工商企业管理毕业论文-线性规划在管理中的应用.doc

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1、江西师范大学自 学 考 试 毕 业 论 文题 目 线性规划在管理中的应用 专 业 工商企业管理 姓 名 准考证号 056810301107 指导老师 2012 年度 上 (上/下)江西师范大学自学考试毕业论文指导登记表（一）姓名：黄利芳 专业：工商企业管理 编号： 论文撰写成绩（百分制）：论文题目：线性规划在管理中的应用开题报告（选题研究的意义及主要内容）：意义：线性规划是运筹学的一个分支，它广泛的应用现有科学技术和数学方法解决实际中的问题帮助决策人员选择最优方针和决策。本文首先简单介绍了线性规划问题，然后通过生产划实例介绍方法在管理中的应用，其目的是为了经济效益。 主要内容： 摘 要线性规划

2、是运筹学的一个分支，它广泛的应用现有科学技术和数学方法解决实际中的问题帮助决策人员选择最优方针和决策。本文首先简单介绍了线性规划问题，然后通过生产划实例介绍方法在管理中的应用，其目的是为了经济效益。 【关键字】：线性规划：企业管理：生产计划：灵敏度 AbstractLinear programming is a branch of operations research, it solves practical Problems and helps people to choose the best approach and decision-making with the existing

3、science and technology and mathematical methods. This paper firstly introduced a simple linear programming problem, and then presented the application linear programming method in the enterprise management through the examples ofproduction planning: its purpose is to improve the economic efficiency

4、of enterprises. 【Keywords 】：Linear programming；Business management ；Production planning； Sensitivity目 录摘要Abstract第一章 绪言第二章 线性规划方法概念2.1线性规划的概念和构成要素2.2线性规划问题的特点和模型的建立第三章线性规划想模型描述和问题求解方法3.1线性规划的模型描述3.2线性规划问题求解方法第四章线性规划在企业管理中的应用范围第五章运用线性规划方法进行企业管理中应注意的问题5.1设定最优解中非零变量个数与约束条件个数5.2目标函数中的价值系数5.3线性规划模型的静态性第六

5、章线性规划方法在企业生产计划管理中的应用6.1生产数据及任务分析6.3计算机求解第七章 结论参考文献致谢第一章 绪言一个企业要在市场竞争中立于不败之地，就必须改善经营提高经济效益，具体包括怎样合理安排生产任务、合理配置资源，怎样制定最优的生产计划，并对瞬息万变的市场信息及时做出反应。 随着计算机技术是普及，线性规划的数学方法在企业管理中应用的范围越来越广泛。线性规划生产于30年代末和40年代初，并随着现代技术和管理实践的发展而不断发展。是运筹性中起源较早、理论上较成熟的一个分支。线性规划的线性特点，简化了数学模型的构造和解题方法，容易被各企业管理人员所掌握应用。特别是计算机是广泛应用，线性规划

6、的在企业管理中的应用范围更加广泛和深入，渐渐成为管理人员必须掌握的一门现代化管理方法和优化技术。 生产型企业如何进行计划安排，如何使用现有资源，要考虑到企业的生产能力，资源的拥有量以及拟生产产品的单件利润等因素。本文通过线性规划具体模型的建立，阐述线性规划是解决企业生产计划管理问题的有效方法。线性规划的实质是最优化，即在满足即定的约束条件情况下，按照某一衡量指标，来寻求最优方案的数学方法。线性规划是非常重要的通用模型，主要用来解决如何将有限的资源进行合理配置，进而在限定条件内获得最大效益的问题。线性规划被广泛应用于工业、农业、管理和军事科学等各个领域，是现代管理与决策者最常用的一个有效工具。在

