数学与应用数学毕业论文-泰勒公式在数学分析中的应用20987.doc

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1、 密级： NANCHANG UNIVERSITY 学学 士士 学学 位位 论论 文文 THESIS OF BACHELOR （2009 2013 年） 题 目: 泰勒公式在数学分析中的应用 学 院: 理 系 数学 专业班级： 数学与应用数学 091 学生姓名： 周建丰 学号： 6202409040 指导教师： 徐刚 职称： 副教授 起讫日期： 2013.3.3-2013.5.21 摘要 I 摘摘 要要 众所周知,泰勒公式发展和成形是基于数学实际问题的需要,它的实用性使 之成为数学分析中的重要组成部分,它的理论方法已成为研究函数极限和估计误 差等方面的不可或缺的工具.利用它可以将复杂问题简单化,

2、可以将非线性问题 化为线性问题,并且能满足相当高的精确度要求.它是微积分中值定理的推广,亦 是应用高阶导数研究一般函数性态的重要工具. 在数学中，泰勒公式是一个用 函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑的话，在已知函数 在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一 个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.泰勒公式还给出了这个多项式和实 际的函数值之间的偏差.这里介绍了带佩亚诺型余项和拉格朗日型余项的泰勒公 式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、判断函数极值上作求解等证明, 也对泰勒公式在函数凹凸性判断、级数和广义积分敛散性判断、矩阵计算等问 题的应用

3、上做了详细介绍,本文虽受制于传统的观点方法,但力求有所发展创新. 针对常见题型对泰勒公式的应用技巧做了归纳,也尝试着把传统分析学与近现代 分析学对泰勒公式的应用进行融合,所以在文末引进了泛函分析的一个具体实例,借 以对已有知识进行归纳巩固. 关键词关键词: 泰勒公式;佩亚诺型余项;拉格朗日型余项;分析;应用 Abstract II The Application Of Taylors Formula In The Analysis Mathematica Abstract As is known to all, Taylor formula is based on the mathematic

4、al development and forming the needs of the actual problem, its usefulness has become an important part of mathematical analysis, its theory and method has become a indispensable tools in research function limit and estimation error. It can be used to transfer complex things into simple, can be used

5、 to transfer nonlinear problem into a linear problem, and can satisfy the requirement of high accuracy. It is an extension of the calculus mean value theorem but also the tool of application of higher order derivative to study general functional . In mathematics, the Taylor formula is a use function

6、 at some point near the value of information description formula. If a function is smooth enough, in a known function at some point, the derivative value of Taylor formula can do with this derivative value coefficients of a polynomial is constructed to approximate function value in this field. Taylo

7、r formula gives the polynomial and the deviation between practical function value. Here introduced with peano remainder term and Lagrange remainder term of the Taylor formula in the commonly used approximate calculation, the limit, the inequality proof, function extremum judgment for solving such pr

8、oof, also detailed introduction in the function is concave and convex judgment, judgment in progression and improper integral divergence, matrix calculation and other issues on the application of Taylor formular, this article is limited by the traditional method, but work harder want do some develop

9、ment innovation. In view of the common topic, summarized the application of Taylor formula techniques also tried to combine traditional and modern analysis study on the application of Taylor formula, so at the end of the article has introduced the functional analysis of a concrete instance, to the e

10、xisting knowledge are summarized. Keyword:Taylor formular;Peano remainder; Lagrange remainder;Analysas; Application 目录 目目 录录 摘要摘要I I ABSTRACTABSTRACTI II I 一一 绪论绪论1 1 二二 泰勒公式及其性质泰勒公式及其性质3 3 1 泰勒公式及其几种余项表达式 .3 1.1.1 带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式 .3 1.1.2 带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式 3 1.1.3 带柯西（cauchy)型余项的泰勒公式 .3

11、 1.1.4 积分型Taylor公式.4 1.2 方法小结 4 1.3 泰勒公式的存在性 5 1.4 泰勒公式的唯一性 5 三三 泰勒公式的应用泰勒公式的应用7 7 1 求极限 7 2 TAYLOR公式与函数凹凸性的关系 8 3 TAYLOR公式在“三点”及“无穷点”的作用.9 3.1 针对涉及 TAYLOR公式大多类题型 9 3.1.1 f x按两端点展开 .9 3.1.2 f x按中点展开 11 3.1.3 f x按特殊点展开 11 3.2 将 f x 按无穷远点展开 12 4 TAYLOR公式在函数方程中的应用13 5 TAYLOR公式在积分中的应用15 6 TAYLOR公式在判断收敛中

