最小二乘曲线拟合及MATLAB实现_测绘专业论文.doc

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1、内蒙古科技大学 本科生毕业设计说明书（毕业论文） 题 目：最小二乘曲线拟合及 MATLAB 实现 学生姓名：李亚 学 号：0972143230 专 业：测绘工程 班 级：2009 测绘 2 班 指导教师：孙同贺 讲师 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） I 最小二乘曲线拟合及最小二乘曲线拟合及 MATLABMATLAB 实现实现 摘摘 要要 介绍曲线拟合的基本理论，对最小二乘原理进行了全方位的理论阐述，同时也阐 述了曲线拟合的基本原理及多项式曲线拟合模型的建立。详细的解答了曲线拟合中的 最小二乘法，并介绍了部分的正交最小二乘法理论。重点讲解多项式拟合的具体步骤， 同时也介绍了非线性方程的

2、最小二乘拟合，在建立理论的基础上对最小二乘曲线拟合 法的 MATLAB 实现方法进行研究，利用 MATLAB2012b 的平台对测量数据进行最小 二乘曲线拟合，介绍 MATLAB 的具体构造和曲线拟合工具。利用 MATLAB 中的 ployfit 函数对实测数据进行多项式曲线拟合，并给出曲线拟合 MATLAB 实现的源程序， 给出拟合曲线，并评定拟合的精度证明该方法是行之有效的。 关键词：关键词：最小二乘法，曲线拟合，MATLAB，测量数据 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） II Curve Fitting in Least-Square Method and Its Realizat

3、ion with Matlab Abstract To introduce the basic theory of curve fitting and discuss the least squares principle in this paper, whats more, we also discuss the basic principle of curve fitting and the establishment of polynomial curve fitting model. Meanwhile, we also introduce the least-square metho

4、d of curve fitting in detail and part of the theory of orthogonal least square method. We mainly discuss the specific steps of polynomial fitting, and also introduces the nonlinear equation of the least squares fitting at the same time, which established on the theory of least squares curve fitting

5、in MATLAB in order to realize the method to do research. Using MATLAB2012b platform to achieve the goal of measuring data and introducing the special structure of MATLAB and curve fitting tool. We can use ployfit function in MATLAB to polynomial curve fitting of experimental data, and get the MATLAB

6、 source program about curve fitting and the fitting curve. Finally, we need to prove the method of assessing the precision of the fitting is effective. Key words: least square method; curve fitting; MATLAB, metrical data 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） III 最小二乘曲线拟合及最小二乘曲线拟合及 MATLABMATLAB 实现实现.I 摘摘 要要.I CURVE F

7、ITTING IN LEAST-SQUARE METHOD AND ITS REALIZATION WITH MATLABII ABSTRACTII 第一章第一章 引引 言言.1 1.1 研究背景研究背景.1 1.1.1 历史理论原理历史理论原理.1 1.1.2 现代研究现代研究.1 1.2 问题定义问题定义2 1.2.1 曲线拟合的思想曲线拟合的思想.2 1.2.2 多项式拟合多项式拟合.3 1.2.3 利用利用 Matlab 的的 polyfit 函数进行多项式拟合函数进行多项式拟合.3 1.3 论文结构论文结构3 第二章第二章 数据曲线拟合数据曲线拟合.4 2.1 测量数据测量数据.4

8、2.2 拟合模型拟合模型.4 2.3 最小二乘原理最小二乘原理.5 2.3.1 最小二乘法最小二乘法5 2.3.2 最小二乘估计与极大似然估计最小二乘估计与极大似然估计7 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） IV 2.4 数据拟合数据拟合.9 2.4.1 曲线拟合理论曲线拟合理论9 2.4.2 最小二乘法线性拟合原理最小二乘法线性拟合原理10 2.4.3 最小二乘非线性拟合最小二乘非线性拟合12 2.4.4 正交多项式正交多项式13 2.4.5 正交最小二乘曲线拟合正交最小二乘曲线拟合15 2.5 曲线拟合精度评定曲线拟合精度评定.17 第三章第三章 MATLAB19 3.1MATLAB