7、生产中决定多个品种的最优构成问题、库存控制问题、原料供应问题等等，都可以采用线性规划。线性规划在实际运用中，往往存在着求解困难，对此，一般采用“单纯形法”来解决。 管理动机是指企业在生产过程中，对本企业所需物资的采购、使用、储备等行为进行计划、组织和控制。所谓物资管理，是指企业在生产过程中，对本企业所需物资的采购、使用、储备等行为进行计划、组织和控制。物资管理的目的是，通过对物资进行有效管理，以降低企业生产成本，加速资金周转，进而促进企 第二章 线性规划方法概述一、线性规划的概念和构成要素 线性规划探讨的问题是在由性质决定的一列约束条件下，如何把有限的资源进行合理的分配，制定出最优实施方案，在

8、企业的各项管理活动中，例如计划、生产、技术等问题，线性规划是从各种限制条件的组合中，选择出最为合理的计算方法，从而求得最佳结果。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。 决策变量是指决策问题需求控制是因素，一般称为决策变量，例如，要考虑怎样决定不同产品的产量才能获得最大利润的问题，不同产品量可设为X1，X2,Xn，变量的多少，取决决策问题的要求，一般的说，决策变量越多，越能反映实际问题，但求解也就越复杂。 约束条件是指目标的限制条件，限制条件是多种多样的，例如确定不同产品的产量时，会受到劳动力、设备能力，原材料等的限制，因此要充分考虑约束条件，在满足约束条件下实现决策目标，约束条件有大

9、于，小于和等于几种类型，约束条件越多，考虑问题越周到。目标函数是指把决策的目标用之间变量的函数关系式表示出来，目标函数有最大值和最小值两种形式，如果设目标函数握S，则求Max(S),则求Max(S）和Min(S)。最大值和最小值统称为最优值。二、线性规划问题的特点和 模型的建立线性规划问题所讨论的内容一般都是已尽可能的方法利用有限资源，使费用最低。线性是数学中的常用词。他说明两个变的相互具有一种特殊关系比例关系，即两个变量按一定的比例增加或减少，用图形表示成直线就叫线性关系。 线性规划已广泛地用于企业管理。它之所以能得到广泛应用，主要有以下三点原因：(1)各领域、各部门的许多问题都能用或近似的

10、用线性规划模型来表示。(2)线性规划问题有一套完整的求解方法(3)通过线性规划模型可进行灵敏度分析，容易掌握各种数据的变化。模型不但能将复杂是问题简单化易于处理的形式，而且是方案优化的基础。建立线性规划模型的步鄒如下：（1）明确待定的未知变量，将其应数学符号表示（2）把问题中所有的约束条件用线性方程组或不等式表示（3）确定目标函数，即用决策变量的线性函数表示，并求其极大值或极小值。建立线性规划模型想工作是很复杂的，要通过实践才能掌握 建立模型的技巧。第三章线性规划的模型描述和问题求解方法一、线性规划的模型描企业管理是一种典型的复杂系统，利用模型描述着类系统是一件非常困难的工作，为此建模和求解过

11、程中对研究对象做出一些简化是非常必要的，这也是各类线性模型受到重视和广泛应用的原因之一。线性规划模型受到重视和得到广泛应用的现实表明，尽管经济系统是非常复杂的，但应用线性模型仍然能够描述和解决大量的实际问题。要实现线性规划在企业管理中的应用，前期要建立经济与金融体系的评价准则及企业的计量体系，摸清企业的资源。首先通过建网、建库、查询、数据采集、文件转换等，把整个体系的各有关部分的特性进行量化，建立数学模型，即把组成系统的有关因素与系统目标的关系，用数学关系喝和逻辑关系描述出来：然后把建好的数学模型编织成计算机语言程序， 输入数据、进行技术、不同参数获取的不同结果与实际进行分析对比，进行定量、定

12、性分析，最后做出决策。线性规划问题是一个优化问题，其数学依据为（1）用一组未知数（X,X,.Xn）表示某一方案，这组未知数的一组定值代表一个具体方案，通常要求这些未知数取值是非负的（2）存在一定的限制条件，这些限制条件可以用一组线性等式或不等式来表示（3）都有一个目的要求，并且这个目标可以表示一组未知数的线性函数，根据问不同，要求函数实现最大化或做小化。从而建立了线性规划的数学模型F(x1,x2,.xn)=C1X1+C2X2+Cn满足约束条件a 11x1+a12+.+a1nxn小于等于（=，大于等于）b1 a21x1+a22x2+a2nxn（=，）b2 am1x1+am2x2+amnxn（=）

