《数学与应用数学系毕业论文设计----行列式的计算.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学与应用数学系毕业论文设计----行列式的计算.doc（33页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 学科分类号 本科生毕业设计论文题目（中文）： 行列式的计算 （英文）：The Calculation of Determinant 学生姓名： 学号： 系别：数学与应用数学系专业：数学与应用数学指导教师：邓翠容起止日期： 本科毕业论文（设计）诚信声明作者郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是在指导老师的指导下，独立进行研究所取得的成果，成果不存在知识产权争议。除文中已经注明引用的内容外，论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果。对论文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确的方式标明。本声明的法律结果由作者承担。本科毕业论文（设计）作者签名：年 月 日目 录摘 要I关键词I
2、AbstractIKey wordsI1前言12行列式的定义及其性质23针对各种行列式的一般结构特点归纳出常用的计算方法93.193.2113.3163.4183.5213.623参考文献26致 谢27附 录行列式的计算摘 要行列式是解决线性代数的工具，它的产生和最早的应用都是在解线性方程组中，现在的应用范围已拓宽得较为广泛，成为数学、物理学以及工科许多课程的重要工具。行列式的计算问题非常重要，它是行列式理论的重要组成部分。计算行列式的一般方法是不存在的（若不计在行列式定义中所给出的表达式的话）。处理特殊类型的行列式应用着各种不同的计算方法，这些方法可以简化行列式的计算。本文第一部分是一般行列
3、式的计算方法，介绍了定义法、化为上（下）三角形法、典型字母行列式法、利用“奇数阶反对称行列式等于零”的性质、降阶法、升阶法、拆项法、递推法、数学归纳法、分离线性因子法、公式法、元素变形法、乘积法、乘以已知行列式法、辅助法并且这16种方法对应相应的例题。第二部分是分块矩阵的行列式的计算方法。 关键词行列式；线性代数；计算方法The Calculation of DeterminantAbstractThe determinant is a tool to solve the linear algebra, its emergence and the earliest application ar
4、e in solving linear equations, now the application scope get broader and broader and become the important tool for many courses,for example mathematics, physics and engineering and so on. The calculation of determinant is very important, it is an important part of the theory of the determinant. The
5、general method of calculating the determinant is not exist (if it is neglected in determinant definition of the given expression). To deal with some special type of determinantshould applicate various calculation method, these methods can simplify the calculation of determinant The first part of thi
6、s text is general calculation method of determinant and it introduces the definition method, into the upper (lower) triangle method, typical letters determinant method, using odd number order antisymmetry determinant equals to zero nature, order reduction method, order addition method, tear open stu
