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1、模n剩余类环及其应用 摘要: 模n剩余类环是一种比较透彻的特殊环. 本文主要从模n剩余类环的定义和性质出发, 系统论述了模n剩余类环及其相关性质, 并列举了模n剩余类环在纯代数证明和完全及简化剩余系的性质方面的一些应用.关键词: 模n剩余类环; 模n剩余类子环; 幂等元; 理想 中图分类号: O153 Modulo n Residue Class Ring and Its ApplicationAbstract: Modulo n residue class ring is a kind of thorough special ring. In this thesis, mainly base
2、d on the definition of modulo n residue class ring and its primary property, the author first completely expounds it and its relative properties. Then, some application in the proof of pure algebraic and the simplification of the remaining coefficients is listed. Key words: Modulo n residue class ri
3、ng; Modulo n residual class ring; Idempotent element; Sub-ring ideal 目 录1引言12 基本知识12.1 模n剩余类环的基本概念12.2 模n剩余类环的基本性质23 主要结果及其证明33.1 模n剩余类环的一般性质33.2 模n剩余类子环的相关命题43.3 模n剩余类加群相关性质列举83.4 模n剩余类乘法群及其幂等元的简单求法93.5 模n剩余类环的理想113.6 剩余类环的应用13参考文献16 数学与统计学院2013届毕业论文 模n剩余类环及其应用1引言 自从1910年狄德金和克隆尼克共同创立环论以来, 学者们就对各种环进
4、行了深入系统的研究, 开辟了许多新的研究领域, 并取得了许多有意义的研究成果. 环是两个二元运算建立在群的基础上的一个代数系统, 因此它的许多基本概念与理论与群相似, 也是对群的相应内容的推广. 模n剩余类环就是环中研究比较透彻的一类环, 常见于各类论著之中, 同时, 它也有很重要的应用. 2 基本知识在集合中, 固定(可以是任意形式), 规定中元素间的一个关系为, 则, 当且仅当. 其中, 表示能整除. 易见, 这是一个等价关系, 记这个等价关系为模的同余关系, 并用来表示. 我们知道一个等价关系决定一个分类, 所以该等价关系便决定了集合的一个分类, 我们将如此得来的分类就叫作模的剩余类.2
5、.1 模n剩余类环的基本概念 定义2.1.1 对, 令, 任取, 规定, 为的两个代数运算, 可知作成一个环, 是一个阶有单位元的交换环, 我们称其为以为模的剩余类环, 或简称模剩余类环. 显然, 该环关于加法作成一个阶循环群, 从而是阶循环环. 定义2.1.2 对, 类中若有一个整数与互素, 则这个类中的所有整数都同互素, 我们就说类与互素. 定义2.1.3 对, 若存在中的元素,使得, 则称 为环的一个左零因子. 同样可定义右零因子, 若的左零因子与右零因子相等, 称其中任意一个为的零因子.定义2.1.4 中, 若使得, 有, 则称元素为环的单位元, 记作.定义2.1.5 中, 若, 有,
6、 使得, 则称是的逆元, 与互逆.定义2.1.6 对, (对加法)有最大的阶, 则称为的特征.定义2.1.7 对于的任一非空子集, 若满足: , ; , .则称集合为的一个理想子环, 简称的理想. 定义2.1.8 设为任意一个环, 是的理想. 则对陪集的加法和乘法作成一个环, 称该环为关于的商环. 定义2.1.9 的乘法群(为素数时, 中的所有非零元做成, 为合数时, 中的所有可逆元做成)中, 对于, 若满足:, 则称为的一个幂等元1. 定义2.1.10 对于, 若, 使得, 则称整除, 记作,否则, 不整除.2.2 模n剩余类环的基本性质 性质2.2.1 对, 若, 则. 性质2.2.2 对