12、的应用16 6.1 判断广义积分的敛散性 .17 6.2 判断级数的敛散性 .17 7 TAYLOR公式在证明傅里叶级数的发散问题中的应用19 四四 结论结论2 22 2 参考文献参考文献2323 致谢致谢2424 绪论 1 一 绪论 十七世纪中叶随着近代微积分的蓬勃发展极限作为数学中的一个概念也就 被明确地提了出来.但是最初提出的极限概念是含糊不清的相关的许多理论常常 难以自圆其说甚至自相矛盾.极限理论的确立使得数学中出现了暂时混乱的局面 直到十九世纪才有了改善,首次给出极限严格定义的是捷克斯洛伐克的数学家贝 尔纳波尔查诺.但对他来说有点遗憾的是他的数学著作多半没有受到他同时代 的人的重视他

13、的许多成果等到后来才被人们重新发现但是此时功劳已经被别人 抢占.1820 年法国著名数学家柯西深度研究了极限定义并创造性地用极限理论 把微积分学中的定理加以严格的全面的证明.但柯西的极限定义中应用了描述性 的语言“无限的趋近” “随意小”这些词汇使得计算不够精确.在这一点上后来 德国数学家魏尔斯特拉斯先生给出了精确的“”方法,并且获得了圆满的: 解决.至此极限概念和极限理论才被完全地确定了下来.近代微积分的蓬勃发展， 促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究.特别是泰勒,笛卡尔，费马， 巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是 18 世纪早期英国牛顿 学派最优秀代表人物之一的英国

14、数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷 级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数，f 设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式 0 xnn 称为函数 ( ) 2 000 0000 ()()() ( )()()()() , 1!2! n n n fxfxfx T xf xxxxxxx n 在点处的泰勒多项式，若函数在点存在直至阶导数，则有f 0 xf 0 xn 即 0 ( )( )() ), n n f xT xxx ( ) 2 00 000000 ()() ( )()()()()()() ). 2! n nn fxfx f xf xfxxxxxxxxx

15、 n 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成 为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分 “逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题 化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的 应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、 判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、 不等 绪论 2 式证明等方面. 关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对 某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收

16、敛性，求 渐近线，界的估计和近似值的计算等等.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多， 但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研 究的必要，并且有很大的空间. 泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析 数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式 来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际应用中 是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数 学实际问题. 泰勒公式及其性质 3 二 泰勒公式及其性质 1 泰勒公式及其几种余项表达式 1.1.1 带有佩亚诺(Peano)型余项的泰

17、勒公式 如果函数在点的某邻域内具有阶导数,则对此邻域内的点,有( )f x 0 xnx ( ) 2 00 000000 ()() ( )()()()()()() ). 2! n n fxfx f xf xfxxxxxxxxx n 当时,上式称为麦克劳林(Maclaurin)公式.即 0 0x ( )(1) 21 (0)(0)( 0) ( )(0)(0)(01) 2!(1)! nn nn fff f xffxxxx nn 1.1.2 带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式 如果函数在点的某邻域内具有阶导数,则对此邻域内的点,( )f x 0 x1nx 有 ( )(1) 21 00 00

18、0000 ()()( ) ( )()()()()()() 2!(1)! nn nn fxfxf f xf xfxxxxxxxxx nn (介于与之间). 0 xx 1.1.3 带柯西（cauchy)型余项的泰勒公式 如果函数( )f x在点的某邻域内具有阶导数,则对此邻域内的点,有 0 x 1nx ( ) 2 00 00000 (1) 001 0 ()() ( )()()()()() 2! () 1()01 ! n n n n n fxfx f xf xfxxxxxxx n fxxx xx n 证明：作辅助函数 ( ) ( ) ( )( ) ( )( )()() ! n n ft F tf x