7、dy method, the recursive method, mathematical induction, separation linear factor method, formula method, element shape-shifting method, product method, multiplied by the known determinant method, auxiliary method and gives the corresponding sample to this16 kinds of methods. The second part is the
8、calculation methods of partitioned matrix determinant. Key wordsDeterminant；the linear algebra；calculation method281 前言 行列式最早出现在十六世纪关于线性方程组的求解问题，时至今日行列式的应用却远不及如此，它在消元法，矩阵论，坐标变换，多重积分中的变量替换，解行星运动的微分方程，二次型有广泛应用，它不仅是线性代数的核心和基础，也是线性代数理论中极其重要的组成部分。近些年，已有许多作者探究过行列式的性质及其计算方法，如张曰云的“n 阶r- 循环行列式的计算”，陈炜的“用间接递推法
9、计算行列式”等。通过对行列式的定义性质及计算方法的探究，了解到行列式是一定是方阵，也就是行数和列数相等。行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正；若逆序数之和为奇数，则该项为负。当然根据定义对行列式进行计算是一种方法，但如果行列式的阶数较高的话，用定义去求解的话会比较麻烦，所以根据行列式某些结构特点探究一些较简便的计算方法将具有重要意义。下面来介绍一下全文的结构，来帮助大家认识整篇文章的大意。全文共分为三个部分，第一部分介绍行列式的定义及其性质，第二部分针对各种行列式的一般结构特点归纳出常
10、用的计算方法，第三部分对结构较复杂的行列式归纳出特殊的计算方法，并加以总结。上面对全文有了一个整体的概括，接下来将具体细致的对三个部分进行论述。 2行列式的定义及其性质 21逆序数21.1 定义个互不相等的正整数任意一种排列为：，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用表示，等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。例如： 21.2 性质一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 。证明如下：设排列为，作次相邻对换后，变成，再作次相邻对换后，变成，共经过次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减
11、少1 ，相当于，也就是排列必改变改变奇偶性，次相邻对换后，故原命题成立。 22阶行列式的定义及拓展【例1】展开三阶行列式： 解: 方法：固定行号1，2，3；列号可任意排列为，所有可能排列相应的逆序数如下，共计种。故2.3 阶行列式展项的特点 阶行列式展开后，共有项，每一项中唯一包含且必须包含每一行和每一列中的一个元素，不能重复和也不能缺少，理解这一特点可以很快计算出结论只有少数几项的行列式。2.4 符号意义 中，代表第3行的全部元素； 表第5列的全部元素；余类推。不要错误理解为一个元素；行列式-determinant,故常常把写成。行-row, 一般用表示第一行与第二行对换，余类推。列-col
12、umn, 用表示第二列与第七列对换，余类推。2.5当行列式的元素是的函数，对行列式一阶微分时（以三阶为例），有下列关系：2.6阶行列式的5大性质性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。性质2：互换任意两行（列）其值变号。性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。性质5：把行列式某行（列）倍后再加到另一行（列），其值不变。行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。评 注 对性质4的重要拓展： 设阶同型矩阵，而行列式只是就某一列分解，所以，应当是个行列式之和，即。 以我们经常遇到三阶行列式的特征值问