9、 概述概述.19 3.1.1MATLAB 简介简介19 3.1.2MATLAB 的主要组成部分的主要组成部分21 3.2MATLAB2012B的运行简介的运行简介.23 3.2.1 启动和退出启动和退出 MATLAB2012b.23 3.2.2MATLAB2012b 桌面系统桌面系统24 3.2.3MATLAB 函数调用系统函数调用系统26 3.2.4MATLAB2012b 的帮助系统的帮助系统27 3.2.5 附件管理系统附件管理系统28 3.2.6 数据交换系统数据交换系统28 3.2.7MATLAB 中的其他系统中的其他系统.29 3.3 最小二乘曲线拟合法的最小二乘曲线拟合法的 MAT

10、LAB 实现实现.30 第四章第四章 最小二乘法曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的 MATLAB 实现实现.32 4.1 使用使用POLYFIT函数实现多项式拟合函数实现多项式拟合32 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） V 4.2 二次多项式的曲线拟合二次多项式的曲线拟合33 4.3 三次多项式的曲线拟合三次多项式的曲线拟合.34 4.4 四次多项式曲线拟合四次多项式曲线拟合35 4.5 数据处理和精度评定数据处理和精度评定.36 第五章第五章 总结总结.40 参考文献参考文献.41 附录附录 1 1：43 MATLABMATLAB 语言编程源代码语言编程源代码43 附录附录 2：45 各

11、次拟合的拟合曲线方程各次拟合的拟合曲线方程.45 致谢致谢.46 外文翻译外文翻译.47 外文部分外文部分.47 翻译部分翻译部分.54 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 1 第一章第一章 引引 言言 1.1 研究背景研究背景 1.1.1 历史理论原理历史理论原理 Weierstrass 第一逼近定理第一逼近定理1 对任意函数和任意给定的,都存在 n 次代数多项式，满足 fCa,bx 0 n px (1-1-1) , |”为命令提示符，该提示符表明 MATLAB 处于编辑调试状态。一般在命 令窗口中 MATLAB 为单行操作，其中包含两方面含义：一方面表明每一个命令提示符 后在一行内为

12、完整的命令或函数调用，另一方面也表明 MATLAB 是给定操作后立即执 行，然后重新进入编辑调试状态，等待新的操作。 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 29 在命令窗口中也可以通过按【Shift+Enter】组合键来续行操作，但只能禁止命令立 即执行而不能实现多行命令。 例如: 图 3.8 MATLAB 数组运算 3.2.4MATLAB2012b 的帮助系统的帮助系统 完善的帮助系统是任何应用软件必要的组成部分。MATLAB2012b 提供了相当丰 富的帮助信息，同时也提供了多种获得帮助的方法。 MATLAB 的帮助信息的种类及简要说明如表 3.1 所示 帮助类别帮助类别说明说明 版本

13、信息（Release Note）提供当前使用软件的版本信息 简要帮助（Getting Star With）提供软件的简要信息 详细帮助（Using）软件的详细信息 参考信息（Reference Pages）给出函数的符号、说明、示例及其他信息 M 文件帮助(M-file Help)给出 M 文件的简要帮助信息 产品信息（Product Page）给出相应产品信息 在线帮助（On-line Knowledge Base）在线获得 MATLAB 帮助 表 3. 1 MATLAB 帮助系统 面对丰富的帮助信息，MATLAB 提供了相应的获取帮助的方法。首先，我们可以 通过桌面平台的【Help】菜单来

14、获得帮助， 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 30 也可以通过工具栏中的帮助选项获得帮助3。此外，MATLAB 也提供了在命令窗口中 的获得帮助的多种方法。主要帮助命令有： doc：在帮助浏览器中显示指定函数的参考信息 help：在命令窗口中显示 M 文件帮助 helpbrowser：打开帮助浏览器，无参数 helpwin：打开帮助浏览器，并且将初始界面置于 MATLAB 函数的 M 文件帮助信息 lookfor：在命令窗口中显示具有指定参数特征函数的 M 文件帮助 web：显示指定的网络页面，默认为 MATLAB 帮助浏览器 另外我们还可以通过在组建平台中调用演示模型（demo）来获

