数学专业毕业论文-矩阵初等变换的若干应用.doc

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1、 矩矩阵阵初初等等变变换换的的若若干干应应用用 Some applications of elementary transformation of matrix 专 业: 数学与应用数学 作 者: 指导老师: 学校 二一 I 摘摘 要要 本文介绍了矩阵初等变换在高等代数中的一些应用, 总结了其在求矩阵和向量组 的秩、求逆矩阵、化二次型为标准形、求解矩阵方程以及求一元多项式最大公因式中 的应用. 关键字: 初等变换; 秩; 逆矩阵; 标准形; 矩阵方程; 最大公因式 II AbstractAbstract In this paper, we introduce some applications

2、 of elementary transformation of matrix in algebra, and summarizes the applications of elementary transformation of matrix in the rank of a matrix and vector, the inverse matrix, changing quadratic form as the standard form, solving the matrix equation and the monadic polynomial greatest common fact

3、or. Keywords: elementary transformation; rank; inverse matrix; standard form; matrix equation; greatest common factor 目 录 摘 要 .I ABSTRACT .II 0 引言 1 1 矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念 1 2 用初等变换求矩阵和向量组的秩 2 3 用初等变换法求逆矩阵 3 4 用初等变换化二次型为标准形 4 5 用初等变换求解矩阵方程 5 5.1 当,B可逆时线性矩阵方程BAX 的解 5A 5.2 当A,B不可逆时线性矩阵方程BAX 的解 6 6 用初等变换讨

4、论一元多项式最大公因式的求法 8 参考文献 .11 第 1 页, 共 11 页 0 引言 矩阵理论是代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用. 在 矩阵的应用中, 矩阵的初等变换起着关键作用. 关于矩阵初等变换的应用, 前人已经 得出了很多有价值的结论, 本文在前人理论的基础上对矩阵的初等变换在代数中的若 干应用进行了一些讨论. 归纳了初等变换在求矩阵和向量组的秩, 矩阵的逆, 化二次 型为标准形, 线性矩阵方程的解以及求一元多项式的最大公因式等方面的应用. 1 矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念 我们先来看看有关矩阵初等变换和初等矩阵的相关知识: (1) 对矩阵施以以下三种

5、变换, 称为矩阵的初等变换: (i) 交换矩阵的两行(列); (ii) 以一个非零数乘矩阵的某行(列);k (iii) 矩阵的某行(列)加上另一行(列)的倍.k (2) 矩阵的初等变换用如下形式表示: (i) 交换矩阵的第 行(列)与第行(列): 或;ij ji rr ji cc (ii) 非零常数乘矩阵的第 行(列): 或; ki i kr i kc (iii) 矩阵的第 行(列)加上第行(列)的倍: 或.ijk ji krr ji kcc (3) 初等矩阵 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵, 共 3 类:E (i)交换的第 行与第行(或第 列与第列)得到的初等矩阵;),(j

6、iPEijij (ii)（或）用数域中的非零数乘的第 行(或第列)( kiP)(kjPPkEij 得到的初等矩阵; (iii)把的第行的倍加到第 行(或第 列的倍加到列)得)(,(kjiPEjkiikj 到的初等矩阵. 第 2 页, 共 11 页 2 用初等变换求矩阵和向量组的秩 由于初等变换不改变矩阵的秩, 且任意一个矩阵均可以经过一系列行初等变nm 换化为梯形矩阵; 因此, 我们要确定一个矩阵的秩, 首先要用行初等变换将其化nm 为梯形矩阵, 然后再由梯形矩阵的秩确定原矩阵的秩. 例 1 设, 求矩阵的秩. 03341 43121 01101 22413 AA 解 03341 43121

7、01101 22413 A 02240 42220 01101 21110 24 23 21 3 rr rr rr 00000 86200 21110 01101 4321 14 13 4 2 rrrr rr rr 因此矩阵的秩为 3.A 如果我们要求向量组的秩, 可以把每一向量作为矩阵的一行, 从而向量组就转化 为了一个矩阵, 使求向量组的秩转化成求矩阵的秩, 自然使问题简单化了. 例 2 求向量组 , , , , )4 , 2 , 0 , 1( 1 )2 , 1, 3 , 1 ( 2 )4 , 5, 1 , 3( 3 )0 , 2 , 1, 1 ( 4 )3 , 5, 1 , 2( 5 的