19、f tf txtxt n ,应用柯西中值定理可得，存在，使得( )G txt 0 (, )( , )x xa b 泰勒公式及其性质 4 ,令即可得到原 (1) 0 1 0 ( )( )()( )( )() ( )()( )! nn n n R xF xF xF xfx xG xG xG xn x(01) 式. 1.1.4 积分型公式Taylor 如果函数在含有的某个开区间内具有直到的导数, 则当( )f x 0 x( , )a b(1)n 在内时, 可表示为的一个次多项式与一个余项之和:x( , )a b( )f x 0 ()xxn( ) n R x “( ) 2 00 00000 ()()

20、)()()()()( ) 2! ( )( n n n fxfx fxxxxxxxR x n f xf x 其中 1 0 (1) 1121 ( )() n oo xxx n nnn xxx xfxdxdx dxR 证明证明 由公式得：即 NewtonLeibniz 0 011 )()( )( x x fx dxf xf x , 0 011 )()( )( x x fx dxf xf x 1 0 022 )“()( )( x x fx dxfxfx , 2 0 “ 033 )()( )( x x fx dxfxfx 0 ( )( )(1) 011 )()( )( n x nnn nn x fxdx

21、fxfx 从而有 1 000 “ 01100221 ( )()()()()() xxx xxx f xf xfx dxf xfxfx dx dx 1 00 “ 000221 ()()()() xx xx f xfxxxfx dx dx 12 000 “ 00003321 ()()()()() xxx xxx f xfxxxfxfx dx dx dx 12 000 “ 2 0 00003321 () ()()()()() 2! xxx xxx fx f xfxxxxxfx dx dx dx “( ) 2 00 00000 ()() ()()()()()( ) 2! n n n fxfx f xf

22、xxxxxxxR x n ！ 其中 1 0 (1) 1121 ( )() n oo xxx n nnn xxx xfxdxdx dxR 1.2 方法小结 ( ) 2 00 00000 ()() ( )()()()()()( ). 1 2! n n n fxfx f xf xfxxxxxxxR x n 泰勒公式及其性质 5 若把看成定点,看成动点，则（1）式通过定点处的函数值及其导 0 x x0 x 0 f x 数值 )()( 0 )( 0 xfxf n 表达动点处的函数值.当问题涉及 2 阶以上的导数 x f x 时，通常可考虑用 Taylor 公式求解.这里关键在于选取函数，点，展开的 f

23、0 x 阶次，以及余项形式.根据需要，一般应当选在有特点的地方，例如使某 n0 x 0)( 0 )( xf i 的地方等. 1.3 泰勒公式的存在性 泰勒公式的存在性即是将在点的某邻域内具有阶导数的展成多 0 x1n f x 项式的形式，利用中值定理并连续求导，根据对应项系数相等可得出多项式的 各项系数,证明从略. 1.4 泰勒公式的唯一性 泰勒公式的展开式有多种，常见的如带有佩亚诺型余项的泰勒展开式，带 有拉格朗日型余项的泰勒展开式，而最为常用的是麦克劳林展开式，它是当 时的特殊的泰勒公式展开式，现在我们来探讨泰勒公式展开式的唯一性. 0 0x 一元情况的泰勒公式的唯一性相对容易证明，仅就二

24、元情形进行证明，假设 具有阶连续偏导数，若用某种方法得到展开式,f x y1n ， （1） n ji n ji ij yyxxAyxf 00 0 , 其中 ，则必有 2 0 2 0 yyxx .(多元的情况有类似结论.) 00, ! 1 , ! 0,0 yxf yxji yxf yxji C A ji ji yx ji ji i ji ij 证证 已知有阶连续偏导数，故的 Taylor 公式成立,f x y1n,f x y . (2) 0000 0 , ! i ij n ij ijn ij ij C f x yf xyxxyy ijx y （1）式减（2）式，便得 0 函数的展开式 泰勒公式及

25、其性质 6 （3） 00 0 0 n ij n ij ij Bxxyy 其中.因此我们只要由式（3)推出 00 , ! i ij ij ijij ij C BAf xy ijx y 0 ij B 即可.作变量替换.对于新变量，式0,1,ijn 00 ,xxyy, （3）变成为 n ji nji ij B 0 )(0 .为了方便仍把 记作于是问题转化, , x y 为由式 （4） 0 0 n ijn ij ij B x y 22 xy 证明.0 ij B 0,1, ; ,ijn i j为非负整数 首先，在（4）式中，令便得然后令则（4）式变成00 oo Byx . 1 0 n jijn ij i