13、bm X1，x2，xn0例如 有一个工厂有两种材料分为甲乙两种生产第一种，第二种，第三种，第四种等4种产品，每种产品的单位润、原料消耗如下，要使利润最大化，怎样安排1,2,3,4的产量？项目产品原料总量第一种第二种第三种第四种原料甲426720乙02104单位利润87910设X1,X2,X3,X4分别第一种第二种第三种第四种为几种产品产量。获得最大利润，线性规划模型为 max f(X1,X2,X3,X4)=8X1+7X2+9X3+10X4 约束条件是 4X1+2X2+6X3+7X420 2X2+X34 X1,x2,x3,x40线性规划 的数学模型根据问题可能有各种不同的形式，但在解决具体问题时

14、均化为线性规划的标准型，并借助于标准型的求解方法求解。 线性规划的标准行为： 目标函数 max f(X1,X2,X3,.Xn)=C1X1+C2X2+C3X3+.+CnXn 满足约束条件a11X1+a12X2+.+a1nXn=b1 a21X1+a22+.+a2nXn=b2 . am1X1+am2X2+.+amnXn=bm X1,X2,.,Xn0在标准型中，目标函数是线性的，并且是最大值，所有的约束条件也是线性的，且都是等式，等式右边的常数项非负，所有的决策变量是非负。 在线性规划标准式中，其约束条件就是一个线性方程组，求解一个线性规划问题，也就是在约束条件方程组的非负解中，寻找使得目标函数值达到

15、最大值的解。由于在线性代数中，对解线性方程组已有了很好的办法这为求解线性规划模型提供了良好的基础。二、线性规划问题求解方法 所谓线性规划问题，简单的说是一组决策变量在满足一组线性等式或不等式的约束条件下的值，使线性目标函数的值达到最优的数学方法。线性规划常用的解法有两种，对于比较简单的只含有两个变量的线性规划问题，可以用图解法求出最优值，对于三个以上的变量的线性规划问题，可以用单纯形法求解。图解法虽然较容易，但它可以为单纯形法比较复杂，变量较多，计算起来步骤越多，然而可以用电子计算机来进行数据处理。 对于一般的线性规划问题，可按以下步骤进行问题的求解： 1 确定目标函数最优值增量的取值范围 确

16、定目标函数最优值增量相当于确定线性经济系统的新增长目标，尽管从线性规划理论来说目标函数最优值增量增量的的取值范围最大可为无穷大，但从实践经验出发，该增量的取值应该符合实际，因此必须针对具体的线性经济系统进行分析，具体步骤如下： 应用参数规划方法分析系数集A，B，C中所有系数对目标函数最优质的影响每次去掉一个约束条件分析不同约束条件对目标最优值的影响以上两个步骤采用穷举法找出系数集A,B,C中所有系数对目标函数最优质的影响，但其中有些方案可能在实践中行不通，因此要从这些方案中选出所有的可行方案； 按照对目标函数最优质影响程度的不同对可行的创新方案进行排序，即可确定目标函数最优值增量的取值范围。

17、2 确定目标函数的最优质增量的数值根据线性经济系统的实际需要，结合已经确定的取值范围选取目标函数最优值增量。 3 定性地选择满意的创新方案或方案组合在具体的线性规划模型系数集A,B,C中每个系数以及各个都有mingque的经济意义，因此决策者可以根据实际情况从第一步确定的可行方案中选出一个创新方案或方案组合，作为问题满意的创新方案. 4 定量地确定创新方向根据第二步中确定的目标函数最优值增量利用参数规划方法搜索满意方案的取值，由于搜索方法每次只能确定一个参数的取值，因此组合方案不能直接利用搜索方法求出，对此可以采用逐步增加参数个数的方法，需要说明的是对于大规模线性规划问题，采用穷举法确定目标函