13、题举例如下：其中，表示取被展开的行列式中的各列的第一子列，余类推。特别地，如特征值行列式中，有两行或两列对应成比例，上述公式可以简化为：评 注 韦达定理的一般形式为： 2.7行列式元素的余子式展开和阶子式的余子式展开定理2.7.1余子式的概念元素的余子式：把行列式中某元素所在的行与列全部划掉，剩余的元素组成的新行列式，称为该元素的余子式，用表示。如果再考虑余子式的符号，则称该元素的代数余子式，用表示。 阶子式的余子式：把行列式中任意指定行与列的交叉元素组成的子行列式（称阶子式）所在的行与列全部划掉，剩余的元素组成的新行列式，叫阶子式的余子式，也用表示。如果再考虑余子式的符号，则称阶子式的代数余
14、子式，用表示。 其中：为所在的行的具体序号；为所在的列的具体序号。例如：中，二阶子式的余子式为；二阶子式的代数余子式为。2.7.2 行列式按某一行或一列元素的代数余子式展开定理 评 注 元素的代数余子式与该元素无关，行列式按某一行元素的代数余子式展开形式中，代数余子式前面乘以不同的系数就可以得到不同的行列式。 如果把上述等式两边的中括号里的元素换成不同的值，就变成不同的行列式了。2.7.3 行列式按阶子式的代数余子式展开（拉普拉斯定理）： 下面是经常使用的两个特殊的拉普拉斯展开式： 2.8莱姆法则2.8.1 克莱姆法则元非齐次方程组：方程有唯一解：。其中是将中的第列元素换成常数，其余元素不变而
15、得到的行列式。如果，对应方程组叫齐次方程组。2.8.2 克莱姆法则的应用范围 只适用于方程的个数与未知数个数相等的情形；，克莱姆法则失效，方程可能有解，也可能无解；齐次方程组总是有解，当无穷多个解（有非零解）；只有唯一的零解。求解：方法一： 方法二：利用拉普拉斯展开： 【例】设行列式 ，则有多少个根？解： 3.针对各种行列式的结构特点归纳出常用的计算方法31范德蒙行列式的计算范德蒙德行列式的标准形式为:即n 阶范德蒙行列式等于a1 ,a2,a3,an这n个数的所有可能的差的乘积。根据范德蒙德行列式的特点,可以将所给行列式化为范德蒙德行列式,然后利用其计算。常见的方法有以下几种。(1).用加边法
16、转化为范得蒙行列式 例1:计算n 阶行列式Dn=分析:行列式Dn与范德蒙行列式比较少了一个xin-1(i=1,2,n),利用加边的方法在第n-1行与第n之间加上含有xin-1 (i=1,2,n)的行，再加上相应的一列1，x1,x2xn则利用行列式的展开式中xn-1的系数可得行列式Dn的解。解:考虑n+1阶范德蒙行列Dn+1= =（x-）(x-) (x-)由于行列式Dn恰好是行列式Dn+1的元素的余子式Mn,n+1,即：Dn= Mn,n+1=-A n,n+1,而由Dn+1按第n+1列展开的表达式及韦达定理知的系数为：An,n+1=-（x1+x2+xn）故Dn=（x1+x2+xn）（2）.利用行列
17、式的性质转化为范德蒙行列式例2:计算n+1阶行列式,Dn+1=分析:该行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反,为使Dn+1中各列元素的方幂次数自上而下递升排列, 可以将第n+1行依次与上行交换自至第1行, 第n行依次与上行交换自至第2行,第2行依次与上行交换自至第n行,于是共经过n+(n-1)+ +2+1= 次行的交换得到n+1阶范德蒙德行列式。解： Dn+1=( -1) = ( -1)(a-1-a)(a-2-a) (a-n-a)a-2-(a-1)a-n-(a-(n-1) = (3).利用乘法规则转化为范德蒙行列式 Dn+1= 分析:此行列式中每一个元素都可以利用二项式定理展开,可以
18、变成乘积的和。根据行列式的乘法规则D = D1. D2. 解：设D1= ，D2= 对D2进行例2中的行的交换就得到范德蒙行列式,于是Dn+1=D1D2= . = (-1) = . .只要熟悉了范德蒙行列式适用的形式和使用技巧,就可以很好地应用范德蒙行列式计算有关的行列式了。 3.2 可加边计算的行列式的结构特征及计算法形如|A+BC|的行列式可用加边法计算,其中A是n阶可逆对角矩阵(或次对角阵),B是n行m列矩阵, C是m行n列矩阵:(1) 当m=1时, 用单加边法计算行列式;(2) 当m=2时, 用双加边法计算行列式;(3) 当m=3时, 用三加边法计算行列式.(4) 推广:当m3时,用m次