15、得特殊帮助。 3.2.5 附件管理系统附件管理系统 MATLAB 附件管理系统包括工作空间管理系统、路径管理系统以及文件管理系统。 工作空间管理系统是显示在 MATLAB 运行期间内存中变量的有关信息，使用工作 空间管理系统将打开工作空间浏览器。 路径管理系统是在 MATLAB 环境中管理 M 文件及其他相关 MATLAB 文件的系 统。当创建任何新的 MATLAB 文件时，应将文件所在目录加入 MATLAB 搜寻路径以 便于 MATLAB 的调用。 一般而言，用户创建或修改的 M 文件不应放在 MATLAB 的默认文件路径下，否 则重装或升级新的版本时，该文件将被删除或覆盖，一般可以放在 M

16、ATLABroot/work 目录下。 当创建或修改默认文件路径下的文件时，需要重新启动 MATLAB 或使用 rehash 函数以加载，因为 MATLAB 的默认文件均在 MATLAB 启动时加载至内存。 用户也可以根据自己的需要更改搜索路径，MATLAB 的搜索路径存于 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 31 MATLABroot/toolbox/local/pathdef.m 文件中，用户可以对其进行修改。 3.2.6 数据交换系统数据交换系统 MATLAB 提供了多种方法将数据从磁盘或剪贴板中读入 MATLAB 工作空间，同 时也提供了多种将工作空间的数据写入磁盘的方法。 （1

17、） 文本数据的输入输出 对于文本数据（ASCII）而言，最简单的读入方法就是通过 MATLAB 的数据输入 向导，也可以通过 MATLAB 函数实现数据读入。 （2） 二进制数据的输入输出 MATLAB 中二进制数据的输入输出与文本数据的输入输出方法相似 （3） 级次数据结构的处理 级次数据结构（Hierarchical Data Format，HDF）是由美国超级计算中心 （NCSA）开发的一种独立于机器之外的科学数据的存储结构。为了完善与 C 和 Fortran 的数据交换，MATLAB 也提供了对级次数据结构的支持。 （4） 低级文件输入输出函数 MATLAB 也提供了与标准 C 类型的

18、低级文件输入输出函数，如 fopen 用于打开指 定的文件，fread 用于从文件中读取数据，fwrite 用于向文件中写入数据等。 3.2.7MATLAB 中的其他系统中的其他系统 （1）M 文件编辑调试系统 M 文件编辑调试系统将为用户提供创建、编辑和调试 M 文件的环境，主要为 M 文件的编辑调试器。 （2）M 文件优化系统 M 文件优化系统可以得到被处理的 M 文件执行时每一行语句运算所消耗的时间， 通过对事件的分析，用户可以： 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 32 避免程序中无效的运算 改变算法以避免使用处理问题效率低的函数 避免对以后将会使用的数据进行操作 （3）源控制处

19、理系统 MATLAB 不能执行源控制函数，但可以提供源控制界面，即可以打开 M 文件编 辑源控制文件，但不改变其只读特点，即不会覆盖源文件。 （5） 记事本系统 MATLAB 也提供将数值计算以及可视化结果与文字处理环境相结合的记事本系统。 通过记事本系统可以得到 M 文件，其中将包括文档、MATLAB 命令以及 MATLAB 命 令执行结果等。 3.3 最小二乘曲线拟合法的最小二乘曲线拟合法的 MATLAB 实现实现 采用 Basic,Fortran，C 等编程语言来实现曲线拟合，需要编写非常复杂的算法程序， 对一般的工程技术人员而言，将是一个非常艰巨的任务。而 MATLAB 语言是集数值计