18、数最优值增量的取值范围时，计算工作量将是十分巨大的。为此建议事先根据对实际情况的定性尽可能多的排除不可行方案，以减小计算量。 第四章 线性规划在企业管理中的应用范围企业的效益依赖于资源配置的优化， 即依赖于线性规划模型的优化.优化的范围越大效果也就越好. 首先，线性规划可用于生产计划确定后的优化，内容包括：其一，在一定的资金和风险条件下，确定最佳库存量，使生产保持连续性和资金占用最小.其二，在生产计划生产设备生产能力的条件限制下，求得产品的的最大利益.其三，在运输分配计划中，计算路径数量人员的最佳效率和最小费用。其四，在原材料具有混合比例的限制下，求得价格陈本最低，利益最大。其五，各类投资问题

19、：一定的资金总额，利率与回收期不同的项目之间，如何投放使用，才能使经济效益最好。 其次，线性规划支持企业未来的决策。管理者必须分析未来的经济走势分析未来的消费趋势并预测同行的产销动向，然后确定自己的产品价格广告与促销策略，然后再将这些数据进行线性规划，这是求解一个随机线性规划问题。第五章 运用线性规划方法进行企业管理中应注意的问题一、设定最优解中非零变量个数与约束条件个数 应用线性规划对实际问题进行优化，都是在一定的约束条件之下进行的。不容忽视的是线性规划模型所得的最优解中非零变量的数目N不会超过模型的约束条件数目M。如果我们采用线性规划方法建模，根据所给的条件又只能得到M个约束方程，那么，这

20、样建立的模型的最优解如果存在，就最多只能有M个非零分量.如果在应用中忽视了这个这个结论，而将由模型求得的最优解不加分析地付诸实施，常常会带来不良的后果.挪威在开始用线性规划方法编制经济发展计划时，由于忽视了这一点，最优解中许多的商品指标是零，使得规划失效，给管理造成了巨大混乱和损失。二、目标函数中的价值系数在许多实际企业管理中的线性规划问题中，目标函数MaxZ=cx或MinS=c x中c和c分别为利润系数向量和成本系数向量，他们都是与一定的价格相联系的，线性规划的目标实质是一种货币形式表现的价值目标。在一个较合理的价格体系中，价格一般是能够代表商品的价值的。但在有些情况下，价格又不能正确地反映

21、商品的价值，不同的人对商品的价值定义不同。另外，有些服务工作是不经过买卖的，因而也不存在着市场价格问题。我们需要注意的是，这些价格的不确定性，绝不是意味这些服务所用的产品在目标函数中的价值系数为零，而是我们在确定目标函数中的利润系数或成本系数所涉及到得价格时，在实际价格的基础上适当地加以调整，或者调高或者降低，这样模型所得到的最优计划才有实际意义。三、线性规划模型的静态性当我们用线性规划的理论和方法去研究某个部门或地区的发展规划时，其模型具有静态性，但这只是近似的。严格说来，模型中所涉到得价格并非常熟。这说明线性规划模型的静态性是近似的，既然是近似的，所以在实际的应用中，考虑问题的误差的大小，

22、划定问题的界限是必要的。在企业资金技术设备等其它条件不变的情况下，合理安排人力物力和资金，合理组织生产经营，统筹规划，求得最佳效益，是线性规划技术得以在企业管理中发挥作用的重要的原因。目前，我国对于这方面的运用还不成熟，需要学习人员加强同企业的合作调研，进一步开发实际运用。第六章 线性规划方法在企业生产计划管理中的应用根据上几章对线性规划的介绍，可知企业生产计划管理问题分析完全符合线性规划建模的条件，可以运用线性规划来分析生产计划方案优化问题。但是，应用线性规划来进行生产计划问题分析，首先要弄清以下几点：（1）必须明确目标函数生产计划的经济分析是一种定量分析方法，它以企业利润作为评价目标值，所

