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1、目 录中文题目 1中文摘要 关键词 1英文摘要 关键词 1引言 2一、 正交变换 2（一） 正交变换的定义2（二） 正交变换在数学中的应用3二、 仿射变换 10（一）仿射变换的定义及其性质10（二）仿射变换在数学中的应用11三、 射影变换 14（一）射影变换的定义14（二）射影变换在数学中的应用16四、 近似变换 19（一）近似变换的定义19（二）近似变换在数学中的应用20结束语22参考文献22数学中的变换几种常见变换在数学中的应用王鸾凤（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）摘要：数学中的数学变换有很多种，本文对几种常见的数学变换正交变换、仿射变换、射影变换、相似变换的定义及其在数
2、学中的应用做了总结。正交变换是欧氏空间中的一类重要的变换，是保持向量内积不变的变换，正因为它有这一特征，使正交变换在高等代数中起着重要的作用。不仅如此，正交变换在多元函数积分中、多元公式中也有独到的应用。仿射变换是几何中的一个重要变换，它是从运动变换到射影变换的桥梁。灵活的运用仿射变换，能使一些初等几何问题由繁到简。射影变换中二维射影变换定理及其应用非常重要。相似变换可以把求一个较复杂的函数迭代根转化为求一个较简单的函数迭代根的问题。关键词：正交变换，仿射变换，射影变换，相似变换。Transformation in mathematics-Several common transformati
3、ons in the application of mathematicsWang Luanfeng(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract: There are many mathematical transformations in mathematics. In this paper, it summarizes the definition of the orthogonal transformation, affine representation, proje
4、ctive transformation and similar transformation. It also summarizes the application of problem-solving in mathematics. Orthogonal transformation is a major transformation in Euclidean space，it maintains the measure of the transformation. Precisely because of this character, orthogonal transformation
5、 plays an important role in advanced algebra. Moreover, orthogonal transformation also has unique applications in the integration of multi-function, multi-formula, and so on. Affine transformation plays an important role in geometry, it is the transition from the movement to transform projective tra
6、nsform. Flexible usage of affine transformation makes some complex elementary geometry problems simple. The tow-dimensional projection transform theorem and its application is very important in the projective transformation. Similar transformation can make a complex problem of Gen-function iteration
7、 become simpler.Keywords: Orthogonal transformation，Affine representation，Projective transformation， Similar transformation.引言我们在大学中学习了许多数学变换，接触了数学中的正交变换、仿射变换、射影变换、相似变换等，它们在数学中的应用非常广泛，正交变换在数学分析、高等几何、高等代数等学科中的解题有着很重要的应用，仿射变换、射影变换在高等几何中的图形变换的解题非常重要，相似变换在高等代数中的多项式解题有着非常灵活的应用，下面就这些数学变换的应用做出总结。一、 正交变换（一）
8、正交变换的定义正交变换是欧氏空间中一类重要的线性变换保持向量的内积不变的变换。.定义 设是欧几里得空间的线性变换，称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，也就是说对任意的，都有.因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的，由定义不难看出正交变换实际就是一个欧氏空间到它自身的同构映射，因而正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正交变换，在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此正交矩阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。如果是正交矩阵,那么由，可知或者。因此,正交变换的行列式等于或者等于。行列式等于的正交变换通常称为旋转或者称为第一类的;行列式等于的正交变换称为第二类的。在三维空间中,的幺正矩