20、 算、符号运算和图形处理等强大功能于一体的科学计算语言，适合于工程应用各领域 的分析、设计和复杂计算，而且他易学易用，不要求使用者具有高深的数学知识和编 程技巧，在这方面，MATLAB 具有一般高级语言无法比拟的优势2。 在 MATLAB 环境中，他提供了许多函数来实现曲线的拟合，这里简述几种曲线拟 合法的 MATLAB 实现方法。 （1） 使用 MATLAB 的最优化工具箱中的 lsqcurvefit（）函数来实现，该函数的调用 格 式为：a,J=lsqcurvefit(原型函数名，x，y) 0 其中：为最优的初值；x，y 为原始输入输出数据矢量 0 （2） 采用线性方程组编程来实现：根据线

21、性方程组的构造原则，针对不同的原型函 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 33 数，构造矩阵不同，编写程序不同。下面我们以指数函数拟合为例，MATLAB 实现方法的源程序如图 3.9 所示： 图 3.9 MATLAB 的脚本编辑器 （3） 采用 MATLAB2012b 自带曲线拟合工具箱进行曲线拟合，MATLAB2012b 自带 的曲线拟合工具箱，每一种曲线拟合的方法都是前人优秀工作的结晶。其中包 括 Gaussion（高斯） ，Interpolant（插值） ，Ploynomial（多项式） ，Power（幂函 数） ，Weibull(韦伯分布)，Smoothing spline（平滑

22、样条函数） ，Sum of sine（正弦 函数）等可以为我们直接提供的样板模型，为我们的工作带来了方便。具体窗 口我们可以看图 3.10 所示： 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 34 图 3.10 MATLAB 的曲线拟合工具箱 我们可以在窗口中添加需要拟合的离散数据，选择上面介绍的具体拟合函数，给定参 数进行相关的数据拟合，利用这些经典的函数模型可以使我们工作更加方便简单。 （4） 采用 ployfit 函数实现多项式拟合 在本文中我们主要利用 ployfit 函数进行算例的解答，具体操作在第四章给出完美 解答。 3.4 本章小结本章小结 本章介绍了 MATLAB 的发展和一些基

23、本的运用，在此基础上又介绍了 MATLAB 的曲线拟合方法。 第四章第四章 最小二乘法曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的 MATLAB 实现实现 在这一章中我们利用上面所论述的观点及算法对实际工作进行验证，利用 MATLAB 的相关工具通过最小二乘法曲线拟合实现测量中地表移动变形模型的建立与 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 35 预测，下面是济宁某矿采空区 A 点的变形观测资料，如表所示 累计天数 （T/d） 实际累计下 沉值（Y/mm） 累计天数 （T/d） 实际累计下 沉值（Y/mm） 0 0 135 105 15 4 150 126 30 9 165 146 45 15 180 1

24、63 60 21 195 180 75 33 210 192 90 45 225 200 105 61 240 206 120 83 255 207 表 4.1 济宁某矿采空区 A 点的变形观测资料 （引用参考文献6 曲线拟合与插值模型在矿区变形预测中的应用 数据） 4.1 使用使用 polyfit 函数实现多项式拟合函数实现多项式拟合 在 MATLAB 中 ployfit 函数的基本调用格式为：p=ployfit（x，y，n） ，其中 x，y 为样本数据向量，而 n 为拟合的多项式的项数3。如果要查看拟合的多项式的表达式， 则可以使用符号工具箱中的 ploy2sym 函数，这时多项式按照幂次

25、的高低排列。使用 ployval（）函数可以直接计算出多项式的值。在做实验时，如果我们实现知道离散数 据的函数关系，则可以通过计算拟合的函数数值与之比较，然后查看拟合结果是否理 想。Ployval 函数使用方法是直接输入拟合的多项式变量及要计算函数值的点列。 4.2 二次多项式的曲线拟合二次多项式的曲线拟合 二次拟合的源代码 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 36 图 4.1 二次多项式拟合程序 运行得到结果 图 4.2 二次多项式拟合输出方程 拟合曲线 图 4.3 二次多项式拟合曲线 4.3 三次多项式的曲线拟合三次多项式的曲线拟合 三次拟合的源代码 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕

26、业论文） 37 图 4.4 三次多项式运行程序 运行得到结果 图 4.5 三次多项式拟合输出方程 拟合曲线 图 4.6 三次多项式拟合曲线 4.4 四次多项式曲线拟合四次多项式曲线拟合 四次拟合的源代码 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 38 图 4.7 四次多项式拟合运行程序 运行得到结果 图 4.8 四次多项式拟合输出方程 拟合曲线为 图 4.9 四次多项式曲线拟合 4.5 数据处理和精度评定数据处理和精度评定 我们在前面取了 MATLAB 中的 ployfit 函数的二、三、四次多项式拟合，从得到 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 39 的拟合曲线中我们可以直观的看出四次

27、拟合曲线的吻合度高于二、三次多项式拟合， 并不是多项式次数越取得高越好，在前面的理论中我们也论证过当多项式的次数较高 时，法方程可能会出现病态方程组，所以在此我们只取到了四次就停止了，下面我们 对这三次的拟合进行分析： 从源代码我们可以看出原观测天数 x 间隔为 15 天，而我们拟合曲线取的 xl 间隔为 5 天，在 MATLAB 的工作空间（work space）可以看到变量 x 被分为一个 118 的矩 阵，xl 被分为一个 152 的矩阵，具体模式如表 4.2 和 4.3 所示： 表 4.2 自变量 x 分布表格 表 4.3 自变量 xl 分布表格 对应相应的自变量我们可以得到相应的 y

28、 值，相应的二、三、四次多项式的拟合 y 值如下表格 4.4： 累计天累计天实测累实测累二次曲二次曲二次曲二次曲三次曲三次曲三次曲三次曲四次曲四次曲四次曲四次曲 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 40 数数 T/d计下沉计下沉 值值 Y/mm 线拟合线拟合 值值/mm 线拟合线拟合 残差残差 /mm 线拟合线拟合 值值/mm 线拟合线拟合 残差残差 /mm 线拟合线拟合 值值/mm 线拟合线拟合 残差残差 /mm 00-12.3467-12.34676.06436.06432.56672.5667 154-4.3581-8.35812.2088-1.79122.8260-1.1740

29、3097.8720-1.12803.6035-5.39656.0210-2.9790 451520.42725.42729.5918-5.402812.2151-2.7849 602133.307512.307519.5170-1.483021.36870.3687 753346.512913.512932.7224-0.277633.33960.3396 904560.043315.043348.55133.551347.88262.8826 1056173.898912.898966.34695.346964.64963.6496 1208388.07955.079585.4527-2.6

30、26883.18950.1895 135105102.5851-2.4149105.21190.2119102.9487-2.0513 150126117.4159-8.5841124.9678-1.0322123.2705-2.7295 165146132.5717-13.4283144.0638-1.9362143.3952-2.6048 180163148.0526-14.9474161.8431-1.1569162.4604-0.5396 195180163.8586-16.1414177.6469-2.3531179.5008-0.4992 210192179.9897-12.010

31、3190.8521-1.1479193.44831.4483 225200196.4458-3.5542200.71430.7143203.13183.1318 240206213.2270-7.2270206.66010.6601207.27741.2774 255207230.3333-22.6667208.00581.0058204.5082-2.4918 表 4.4：原 y 值和二，三，四次曲线拟合的 y 值和处理 各残差的平方和为： 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 41 (1) 二次项多项式残差平方和 图 4.10 二次多项式拟合残差平方和 （2）三次项多项式残差平方和 图

32、 4.11 三次多项式拟合残差平方和 （5） 四次项多项式残差平方和 图 4.12 四次多项式拟合残差平方和 由于都是利用 MATLAB 多项式拟合函数拟合观测的离散点，且各点的观测也假定为等 权观测，依据评定的标准单位权中误差：可以看出我们只需比较二，三， 0 T V PV r 四次项多项式的拟合残差平方和，从以上的残差平方和分析说明了四次曲线拟合的效 果要比三次曲线拟合和二次曲线拟合好，因此选择四次曲线拟合模型为预测方程，观 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 42 测值与观测时间存在较好的相关关系，所得四次拟合曲线能较好的反应实际情况。 第五章第五章 总结总结 内蒙古科技大学毕业设