7、, .性质2.2.3 设, .在以下内容中, 表示的正因子的个数, 为Euler函数, 表示不超过, 与互素的元素的个数. 3 主要结果及其证明 3.1 模n剩余类环的一般性质 （1）是交换环. （2）中非零元是可逆元, 且可逆元的个数为个. 证明 设是的可逆元, 则, 使得, , 即, 使得, , . 反之, 若,且,则, 使, =, 故是的可逆元, 故可逆元个数为个. （3）对, 若, 则为的零因子, 且共有个零因子.证明 当时, 令, , . 易见, , 故是的零因子. 又由于中, 对于, 不是可逆元就是零因子, 故共有个零因子. （4）中,其左右零因子均为零因子. （5）是无零因子环为
8、素数. （6）设为无零因子, 且, 则中所有非零元素(对加法)的阶必相同. （7）对于,（1）是特征为的有单位元的可交换环; （2）环是域为素数; （3）若为合数, 则环有零因子, 从而不是域. （8）, 则. （9）除去零乘环外, 同构意义下, 循环环有且仅有整数环及其子环以及剩余类环及其子环. （10）设, 若, , 则. （11）的循环子群可由的所有因子作为生成元生成（或可由n与其所有因子的差作为生成元生成), 且共有个.证明 设的所有因子为. 任取一个由生成的循环子群; 设; 即是的因子, 设该因子为, , 且(), 的阶为, 又, , 则该循环子群可由的任一因子作为生成元生成, 可知
9、这样的循环子群共有个.3.2 模n剩余类子环的相关命题 命题3.2.1 环有且仅有个子环, 且是一个阶循环环. 证明 由于=对加法作成循环群, 所以为阶循环环; 又因为阶循环群有且仅有个子群, 所以阶循环环有且仅有个子环, 即有且仅有个子环. 命题3.2.2 中任意两个不同的子环彼此不同构. 证明（1）若的两个子环不同阶, 成立. （2）设为的任意阶子环, 则. 而为阶循环群, 故对的每个正因数, 有且仅有一个阶子群, 则有且仅有一个阶子环. 故的任意两个不同子环彼此不同构. 命题3.2.3 当, 为素数时, 的阶子环是含零因子无单位元的环.证明 设的阶子环, 先证它是含有零因子的环. （1）
10、当时,对, , , ,故是有零因子的环. （2）当时,取, , , 故是有零因子的环.下证是无单位元的环. 设有单位元, 则对, , 有, 即有:, , 取, 则, 由, 所以, 而不整除, 因此, 则不是整数, 故无单位元.命题3.2.4 若, 是素数, 是大于的正整数,则: (1)当时, 的阶子环是域; 且; (2)当时,的阶子环是零环.证明 设的阶子环,（1）当时, 令, 故是零环. （2）当时, 则对 只要, , 由, 即是无零因子环,又由于有限, 所以为域.设是的单位元, 则对,有, 即, 取, 得到. 因为为整数,只需选取适当的使为整数, 就可求得单位元.命题3.2.5 设, 是合
11、数, 则的阶子环是含零因子的无单位元的环.证明 是合数, 令,的阶子环, 取，, 其中, , 故含有零因子. 设有单位元, 且,对, 则有, 即, ,（1) 设时, 在式中取, 若有整数解, 即方程:中有整数解, 所以上述方程有整数解, 矛盾, 所以无单位元.（2） 设, 在式中取, , 则有整数解即为整系数方程:有整数解, 而有整数解. 又由于, 故不整除, 矛盾, 故无单位元.商环也是一种重要的子环, 这里我们探讨一下商环在什么情况下是域或者有零因子无单位元的环.命题3.2.6 设是正整数, 是由生成的环, 则商环（是正整数, 且)是含零因子无单位元的环.证明 当时, 此时是有限零环. 事