23、求的目标是使企业利润最大化的生产计划决策，因此，企业利润最大化应是生产决策分析的目标函数。（2）必须明确约束条件 企业的生产能力，原材料，设备使用，市场需求状况等诸多制约因素与生产计划分析密切相关，称为生产分析中目标函数的约束条件。约束条件对生产计划分析的影响较大，在不同条件下。决策分析的结论则会不同。比如。就市场需求和企业生产能力的关系而言。企业所处状态可有三种类型：1能力不足状态，即市场对产品的需求超过了企业的生产能力：2能力过剩状态，即企业生产能力超过了市场需求：3中间状态，即供求平衡的状态。或者有时处于不足状态，或者有时处于不足状态，有时又处于过剩状态。（3）必须明确单件利润 单件利润

24、不仅牵扯到产品的单件收入，还要牵扯到生产所耗费的各项成本及费用。生产计划决策分析的基本方法是以利润最大化作为目标，明确未知变量，确定约束条件，建立线性规划模型，最终实现效益最大化的生产计划。其一般模式：目标函数为 利润p+销售收入R=(成本+费用)C在各约束条件下，使目函数达到最大值。分析企业实际生产过程中的日产量情况，设模型的未知变量为企业生产的产品日产量Xj(j=1,2,.,n),建立生产计划决策分析线性规划模型的过程如下： （1）目标函数。企业进行生产计划决策的目标值是企业利润最大化。先假设生产各种产品所或得的销售收入Rj与所耗费的产品成本和费用Cj均已知，则可以得出生产计划问题的目标函

25、数为： Max p = （R1-C1）X1+ （R2C2）X2+.= (2) 原材料约束。 无论是生产何种产品都需要消耗一定的原材料，在企业实际中若需耗用多种原材料则可根据原材料的种类，增添相应约束条件即可，建立约束不等式： A21x1+a22x2+a2nxn=b1 （3）生产能力约束。此约束具体表现为企业的可用工作时间或可用设备工时，而企业在一定时期内可用工时是有限的可以建立如下约束不等式： （4）市场需求约束。为了说明问题的方便，假设企业生产的产品市场都有需求，即无上限结束。若第j种产品市场需求有限，最大需求为Dj，则可增加约束Xj=Dj。 （5）非负约束。因为生产实际中最多即为不生产产品

26、，所以所有变量Xj（j=1,2，）=0 下面以A企业为具体例子来说明如何利用线性规划的方法来进行企业的管理：线性规划问题的建模过程 (1) 理解要解决的问题，了解解题的目标和条件； （2）定义决策变量（x1 ，x2 ， ，xn），每一组值表示一个方案； （3） 用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最小化目标； （4）用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过中必须遵循的约束条件。 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下： 设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员

27、?人力资源分配的问题（1）解：某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下： 班次时间所需人数16：00-10:006210;00-14:0070314:00-18:0060418:00-22:0050班次时间所需人数522；00-2:002062:00-6:00300设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?设 xi 表示第 i 班次时开始上班的司机和乘务人员数，这样我们建立如下的数学模型： 目标函数：min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.

28、t. x1 + x6 60 x1 + x2 70 x2 + x3 60 x3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 + x6 30 x1, x2, x3, x4, x5, x6 0 最优解：x1 = 50，x2 = 20，x3 = 50，x4 = 0，x5 = 20，x6 = 10，共 150 人。 人力资源分配的问题（2）一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？ 时间所需售货人数星期一28星期二15星期三24

29、星期四25星期五19星期六31星期日28配料问题（1）目标函数： max 50 (x11+x12+x13 ) + 35 (x21+x22+x23) + 25 (x31+x32+x33) 65 (x11+x21+x31) 25 (x12+x22+x32) 35(x13+x23+x33) = 15x11 + 25x12 + 15x13 30x21 + 10x22 40x31 10x33 约束条件： 从第 1个表中有： x11 0.5(x11 + x12 + x13) x12 0.25(x11 + x12 + x13) x21 0.25(x21 + x22 + x23) x22 0.5(x21 +