8、秩. 解 以为列, 构造矩阵, 再对进行行初等变换, 化为梯形矩阵: 54321 ,AA 30424 52512 11130 21311 ),( 54321 A 第 3 页, 共 11 页 1141660 14110 11130 21311 14 13 4 2 rr rr 17201000 14110 413200 21311 3432 1 63rrrr r 3785000 413200 14110 21311 34 32 5rr rr 因此, 矩阵的秩是 4, 从而向量组的秩也是 4.A 54321 ， 3 用初等变换法求逆矩阵 如果是阶可逆矩阵, 我们将与并排放到一起, 形成一个的矩阵An

9、AEnn2 , 因为, 所以对矩阵作一系列行初等变换, 将其左)|(EA)|()|( 11 AEEAA)|(EA 半部分化为单位矩阵, 这时右半部分就是. 1 A 例 3 设，求. 111 142 251 A 1 A 解 )|(EA 100111 010142 001251 101140 012360 001251 13 12 2 rr rr 1 3 2 3 1 100 0 6 1 3 1 2 1 10 0 6 5 3 2 2 1 01 2123 2 54 6 1 rrrr r . 1 3 2 3 1 100 2 1 6 1 6 1 010 2 1 2 1 2 1 001 32 31 2 1

10、2 1 rr rr 第 4 页, 共 11 页 因此, . 1 3 2 3 1 2 1 6 1 6 1 2 1 2 1 2 1 1 A 同理, 如果是阶可逆矩阵, 我们将与并列放到一起, 形成一个 的AnAEnn2 矩阵, 因为, 所以对矩阵作一系列列初等变换, 将其上半部分 E A 1 1 A E E A A E A 化为单位矩阵, 这时下半部分就是. 用初等变换法求逆矩阵是一种通用而较简便的 1 A 方法. 正确地选择和使用它们能更快更好地解决各类求逆矩阵问题. 4 用初等变换化二次型为标准形 对任意二次型一定存在可逆非退化线性替换将其化AXXxxxf n ),( 21 CYX 为标准形,

11、 即为对称矩阵找一个可逆矩阵, 使得为对角矩阵, 而可逆矩ACDACC 阵可以写成若干个初等矩阵的乘积, 所以存在初等矩阵有， s PPP, 21 s PPPC 21 从而有是一个对角矩阵.DPPAPPPP ss 2112 由上式可得到用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下: 首先, 写出二次型的矩阵, 构造矩阵, 然后对矩阵每进行一次行初nn2 E A E A 等变换后, 就对进行一次同样的列初等变换, 当矩阵化为对角矩阵时, 单位矩 E A A 阵将化为可逆矩阵, 此时, 最后得到可逆矩阵和非退化线性变换ECDACCC , 在这个变换下二次型化为标准形.CYX DYYf 例 4 化二次型

12、323121 2 3 2 1321 6442),(xxxxxxxxxxxf 为标准形, 并写出所用的非退化线性替换. 第 5 页, 共 11 页 解 题中二次型的矩阵为, 由上面的初等变换法化二次型为标准形 232 302 221 A 的步骤可知: = E A 1 0 0 1 0 0 0 2 0 3 1 2 3 2 0 2 2 1 1313 1212 22 22 ccrr ccrr 1 0 0 1 0 0 2 2 2 1 1 0 1 0 4 0 0 1 , 100 4 1 10 2 3 21 4 7 00 040 001 23 23 4 1 4 1 cc rr 400 110 621 2800

13、 040 001 3 3 4 4 c r 从而非退化线性替换为, 原二次型化为. 3 2 1 x x x 3 2 1 400 110 621 y y y 2 3 2 2 2 1 284yyyf 在运用矩阵初等变换来化二次型为标准形的关键: 对矩阵进行的行初等变换 E A 和列初等变换必须是一致的. 5 用初等变换求解矩阵方程 5.1 当,可逆时线性矩阵方程BAX 的解AB 我们知道的解为BAX 1 . 实际上就是计算形如BA 1 的矩阵乘积, 因为BAX ),(),( 11 BAEBAA , 所以经过行初等变换可使),(BA化为),( 1B AE , 也即对nn2矩 阵),(BA作初等行变换,