26、j B xx （5） 设，用除此式，令，得.因为任意实数，故知0x x0x 0101 0BB .（5）式成为 0101 0BB 2 0 n jijn ij ij B xx （6） 同样， （6）式除以，令，得.由的任意性，可知 2 x0x 2 201102 0BBB 从而（6）式变成如此继续下去，可得 201102 0BBB 3 0 n jijn ij ij B xx 一切.0 ij B 0,1, ; ,ijn i j为非负整数 证毕 泰勒公式的应用 7 三 泰勒公式的应用 1 求极限 求极限时能用洛必达法则的一般也都能用 Taylor 公式进行处理，但 Taylor 公式的运用范围显然更广，

27、在常见的分式型极限求解中当分子分母满足 洛必达法则的相关条件，但经求导后趋于烦琐时一般都改用 Taylor 公式进行求 解. 例 求极限. 2 limcoscoscos n aana n nn nn n 解 由带 Lagrange 余项 Maclaurin 公式 ,.可知,当时,有 24 5 sin cos1 224120 xxx xx 0,10,1x .于是当 充分大时,有 ,所以 224 1cos1 2224 xxx x n0,1 a n .而 222244 336 1cos1 2224 k akak ak a nnnn n 1,2,kn , 22442244224 363632 1exp

28、exp 224224224 k ak ak ak ak aa nnnnnn , 1 1 222222 22 333 222223 33 222 11expexp 2 111 222 k ak ak a k a nnn k ak aan nnn 因此 . 22422 233 11 12 expcoscoscosexp 2242 1 2 nn kk k aaanaak a annnn nn nn n n 从而可得 泰勒公式的应用 7 . 2 12 2 limcoscoscos a n aana e n nn nn n 2 Taylor 公式与函数凹凸性的关系 例例 设为凸区域，在上定义，有连续的二

29、阶偏 n DR 1, , n f xf xx D 导数，证明在上为凸函数的充要条件是 Hessian 矩阵在 f x D 2 ,1 n ij i j f x x 上为半正定的. D 证证 （充分性）.，根据 Taylor 公式， xyD、 xyx01 使得 （1） 2 11 1 1 2! nn n fyf xyxf xyxyxf xx 而 2 2 11 ,1 1 n nniijj i j nij f yxyxfyxyx xxx x （2） 11 2 22 1122 , nn ij nn yx yxf yx yxyx x x yx 若矩阵在上为半正定的，则（2）式非负， （1）式成为 2 ij

30、f x x D .只需证明有 fyf xyxf xxyD、 fyf xyxf x 成立则在上为凸函数.证明如下，,记,按 f x D 0,1 1zxyD 已知条件， ， f xf zxzf z 1 fyf zyzf z 2 将、分别乘以与，然后相加得 1 2 1 泰勒公式的应用 9 111 1 1 f xfyf zf zxzyzf z f zxyzf zf zzzf z f zfxy 即.这就证明了 )(xf 为凸函数. 11fxyf xfy （必要性）.用反证法.假设为非半正定的，则,及， 2 ij f x x xD 1, , n hhh 使得. (3) 2 1 1, ,0 n ij n h

31、 f hh x x h 另一方面，由 Taylor 公式当时， 0 2 1 2 1 2 1 22 1 2 1 2 1 1 , 2 1 , 2 1 ,1 2 n ij n n ij n n ij n f xh h f x f xh f xhhh x x h h f x f xh f xhh x x h h f x f xh f xhh x x h 由于（3） ，当充分小时,此式右端为负,于是.与 f xhf xh f x 凸性矛盾. f 3 Taylor 公式在“三点”及“无穷点”的作用 以下结论是在等式或不等式运用 Taylor 公式的基础上进行，涉及中值估计， 界的估计.当然这些应用都是不等

32、式或等式运用 Taylor 公式的基础上进行的. 3.1 针对涉及 Taylor 公式大多类题型 若所给区间为 , a b 一般按两端点、中点、特殊点（比如满足极值、最值、 0 i fxfxfx 的点均为特殊点）展开（以上三类点均用 0 x 表示） ，即 泰勒公式的应用 10 2 00 0000 , 1!2! n n fxfxf f xf xxxxxxxa b n 3.1.1 f x 按两端点展开 当待求解问题涉及，其中表示相关函数运算法则，此时 A f bf a A 将按两端点展开即可. f x, a b 例例 证明：若函数在上有阶导数，且， f x, a b n 0 ii fafb ，则存