12、实上,对, 取, ; 当时, 取, 所以是含零因子的环. 设有单位元, 则对, 有, 即, 取, 因为,不整除1,不整除, 故不存在整数, 即无单位元.命题3.2.7 设是正整数,为素数,是由生成的环, 则商环,（1）当时是域, 且;（2）当时,是零环.证明 设,（1） 当时, 对, 取, 若, 又, 所以, 当时, 亦即, 所以是无零因子的环, 则中消去率成立, 又因为有限, 所以是域. 设是的单位元, 对,有对应于、, 即可得. （2）当时, 令,对, 有,所以是零环.命题3.2.8设是正整数,且是合数,是由生成的环,则商环是含零因子无单位元的环.证明设是阶环.设,取,则,所以是有零因子的
13、环.设有单位元,则对,有，即:,所以 , 那么当时, 在式中取 , 则有,即可找到正整数,使得,有整数解的充要条件是,而,与假设矛盾,所以无单位元.3.3 模n剩余类加群相关性质列举 定理2.1中元素是的生成元的充分必要条件是,且生成元的个数为个.证明若, 则存在整数 使, 于是便有:,所以,且 是的生成元. 反过来,若是的生成元，则,而,所以,，即.故的生成元个数为个. 定理2.2有个子群. 证明只需证明对的每个正因数,有且只有一个阶子群. 易知为阶循环群,令, 则,设,令,则,故是的一个阶子群,令,则是循环群,且,但的阶为,从而,又由于,得到,且,于是,则,但, 的阶均为,故=,换句话说的
14、阶子群唯一. 由上述知：剩余类加群的子群个数为. 定理2.3自同构的个数为个. 证明设为的任一自同构,并设=,则 ,由于是自同构,故,从而有,即在同构映射下生成元的象仍为生成元. 反之, 设是的两个生成元,易知, 是的一个自同构,所以的生成元完全决定了的自同构,即有多少个生成元,它就有多少个自同构,而由定理3.1知 有个生成元,故有个自同构.3.4 模n剩余类乘法群及其幂等元的简单求法 设是一个模剩余类环,考察环中的乘法群（当为素数时,中非零元作成乘法群;当为合数时,中可逆的元作成乘法群）.由定义2.1.8知,群中的单位元是的一个幂等元, 且有, 反之,若是环的一个幂等元,则必然是的一个乘法群
15、的单位元;例如是一元群的单位元.在一个低阶的模的剩余类环,例如中,不难通过测试的方法来确定其幂等元;一般地,在模剩余类环中可如下考虑: 设是环中的一个幂等元, 那么,我们有, 则, 即和是互素且相邻的整数;若为整数, 则有;若为合数,不妨设, 不考虑的幂等元（换句话说e既非环的零元也非单位元）,或将分别是的因子的倍数;此时便可考虑取用该因子的倍数判断是否为环的幂等元. 例2.1 设,于是在中若是取,首先我们有或, 即是中的一个幂等元;其次,由于和互素,故在上式两端分别加上, 则可推算出, 并得到适合式的两个相邻整数和, 则由,又可得到中的另一个幂等元. 对于上述中的两个幂等元和, 容易看出它们
16、具有如下的性质:（），0(), 从而, 我们有以下命题: 命题设是一个有单位元的环,是的非零非单位元的幂等元, 则也是的幂等元, 并且具有性质:.证明事实上，由知:是的一个幂等元;又, .故得证.运用该命题, 我们可以容易地从中的一个非零非单位元幂等元求出另外一个幂等元. 例2.2 已知是的一个幂等元,则由知:也是的一个幂等元. 由该命题, 我们还可以得出关于中的幂等元与元素之间另一关系如下:设, 且幂等元是或倍数,则中每一个元素均可表成中幂等元和的唯一组合:, 其中, . 例2.3 在上述中, ,幂等元;任取, 则由有: 其中, 而. 以上讨论了模剩余类环中幂等元的存在和求法.那么,对于给定
17、的一个整 数,可以是哪一个模剩余类环的幂等元呢? 若要为的幂等元,则应有:,于是对任意给定的一个整数,取定一个的因子,便可在模的最小非负剩余系中确定以为幂等元的包含于的群.为此,对,令,则:中以幂等元为单位元的乘法群;中属于的元必须是一个关于和共同单位元的有逆元的元.为此,令:,则是一个满足要求的,由的可逆元作成的,包含幂等元的乘法群. 例2.4 设=25，则是的一个因子,不妨设=,则有，而又由式得 ,不难判断中关于单位元的可逆元为,因此为所求中包含幂等元的乘法群.至此,上面我们对模剩余类环及其乘法群的进行了一些讨论,阐述了群与环的部分关系;由群的单位元导出了其幂等元,并且给出了如何在中去确定