14、 当A处变成单位矩阵E时, B处得到的矩阵就是BA 1 . 第 6 页, 共 11 页 例 5 求解矩阵方程BAX , 其中 121 011 322 A， 321 011 324 B. 解 321121 011011 324322 ),(BA 330110 302340 011011 13 12 21 2 rr rr rr , 9122100 330110 011011 3 23 23 4 r rr rr 9122100 692010 683001 21 32 rr rr 因此 9122 692 683 1B AX. 5.2 当,不可逆时线性矩阵方程的解ABBAX 当, ,不可逆时我们将要用到

15、新的初等变换法来解这种矩阵方程.AB 定理 5.2.1 如果矩阵方程有解, 且可逆矩阵使, 那BAX QP和 00 0 r E PAQ 么该矩阵方程的通解为, 其中为的前 行组成的矩阵, 中的元素可 1 X BP QX P Pr 1 X 以任意取值. （证明见参考文献5） 以上定理可给出求解矩阵方程的具体方法:BAX （1）把, , ,放到一起, 组成一个矩阵, 然后对其做初等行变换, 使ABE),(EBA 得经过行变换后得到矩阵, 其中是上阶三角矩阵, 从而可确定矩阵和矩),( 11 PBA 1 AA 阵的秩, 判断方程是否有解, 同时取的前面 行作成, 它满足, 且),(BAPr P 1

16、APA 为的前 行. B P 1 Br （2）如果上述方程有解, 则对作初等列变换. 经过列变换后变成其中 E A1 Q D 第 7 页, 共 11 页 , 必有. 00 0 r E DDPAQ （3）从而由定理 5.2.1 可知，的通解公式为.BAX 1 X BP QX 例 6 设 , , 5163 3121 4142 1021 A 14102 860 1181 321 B 求矩阵方程的通解.BAX 解 根据求解矩阵方程的步骤, 首先将放到一起, 组成一个矩阵BAX EBA, , 如下: ),(EBA , 1000141025163 01008603121 001011814142 0001

17、3211021 ),(EBA 然后对其作一系列初等行变换, 使得为上三角矩阵, 即A .）（ 行变换行变换 PBA, 10110000000 01110000000 00125412100 00013211021 11 很明显, 矩阵和矩阵的秩都是 2, 故该方程有解.A),(BA 取=, 有=, 接下来对作初等列变换 P 0 0 0 0 1 0 2 1 P B 5 3 4 2 1 1 E A1 , 1000 2010 0100 1201 0000 0000 0010 0001 1000 0100 0010 0001 0000 0000 2100 1021 1列变换 E A 第 8 页, 共

18、11 页 经过列变换后我们可得到. 1000 2010 0100 1201 Q 从而, 由定理 5.2.1 知, 该方程的通解为 1 X BP QX 6 3 5 2 4 1 5 3 4 2 1 1 1000 2010 0100 1201 x x x x x x , 1 1 2 0 1 0 0 1 2 0 5 0 3 0 4 0 2 0 1 0 1 X 其中是任意的矩阵. 1 X32 矩阵方程的通解公式和解法与上面类似（详见参考文献2或5）, 应用BXA 矩阵的初等变换来求解矩阵方程具有很大优点, 不但通俗易懂, 而且容易掌握. 6 用初等变换讨论一元多项式最大公因式的求法 求一元多项式最大公因

19、式的方法, 目前最常用的方法是辗转相除法和因式分解法. 下面给出用矩阵及其初等变换来求一元多项式的最大公因式, 而且方便快捷. 定理 6.1 设, 令, 则对实施一系列)()( 21 xPxfxf， 10 01 )()( )( 21 xfxf xA)(xA 初等列变换后得, 此时, 且是 22 11 *)( *)( 0)( )( xu xu xd xB)()()()()( 2211 xdxuxfxuxf)(xd 与的最大公因式.)( 1 xf)( 2 xf 证明 若不全为零, 则必有一个次数相对较低的多项式, 不妨设为)()( 21 xfxf、 , 对进行初等列变换, 第一列乘以一个适当的多项