33、在,有. 1,2,1in ,ca b 1 2! n n n n fcf bf a ba 证证 将分别按两端点展开，即，有 f x,xa b 2 1 2 2 . 1!2! . 1!2! n n n n fafaf f xf axaxaxa n fbfbf f xf bxbxbxb n 由已知条件再令，则分别有 2 ab x 1 1 2 2 , 2!22 ,. 2!22 nn nn fabbaab ff aa n fababab ff bb n 以上两式相减，有 21 0 !2!2 nnnn ffabba f bf a nn 或 , 12 !2!2 nnnn ffbaab f bf a nn 12

34、 . !2!2 nnnn ffbaab f bf a nn 令,则有 12 max, nnn fcff 泰勒公式的应用 11 2, !2 n n n fc ba f bf a n 即 1 2! . n n n n fcf bf a ba 3.1.2 按中点展开 f x 当待求解问题涉及，其中表示相关函数运算法则，此时将 A baA 按中点展开即可. f x 2 ab 例例 若在上有二阶导数，试证：，使 f x, a b 0fafb , a b 得 (1) 2 4 .ff bf a ba 证证 应用 Taylor 公式，将分别在点展开，注意， 2 ab f , a b 0fafb ：使得 , 2

35、 ab ab (2) 2 1 , 222 abba ff af (3) 2 1 . 222 abba ff bf (3)减(2)得 21 0. 8 f bf affba 故 2 4 1 . 2 f bf a fff ba 其中 , ,. ff ff 当 当 泰勒公式的应用 12 3.1.3 按特殊点展开 f x 按特殊点展开时，题设中往往不会直接告诉特殊点的表示，比如满足 f x 极值、最值、的点均为特殊点可设为，再将按展 00fxfx 、 0 x f x 0 x 开即可，即 2 00 0000 , 1!2! n n fxfxf f xf xxxxxxxa b n 例例 二次可微，试证 f x

36、 010ff 01 max2 x f x 01 min16. x fx 证证 因为在上连续，有最大值，最小值。又因, f x0,1 010ff ,故最大值在内部达到.所以使得 01 max2 x f x 0,1 0 0,1x 于是为极大值.由 Fermat 定理，有.在 0 01 max. x f xf x 0 f x 0 0fx 处按 Taylor 公式公式展开，使得： 0 xx,0,1 2 2 000 22 000 11 0002, 22 11 01121. 22 ff xfxfx ff xfxfx 因此, 22 01 0 0 44 minmin,min,. 1 x fxff x x 而时

37、, 0 1 ,1 2 x 222 0 00 444 min,16 11 x xx ， 时,所以 0 1 0 2 x ， 222 00 0 444 min,16 1 xx x ， 01 min16. x fx 3.2 将 f x 按无穷远点展开 若所给区间为无穷区间，如、等.引进变量， ,b, , a h 将与按展开，即 f xhf xh x 其 1 , 1! n n fxf f xhf xhh n 泰勒公式的应用 13 中；,其中 1 xxh， 2 1! n n fxf f xhf xhh n .这样做避免了引进不必要的变量，不至于使得解题更加困难烦顼， 2 ,xh x 因为的任意性，最后只要

38、根据不等式的性质即可消除的影响. hh 例例 设为二次可微函数, f xx 试证：且 sup k k x Mfx 0,2 .k 1 sup, x Mfx 表示. 2 102 2.MM M 0 fx f x 证证: : 2 1 ( 2 f xhf xfx hfhxxh在与之间）， 两式相减 2 1 ( 2 f xhf xfx hfhxhx在与之间）， 2 2, 2 h f xhf xhfx hff 即, , 2 2 2 h fx hf xhf xhff 所以 2 2 02 22, 2 h fx hf xhf xhffMh M 即对一切成立.故判别式即 2 20 220M hfx hM h 2 02 20,fxM M 对一切成立.所以 2 02 2fxM M x 1 sup, x Mfx 2 102 2.MM M且 4 Taylor 公式在函数方程中的应用 Taylor 公式在函数方程中的应用多为证明不等式或求极限.关于在不等式 的证明方面,我们已经知道有很多种方法