体数据如下：图6 用MATLAB求得结构顶层的地震反应 表1 顶层最大位移、速度和加速度第一层第二层第三层第四层第五层最大位移/mm29.1858.2783.77117.0
18、149.7最大速度/(ms-1)0.1600.1920.3030.3010.245最大加速度/(ms-2)2.4432.2201.6671.6321.889表2 结构自振频率 第一阶第二阶第三阶第四阶第五阶自振频率/（rads-1）0.2500.6651.0791.3261.6284.3 结论1）在工程振动中，确定系统自振频率是非常重要的，利用MATLAB语言可以方便快捷得出结构体系的自振频率。2）采用MATLAB语言对五层钢筋混凝土框架进行时程分析，相对传统计算机语言，MATLAB不仅相对语句少，可读性强，还可以利用MATLAB的绘图功能对结果进行直观地分析。3）该时程分析计算还可适用于自由
19、度更高的结构体系。5 结束语历史的回顾表明，多自由度系统的振动在其发展过程中逐渐由基础科学转化为基础科学和技术科学的结合。工程问题的需求使得关于振动的研究成为必要，而测试和计算技术的进步又使其发展成为可能。学科的交叉也不断为其发展注入活力。参考文献：1 刘延柱，陈文良，振动力学，高等教育出版社，1998，69108。2 江伟，王锡明，多自由度系统振动方程的确定，北京工商大学学报，2002.02。3 WTThomson , Theory of Vibration with Applications , PrenticeHall ,1981。4 陈钢，阮中中，用能量法求多自由度振动系统的角频率，物
20、理与工程，2006.4。5 王其申，经典力学，中国科技大学出版社，2005，164171。6 蔡红健，基于MATLAB的多自由度系统的振动特性分析，南通纺织职业技术学院学报，2012.3。7 柴志红，扶名福，MATLAB在多自由度动力体系中的应用，南昌大学学报工科版，2008.12。Research of multi-degree of freedom vibration systemTu qianjin (School of Physics and Electrical Engineering of Anqing Normal College, Anqing 246011)Abstract:
21、 Multi-degree of freedom vibration system is widely applied in engineering and technical field, and the study of it has also been increasingly perfected. This paper first establish the multi-degree of freedom vibration systems dynamic equation by analyzing mechanics and introduces its solution, then
22、 research several possible solutions to the problems involving in multi-degree of freedom vibration system as well as its application, and finally introduces the use of Matlab to solve the numerical solution of multi degree of freedom vibration system.Keywords: Multi-degree of freedom, vibration, equation