20、式加到第二列上, 消去)( 1 xf)(xA 第 9 页, 共 11 页 的最高项, 由于的次数有限, 重复上述过程, 必然出现矩阵中第一)( 2 xf)()( 21 xfxf、 行只有一个非零元, 而其它均为零的情形, 即. 22 11 *)( *)( 0)( )( xu xu xd xB 以上对所实施的变换, 即存在初等矩阵, 使得)(xA )()( )()( )( 43 21 xpxp xpxp xP . 22 11 43 21 21 *)( *)( 0)( )()( )()( 10 01 )()( xu xu xd xpxp xpxp xfxf 因而 , , , )()()()()(

21、3211 xdxpxfxpxf)()( 11 xuxp)()( 23 xuxp 即 .)()()()()( 2211 xdxuxfxuxf 设矩阵的逆矩阵为, 显然也是初等矩阵, 由于)(xP )()( )()( )( 43 211 xqxq xqxq xP)( 1 xP . 因而, 即)()()(xPxAxB)()()( 1 xAxPxB , 10 01 )()( )()( )()( *)( *)( 0)( 21 43 21 22 11 xfxf xqxq xqxq xu xu xd 于是, , 从而是与的公因式, 从而)()()( 11 xfxqxd)()()( 22 xfxqxd)(xd

22、)( 1 xf)( 2 xf 可知: 是与的最大公因式.)(xd)( 1 xf)( 2 xf 例 7 求, , 其中)(xf)(xg的最大公因式 , .242)( 234 xxxxxf22)( 234 xxxxxg 解 10 01 )()( )( xgxf xA 10 01 22242 234234 xxxxxxxx 第 10 页, 共 11 页 21 11 22 23 1212 21 x x xxx ccxcc cc 因为, 所以, 且同时还满足)2( | )2( 32 xxx)(),(2 2 xgxfx .)()2()() 1(2 2 xgxxfxx 上述方法可灵活运用, 不一定必须用次数

23、最低的多项式去消其它多项式. 也可以 用次数较高的多项式去消次数更高的多项式, 以达到逐渐消去各多项式最高项, 使第 一行只剩下一个非零元素的目的. 以上方法只讨论了列的情形, 行的情形与列相同, 此时, 行初等变换的结果是第一列只剩下一个非零元素, 该元素 10)( 01)( )( 2 1 xf xf xA 即为多项式的最大公因式（详见参考文献2）. 对于求两个多项式的最大公因式, 辗转相除法是一种比较好的方法, 但对于求多 个多项式的最大公因式, 辗转相除法在理论上可行, 在实际操作中却是非常繁琐的. 本文介绍的方法, 对求多个多项式的最大公因式是一种行之有效的方法. 致谢致谢 本文是在

24、的指导和帮助下完成的, 在此对汪教授表示衷心的感谢! 第 11 页, 共 11 页 参考文献 1 北京大学数学系. 高等代数(第 3 版)M. 北京: 高等教育出版社, 2003. 2 王文省, 姚忠平. 初等变换的思想方法在高等代数中的应用J. 聊城师范学报(自然科学版) 2003, 13 ( 3 ) . 3 樊恽, 钱吉林等. 代数学词典M. 武汉: 华中师范大学出版社, 1994. 4 钱吉林. 线性代数概论M. 武汉: 华中师范大学出版社, 2000. 5 林亨成, 陈群. 矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用J. 成都教育学院学报, 2006, 91 92. 6 戴天时, 陈殿友.

25、大学数学线性代数M. 北京: 高等教育出版社, 2004. 7 赵树嫄. 线性代数(3 版)M . 北京: 中国人民大学出版社, 2005. 061. 8 Bebiano, Newdevelopmentsb on the Marcus-Oliveira conjecture N. Linear Algebra Applic, (1994)197-198, 793-803. 9 Fuchs, The explicit inverse of the stiness matrix M.B., Int.J.Solids Struct, 29(1992), 2101- 2113. 10 N. H. Scott, A New Canonical Form for Complex Symmetric Matrices, Proc. R. Soc. Lond. A 1993 441, 625-640.