33、计说明书（毕业论文） 43 本文介绍最小二乘曲线拟合的基本理论，介绍了在通常的数据处理中，不论是一 元线性拟合，还是多元线性拟合，甚至相当一部分经过变换可转变为线性拟合的非线 性拟合，都是正交基函数拟合的特例，用最小二乘法来实现，原理简单明了，且易于 编程。又就其 MATLAB 的实现方法进行研究与探讨，给出曲线多项式拟合 MATLAB 实现的原程序，并进行仿真测试。采用 MATLAB 对实验数据进行处理，能够快捷的得 到图文并茂的令人相当满意的处理结果，在越来越多的工程分析和科学研究中， MATLAB 软件正在被重视起来，可以联想到，在不久的将来 MATLAB 将得到日益广 泛的运用，必然会

34、成为工程人员们必备的工具。 参考文献参考文献 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 44 1朱晓临主编.数值分析M.合肥：中国科学技术大学出版社，2010.7 2宋叶志等编辑.MATLAB 数值分析与应用M.北京：机械工业出版社，2009.7 3云舟工作室编著.MATLAB 6 数学建模基础教程M.北京：人民邮电出版社，2001.7 4武汉大学测绘学院测量平差学科组编著.误差理论与测量平差基础M.武汉：武汉大 学出版社，2009.5 5朱衡君主编;肖燕彩，邱成编著.MATLAB 语言及实践教程M.北京：清华大学出版 社；北京交通大学出版社，2004.10 6孙祥畅，颜世英，桂维振等.曲线拟

35、合与插值模型在矿区变形预测中的应用J.山东科 技大学.测绘科学与工程学院.山东.青岛 2012.1； 7魏清洁，王玉彬.二元一次函数曲线拟合的 Matlab 实现J.武城二中，山东德州 2011.6 8孙彦清.最小二乘法线拟合应注意的两个问题J.陕西.汉中. 陕西理工学院物理系 2002.6 9陈光，任志良，孙海柱.最小二乘曲线拟合及 Matlab 实现J.湖北.武汉.海军工程大学 兵器工程系 兵工自动化 2005 年第 24 卷第 3 期 10赵宝贵.Matlab 在数据拟合中的应用J.抚州.东华理工学院测量系 2007.1 11丁克良，欧吉坤，赵春梅.正交最小二乘拟合法J.北京建筑工程学院

36、，测绘与城市 信息学院，测绘工程系，北京.中国科学院测量与地球物理研究所，武汉.2007.5 12聂翔，张瑞林.最小二乘在曲线拟合中的实现J.陕西.汉中.陕西工学院基础课部，汉 中师范学院数学与计算机科学系 2000.4 13罗成汉，刘小山.曲线拟合法的 Matlab 实现J.福建.厦门.集美大学.信息工程学院 现代电子技术.2003 年第 20 期 14邢广军，原彪，石晓岚.MATLAB 与曲线拟合浅议J.张家口水文水资源勘测局 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 45 2003.6 15申红莲.Matlab 中曲线拟合的方法J.河北.衡水.衡水学院数计学院.2010.3 内蒙古科技大

37、学毕业设计说明书（毕业论文） 46 附录附录 1 1： MATLABMATLAB 语言编程源代码语言编程源代码 二次多项式曲线拟合二次多项式曲线拟合 x=0:15:255; y=0 4 9 15 21 31 45 61 83 105 126 146 163 180 192 200 206 207; p2=ployfit(x,y,2); vpa(ploy2sym(p2),10)； x1=0:5:255; y1=ployval(p2,x1); plot(x,y,x,y,*,x1,y1) grid 三次多项式曲线拟合三次多项式曲线拟合 x=0:15:255; y=0 4 9 15 21 31 45

38、61 83 105 126 146 163 180 192 200 206 207; p2=ployfit(x,y,3); vpa(ploy2sym(p3),10)； x1=0:5:255; y1=ployval(p3,x1); plot(x,y,x,y,*,x1,y1) grid 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 47 四次多项式曲线拟合四次多项式曲线拟合 x=0:15:255; y=0 4 9 15 21 31 45 61 83 105 126 146 163 180 192 200 206 207; p2=ployfit(x,y,4); vpa(ploy2sym(p4),10)；