19、加边法计算行列式.(1) 用单加边法(m=1时)当A 是对角矩阵时, 设A=,B=,C=,则行列式|A+BC|可采单位边加法计算, 其中a1a2an0. 此时行列式的一般形式为: 其结构特征为:行列式D的第i行有公因子bi,(主对角线例外)其第i列中有公因子ci (主对角线例外),且可分解为A+BC的形式,其中A是可逆对角矩阵. 计算方法： (2) 用双加边法(m=2时)仅就A是次对角矩阵时给出证明,当A是对角矩阵时,可仿照计算.设，则行列式|A+BC|可采用双边加法计算，其中a1a2an0.此时行列式的一般形式为:其结构特征为:按行观察行列式D的第i行中每个元素的第一项中都有公因子bi,第二
20、项中都有公因子di(次对角线例外);按列观察, 其第j 列的每个元素的第一项中有公因子cj,而第二项中都有公因子ej(次对角线例外),且可以分解为A+BC的形式.计算方法:（3） 三加边计算法(m=3时)设则行列式|A+BC|可采用三加边法计算.此时行列式的一般形式为: 其结构特征为:按行观察行列式D的第i行的每个元素的第一项中都有公因子bi,第二项中都有公因子di,第三项中都有公因子ei (主对角线例外)；按列观察,其第j 列的每个元素的第一项中都有公因子cj,第二项中都有公因子fj,第三项中都有公因子gj (主对角线例外),且可以分解为A+BC的形式.计算方法: +（4）小结由以上过程可推
21、知,形如|Ann+BnmCmn|的行列式均可通过m次加边法来计算,其中A是n阶可逆对角矩阵( 或次对角阵) . 当m=1 时, 采用单加边法计算; 当m=2 时, 采用双加边法计算; 当m=3 时, 采用三加边法计算. 当m3 时, 采用m 次加边法计算. m3 时, 计算量迅速增加, 因此常见题目中m 均取1, 2.3.3 用递归法计算行列式 所谓递归法, 是指把待解决的问题, 归结到一类与原问题性质相同的、规模更小的问题中去, 最终求获原问题之解答。行列式是典型的递归结构,它可以作如下递归定义:其中,Ani是元素ani的代数余子式,1in因此, 高阶行列式的计算总可以归结为求其低阶子式的计
22、算,也就是说用递归法计算行列式具有一般的方法论意义。用递归法解题的一般步骤是:(1)寻找递推关系式;(2)根据递推关系式,求所需的递归边界条件;(3)求解递推关系,或论证递推关系的性质。下面通过几个实例进行说明。例1 计算爪形行列式 解构造数列 ，,则 重复利用以上递推公式,有 所以例2 计算Vandermonde 行列式解构造数列则 重复利用以上递推公式，有 所以3.4 用“分拆法、参量法、分解法”计算行列式（一）分拆法利用行列式相加的性质, 把行列式分拆为若干个便于计算的行列式之和的方法叫分拆法.例1 设矩阵证明：证明：左式 用同样分拆的方法反复下去, 最后得:（二）参量法借助于适当地选取
23、参量, 来简化行列式计算的方法称为参量法。例2 计算行列式解:令 则由例1( 取) 知 例3 设为任意整数，那么， 证明:令，因为为任意整数，因此。 若，那么 即，矛盾，所以 （三） 分解法 利用矩阵乘积性质把行列式分解成若干个行列式乘积的方法为分解法.也就是, 如果矩阵A 分解为A=A1A2A3As, 其中Ai 都是n 阶方阵( i=1, 2, , s) 则|A|=| A1| | A2| | A3| As |. 例4 计算行列式解： 3.5 n 阶r- 循环行列式的计算（1）引言n阶r- 循环行列式是一种典型的行列式，它的计算方法非常巧妙，也很有代表性，研究它的计算方法，可以提高计算行列式的
24、能力，也能够完善行列式的计算方法.下面给出它的定义：定义形如：的行列式称为n 阶r- 循环行列式简记为.(2) n 阶r-循环行列式的计算公式 定理1 设n 阶方阵A 的特征根为；为任意多项式，则方阵的特征根为定理2 若D为引言中定义的n 阶r- 循环行列式，则有 （1）其中 为的n个互不相同的根。把（1）式称为n 阶r- 循环行列式的计算公式，下面简称公式（1）.下面将用三种方法证明上述定理，这三种方法分别为：析因子法，作辅助行列式法，特征根法.证法（析因子法）把D的第i列乘以，加到第一列，得： ，此时，利用 故D必含有因式f(xk),k=1,2,n.又每个f(xk)都是关于的一次齐次线性式