18、其幂等元;反之,对于给定的任一整数,也可以确定以其为幂等元的环及其所构成的乘法群.3.5 模n剩余类环的理想 定理3.5.1模剩余类环的所有理想都是主理想. 证明对循环子群(对加法), ,根据理想的定义,有: （1）; （2）. 同理：; 所以作为一个理想,显然是主理想. 由定理及上叙定理的证明过程可以看出:循环子群(对加法)加上乘法是模剩余类环的主理想. 定理3.5.2模剩余类环的子加群,子环,理想是一致的. 定理3.5.3设是模剩余类环,则: （1）是素数,是域,则只有零理想和单位理想; （2）是域充分必要条件是()是的极大理想. 证明(1)显然成立. （2）由上述定理知是域的充分必要条件
19、是为素数. 因此只需要证明是的极大理想的充分必要条件是为素数.由于是有单位元的交换环,设主理想,若为极大理想,如果不是素数,则必有,于是,但, 则是的真包含的理想.由为极大理想知.但, 矛盾,所以是素数.反之,设是素数,是的理想,且,则存在. 因为是素数, 所以与互素,则存在,使,由可知.因为, 所以是极大理想.3.6 剩余类环的应用 在此我们主要给出剩余类环对Euler函数关系式, Eisenstein判别法, 整系数多项式无整数根,Euler定理及Fermat小定理等数论的古典结果给出纯代数的证明.并从代数的角度观察熟知完全及简化剩余系的一些性质. 例2.5 (Euler函数关系式)为Eu
20、ler函数,当时,.证明当时, 而,所以.注:为方便起见下面出现的函数,都是函数.例2.6 (Eisenstein判别法)设是一个整系数多项式,如果有一个素数,使得满足条件: 不整除; |(); 不整除.那么在中不可约.证明首先,令,其中表示的模剩余类.假设在中可约,令, 其中,.于是,而另一方面.因为|(),不整除,故, 令, 即的常数项,的常数项,那么|, 且|,则|, 这与不整除矛盾,故不可约.例2.7 (整系数多项式无整数根)设是整系数多项式,且和都是奇数,则无整数根.证明令,其中表示的模剩余类,假设有一整数根,而或,若, 则有,故有|矛盾.若,则有, 故|, 矛盾.故假设不成立,即无
21、整数根.例2.8 (Euler定理)设是大于的整数, 则.证明因为,但单位群的阶为,所以,即, 所以).例2.9 (Fermat小定理)若是素数,则.证明若,由Euler定理及得,所以,若,则,故.下面从代数的角度来观察完全及简化剩余性质例2.10设为模的完全剩余系, 则也是模的完全剩余系.证明由题设知,由知可逆,故有, 所以也是模的完全剩余系.例2.11 设为模的简化剩余系, 则也是模的简化剩余系.证明由题设知,由,知可逆,故, 所以是模的简化剩余系.参考文献 1 杨子胥.近世代数M.北京:高等教育出版社,2003,175-200. 2 吴品三.近世代数M.北京:人民教育出版社,1979,1
22、43-153. 3 张禾瑞.近世代数基础M.北京:人民教育出版社,1978,157-163.4 单桂华,张琴,叶涛.模n的剩余类的几点应用 J .湖南大学学报(自然科学版), 1999,10(1):23-24. 5 杨树生.模n的剩余类加群及模n剩余类环的若干性质 J .河套大学学报,2004,17(1):72-74. 6 李伯葓.模n的剩余类环的子环 J .南京师大学报(自然科学版),1992,(3):61-62.7 唐再良.论模n剩余类环的性质与扩张 J .绵阳师范学院学报,2008,27(8):125-127. 8 潘庆年.剩余类环及若干数论问题 J .阜阳师范学院学报(自然科学版),1999,16(1):51-52. 致谢论文完成之际，谨向所有曾给予我帮助和指导的老师、同学和朋友们致以衷心的感谢！首先，我要感谢唐老师,从选题到开题报告,从写作提纲到一遍又一遍地指出每稿中的具体问题，严格把关，循循善诱,在此我表示衷心感谢.感谢在天水师范学院学习的这四年来，给我授课的各位老师,是你们用渊博的知识教育了我,正是你们的教育,我才能顺利完成这篇文章.在此,让我向你们表示深深的谢意.借此机会,我也向一直默默支持和关心我的父母和好友们表示感谢,祝他们身体健康.20