39、 x1=0:5:255; y1=ployval(p4,x1); plot(x,y,x,y,*,x1,y1) grid 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 48 附录附录 2： 各次拟合的拟合曲线方程各次拟合的拟合曲线方程 二次多项式曲线拟合二次多项式曲线拟合 26315789.167828345373 . 0 2080007223942 . 0 2 xxy 三次多项式曲线拟合三次多项式曲线拟合 064327485 . 6 4466364714 . 0 70131265527 . 0 72670000324291 . 0 23 xxxy 四次多项式曲线拟合四次多项式曲线拟合 xxxxy60

40、774445521 . 0 680061732477 . 0 80001075116 . 0 67336130000000846. 0 234 +2.56671983 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 49 致谢致谢 在论文完成之际，我首先向关心帮助和指导我的指导老师孙同贺老师表示衷心的 感谢并致以崇高的敬意！ 在学校的学习生活即将结束，回顾四年来的学习经历，面对现在的收获，我感到 无限欣慰。为此，我向热心帮助过我的所有老师和同学表示由衷的感谢，在论文工作 中，遇到了许许多多这样那样的问题，有的是专业上的问题，有的是论文格式上的问 题，一直得到孙同贺老师的亲切关怀和悉心指导，使我的论文

41、可以又快又好的完成， 孙同贺老师以其渊博的学识、严谨的治学态度、求实的工作作风和他敏捷的思维给我 留下了深刻的印象，我将终生难忘我的老师们对我的亲切关怀和悉心指导，再一次向 他表示衷心的感谢，感谢他们为学生营造的浓郁学术氛围，以及学习、生活上的无私 帮助! 值此论文完成之际，谨向学院的老师们致以最崇高的谢意! 最后，衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位专家、教授。 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 50 外文翻译外文翻译 外文部分外文部分 Spectral Features Extraction in Hyperspectral RS Data and Its Applicat

42、ion to Information Processing Oriented to the demands of hyperspectral RS information processing and applications, spectral features in hyperspectral RS image can be categorized into three scales: point scale, block scale and volume scale. Based on the properties and algorithms of different features

43、, it is proposed that point scale features can be divided into three levels: spectral curve features, spectral transformation features and spectral similarity measure features. Spectral curve features include direct spectra encoding, reflection and absorption features. Spectral transformation featur

44、es include Normalized Difference of Vegetation Index (NDV I) , derivate spectra and other spectral computation features. Spectral similarity measure features include spectral angle ( SA ) , Spectral Information Divergence ( SID ) , spectral distance, correlation coefficient and so on. Based on analy

45、sis to those algorithms, several problems about feature extraction, matching and application are discussed further, and it p roved that quaternary encoding, spectral angle and SID can be used to information processing effectively. 1 Introduction Hyperspectral Remote Sensing was one of the most impor

46、tant breakthroughs of Earth Observation System ( EOS) in 1990 s. It overcomes the limitations of conventional aerial and multispectral RS such as less band amount, wide band scope and rough spectral information expression, and can provide RS information with narrow band width, more band amount and f

47、ine spectral information, also it can distinguish and identify ground objects from spectral space, so hyperspectral RS has got wide applications in resources, environment, city and ecological fields. Because hyperspectral RS is different from conventional RS information obviously in both information

48、 acquisition and information processing, there are many problems should be solved in practice. One of the most important problems is about spectral features extraction and application in hyperspectral RS data including hyperspectral RS image and standard spectral database. Nowadays, studies on hyper

49、spectral are mainly focused on 内蒙古科技大学毕业设计说明书（毕业论文） 51 band selection and dimensionality reduction, image classification, mixed pixel decomposition and others, and studies on spectral features are few. In this paper, spectral features extraction and application will be taken as our central topic in order to provide some useful advices to hyperspectral RS applications. 2 Framework of spectral f