25、,而其中含有文字的项全为,即的系数都是1;其中含有文字的项顺序为,这些项的系数互不相等；故(k=1,2,n)各个线性因子是互素的,从而D应有因式，又由于的展开式是含的n次齐次式，而D也是含有的n 次齐次式，故证法（特征根法）令A为如下n阶方阵 则有 ，假定 ，可直接验证有 ，所以 ，于是 由于根据题意，A的特征根为,由定理1知,方阵f(A)的特征根为，故 公式（1）把n 阶r- 循环行列式的计算转化为了多项式值的计算,为了得到行列式的具体值,我们还要结合一些多项式理论进行详细讨论. 公式（1）的两种证明方法不仅有一定的理论意义，而且还可用来计算其它类型的很多行列式；并且公式（1）也可计算其它类
26、型的行列式，由于篇幅所限，不再论述.3.6 从一题多解谈行列式计算例 计算n 阶行列式 （一）三角形法 三角形行列式包括上三角形行列式(主对角线下方的元素全为零的行列式)和下三角形行列式(主对角线上方的元素全为零的行列式) ,三角形行列式的值等于主对角线上所有元素的乘积,即： 一些机构较复杂的行列式经过一系列的初等变换后可以变成三角形行列式。 例题解法一:将各列都加到第一列,并提取公因式,得: 第一列乘以( - a) 分别加到各列上,得: 二、拆行(列) 法拆行(列)法(或称分裂行列式法)就是将所给行列式拆成两个或若干个行列式之和,然后再求行列式的值。拆行(列) 法有两种情况:一是行列式中有某
27、行(列) 是两项之和,可直接利用性质拆项;二是所给行列式中行(列) 没有两项和形式。这时需作保持行列式之值不变,使其化为两项和。例题解法二,将Dn 各列每个元素都写成两项之和,其中第一项为a ,除主对角线上元素的第二项为x - 2a外,其余各元素第二项均为0 ,即：根据行列式的性质,这个行列式可分成2n 个行列式之和,若某个行列式有两个或两个以上的列选自这个行列式各列的第一项,则该行列式至少有两列相同,其值为0 ,因此,在这2n 个行列式中除去值为0 的外仅剩下n + 1 个,这n + 1 个行列式为:各列全选这个行列式各列的第二项或仅有一列选第一项,其它各列都选第二项。所以,这个行列式化为:
28、 参考文献1 北京大学数学系.高等代数M.北京：高等教育出版社，2003：55 -89. 2 周宇.浅谈行列式的计算J.辽宁：科教前沿，2009：137-150. 3 张景晓. 一类可加边计算的行列式的结构特征及计算方法J.河北理科教学研究，2007（4）：18-22.4 张曰云.n 阶r- 循环行列式的计算J.山东：赤峰学院学报（自然科学版），2009（6）：3-4.5 代冬岩.n阶行列式的计算方法和技巧J.龙江：哈尔滨职业技术学院学报，2008（1）：119-120.6 牛海军.范德蒙行列式在行列式计算中的应用J. 辽宁：中国科教创新导刊，2008（17）：140.8 陈文华.计算行列式的
29、几种特殊方法J.云南：保山师专学报，2008（2）：17-19.9 陈炜. 用间接递推法计算行列式J.四川：绵阳师范学院学报，2007（11）：41-146. 10 李晓琴. 用“分拆法、参量法、分解法”计算行列式J.甘肃：甘肃高师学报，2008 （2）：24-25.11 章虎冬. 一道行列式的多种计算法J.陕西：西安邮电学院学报，2009（3）：33-146.致 谢经过近半年的忙碌和工作，本次毕业论文设计已经接近尾声，这也意味着我在怀化学院的四年的学习生活即将结束。回首既往，自己一生最宝贵的时光能于这样的校园之中，能在众多学富五车、才华横溢的老师们的熏陶下度过，实是荣幸之至。在这四年的时间里
30、，我在学习上和思想上都受益匪浅。这除了自身努力外，与各位老师、同学和朋友的关心、支持和鼓励是分不开的。论文的写作是枯燥艰辛而又富有挑战的。行列式的计算一直是理论界探讨的热门话题，老师的谆谆诱导、同学的出谋划策以及朋友的支持鼓励，是我坚持完成论文的动力源泉。在此，我特别要感谢我的导师*老师。从论文的选题、文献的采集、框架的设计、结构的布置到最终的论文定稿，从内容到格式，从标题到标点，她都费尽心血。没有*老师的辛勤栽培、孜孜教诲，就没有我论文的顺利完成。感谢我寝室的的各位同学，与他们的交流是我受益颇多。最后要感谢我的家人以及我的朋友们对我的理解、支持、鼓励和帮助，正是有了他们，我所做的一切才更有意义；也正是有了他们，我才有了追求进步的勇气和信心。时间的仓促以及自身专业水平的不足，整篇论文肯定存在尚未发现的缺点和错误。恳请阅读此篇论文的老师、同学，多予指正，不胜感激！最后，再一次感谢数学系和学院的领导及老师这四年来对我的大力栽培和支持！