30、x22 + x23) 投资问题（1）某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资： 项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%； 项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元； 项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元； 项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。 据测定每万元每次投资的风险指数如下表：项目 风险指数 A 1 B 3 C 4 D 5.5 问： （1）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第

31、五年年末拥有资金的本利金额为最大？ （2）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？ 1.约束条件： 第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12 = 200； 第二年：B次年末才可收回投资，故第二年年初有资金1.1 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； 第三年：年初有资金 1.1x21+ 1.25x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； 第四年：年初有资金 1.1x31+ 1.25x22，于是 x41 + x42 = 1.

32、1x31+ 1.25x22； 第五年：年初有资金 1.1x41+ 1.25x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32； B、C、D的投资限制： xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 非负条件： xij 0 ( i = 15，j = 14) 2.目标函数：max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24计算机探索求解方法 对于某些非常复杂的问题，利用计算机探索求解不失为一剂良药。计算机技术的发展促进了启发式模型的应用，运用计算机可以对某些准则函数的一组有限的可行试解方案按顺序进行审查。通过规定每一个独立变量的数值

33、，计算准则函数并记录下有关的结果，就可以得出一个试验评定值。把每一个试验评定值与以往得到的最佳值进行比较，若发现它有着明显的优越性，就采用它而摒弃先前的最佳值，以此类推，直至无法寻求优化解为止。这就是登山式的逐步探索法。在这一基础上，计算机就能按照预定的工作程序，把已发现的各项独立变量的最佳组合方案打印出来。采用计算机直接探索方法的优点在于建立了准则函数模型，它没有线性数学形式的局限，突破了变量的数目限制。在业务管理上，计算机探索求解方法已被用于制定总体计划和作业进度计划问题，还被用于解决资源有限的工作安排问题。计算机探索求解方法在企业管理中具有更大的灵活性，它不需要精密的模型设计和严格的数学

34、形式，所以比较自由，能够在成本模型中更贴近现实。因此，伯法认为计算机探索求解方法在现实管理中具有越来越大的用途。 第七章 结论在市场经济情况下，市场需求量在不断地变化，生产量也随着变化，用手工的方法确定生产数量是满足不了市场经济的需求，一定要用计算机来编制生产计划，确定生产的数量。作为一个合格的现代管理者一定要了解和掌握现代的管理方法和技术并用来指导企业的现代管理，为企业寻找出一条提高企业经济效益的途径。 在企业生产过程中，总会遇到如何安排生产计划的问题，计划安排的合理与否将直接影响到企业的经济效益。 本文探讨了线性规划是解决企业生产计划管理问题的最有效方法，并通过线性规划具体模型的建立，说明

35、了线性规划在生产计划中的实际应用，为生产计划决策提供了科学方法，经实际应用证明，按此通用模式构建的模型能够较好地模拟企业 生产计划，为企业提供简便适用的生产调度方法，优化企业的生产，同时灵敏度分析信息对提高企业市场应变能力提供了理论依据。 参考文献1 杨德全，刘阳平，一种复杂经济系统分解与综合的有效方法-递推规划方法评述/哈尔滨工程大学学报，1997（6） 86-902 运筹学教材编写组.北京：清华大学出版社 2005（6）3 郎艳怀.经济数学方法与模型教程.上海：上海财经大学出版社.2004.（10）.4 钱志坚编著，线性规划与经济管理，江苏人民出版社5 潘平奇，李炜，王涌。基于最钝角规则的亏基对偶单纯刑I阶段算法J.运筹学学报，2004.(2).6 赵茂先，高目友，初双层线性规划的一个全局优化方法J,运筹学学报，2005，（2）.7 胡富昌.线性规划M.北京：中国人民大学出版社，1990,18 L.库伯等，魏国华，等译.运筹学模型概论M.上海科技出版社，1987,1