9、阵把左手坐标系变换到右手坐标系;的幺正矩阵则把右手坐标系变换到左手坐标系。（二）正交变换在数学中的应用1.正交的线性变换可以使一个实二次型变成平方和 ，其中平方项的系数就是矩阵的特征多项式全部的根。例 用正交变换法将二次型 化为标准形，并写出所作的正交变换.解：先写出二次型的矩阵：解特征方程得的全部特征值为： 当时，解齐次方程组，可得其基础解系为：将正交化 再单位化，得： ， .当时，解齐次方程组，可得其基础解系为：单位化得：由于与一定正交，因此以作为列向量得正交矩阵：令 于是二次型通过正交变换化为标准形为：.例2 用正交线性替换化二次型为标准型。解：设原二次型矩阵为 ，特征值为.相应特征向量
10、为：.单位化得： 令，其中，所以.2.正交变换在积分中的某些应用（1）正交变换在多元函数积分中的应用在多元函数积分中,是否用变量替换的方法,不仅仅是计算快和慢的问题,有时甚至成为是否能解的问题。如求，如果用直角坐标,就会遇到积分.由于我们不能将表示成初等函数,因而问题的解决就变得困难了。用变量替换的方法就容易解决,但是变量替换只不过是改变积分区域的分划,而选择替换有着很大的随意性,存在一定的难度。它要同时兼顾被积函数和积分区域的特点。对此,用正交变换方法则显得更简便。例 对于连续函数证明：，其中。证明:设为三维空间的个向量,单位化得：,再将其扩充为三维空间的一个标准正交基,设为.作正交变换:
11、这里 为正交矩阵（1）则 两边转置得： 所以： .又因为，而，由式（1）知：，于是由三重积分变量替换公式得:则.（2）正交变换在曲面积分中的应用例：证明其中是单位球面：.分析：因为，如果令 ，则，因此可以联想到用正交变换。证明：作一新坐标系，取作为坐标平面，令轴垂直于它，则 （2）在坐标系下，这一积分可写为：由式（2）可确立一式，3个向量和，且它们两两正交，并且 .于是对的参数表示式取作：.其中其雅可比矩阵为则 同样可以算得： .所以：.故其中在平面上.再把曲面积分化为二重积分得： .所以：则有.3.正交变换在多元公式中的应用正交变换不仅在高等代数中起着重要的作用，在其他数学分支中也起着独到的
12、作用。求多元函数在某点的公式，困难在于求其混合偏导数的繁琐，计算量较大，如果我们能适时引入正交变换就可以使求混合偏导数变得相对简单，甚至可以避免求混合偏导数。多元公式是指：若函数在的某邻域内具有直到阶连续偏导数，则对内的任一点， 有 定理 在正交变换下有，那么函数在点的值等于在点的值，其中由变换所对应的方程组在取值时所唯一确定的值.定理 若在点的某邻城有直到阶连续偏导数，则在正交变换后，在点的邻城也有阶连续偏导数，其中是在变换下所对应的邻城.这两个定理的结论是显而易见的，有这两个定理作保证，在求多元函数公式时，就可以大胆使用正交变换，我们得到变换后的公式后，若想回到原变量，只需要在公式中作逆变
13、换即可。例 在的展式。解:我们知道的法向量为，单位向量为，取此方向为变换后的轴，另取轴，使其与轴正交，如取则这两个向量可构成正交矩阵 .作正交变换 即则那么求在点的展式变成在的展式.所以二、 仿射变换（一）仿射变换的定义及其性质1.定义 若两个平面间（平面到自身）的一个点变换保持同素性，结合性和共线三点的单比不变，则这个点变换称为仿射变换.2.定义 平面上点之间的一个线性变换叫做仿射变换. 3.仿射变换具有如下性质： （1）仿射变换把直线变成直线，并且保持共线三点的介于关系。 （2）仿射变换把不共线三点变成不共线三点。 （3）仿射变换把平行直线变成平行直线。 （4）在仿射变换下平行线段的长度比
14、值不变。（二）仿射变换在数学中的应用1.仿射变换将椭圆变成一个圆例 求一个仿射变换将椭圆变成一个圆。解：设 则变换（1）是一个仿射变换，椭圆经过这个仿射变换后的象为，这是一个圆。2.仿射变换也将圆变成椭圆例 求一个仿射变换将圆变为一个椭圆。解：设 ，则变换是一个仿射变换，圆经过这个仿射变换后的象为，这是个椭圆.3.用仿射变换求椭圆的面积例 求椭圆的面积。解：设在笛氏直角坐标系下的椭圆的方程为经过仿射变换其对应图形为圆 .如图1： O OO B y （图1）在仿射变换下，所以对应，其中，令椭圆面积为，圆面积为，则 所以，因此所给的椭圆的面积为.例 求椭圆上两点，和中心的连线以及椭圆弧所围成的面积
15、。 解：如图2： o （图2）仿射变换把椭圆变成圆，相应的点分别变为。在 中，又因为 ，所以 圆中的扇形面积 .而 ，所以. 我们通过仿射变换不仅能够求出椭圆面积，也能求出椭圆的扇形面积，只要给出椭圆上的两点即可，椭圆的有关仿射性质的问题可以转化为圆的问题来解决，为解题或证明带来了极大的方便。三、射影变换（一）射影变换的定义二次曲线是射影几何的重要组成部分,二次曲线分为抛物线、双曲线和椭圆。在这里介绍二维射影变换的基本定理的一种证法和抛物线、双曲线和椭圆之间的互相转化问题。1.定义 两个平面间的一一对应，如果满足下列条件：（1）保持点和直线的结合性。（2）任何共线四点的交比等于其对应四点的交比
16、，则此一一对应叫做射影对应。（3）在（2）中如果两对应平面是重合的，则所建立的射影对应叫做该平面的射影变换。2.二维射影变换基本定理定理 设是平面上任意四点,其中任意三点不在同一直线上；是平面上其它任意四点,其中任意三点也不共线,那么存在一个而且只有一个射影变换,使。其中，为的转置矩阵,为的转置矩阵,为一定常数。而常数，由 和确定。证明：设为所求的二维射影变换，则有 （1） （2） （3） （4）（1），（2），（3）式可写成 （5）设关于的方程组： （6）因为点无三点共线，所以方程组（6）有唯一的一组解：.同理关于的方程组： （7）有唯一一组解：.由（4）式，（5）式，（6）式有 （8）（7
17、）式可改写为 （9）从而比较（8）式、（9）式，因矩阵非异，故可得：，从而代入（5）式，有 从而有公式：. （二）射影变换在数学中的应用例 求一射影变换,使椭圆变为双曲线.解：双曲线与无穷远直线的交点为. （图3）如图3所示：设对应，对应，对应，对应.若为所求的二维射影变换，根据基本定理有.其中为方程组的解.为方程组的解.解方程组 即 可得 .解方程组 即 可得 .设 所以 得二维射影变换式：，其中.检验：其逆变换为椭圆的方程可改写为把变换式代入得即 化为非齐次坐标为 .四、相似变换（一）相似变换的定义1.定义 如果存在可逆函数，使得函数和满足，则称和相似.注 一般地有两个函数，由于对任意的，
18、存在唯一的，使得，同时也存在唯一的，使得，所以确定了一个定义在上，以为自变量，为因变量的函数，记作或，称为由函数和经过复合运算得到的复合函数。2.定理 若和相似，即存在可逆函数使得，则的次迭代根为，其中 为的次迭代根。注 定义，则叫做关于的迭代指数。证明定理： 为的次迭代根 故为的次迭代根.注 由定理可知相似变换可以把求一个较复杂的函数迭代根转化为求一个较简单的函数迭代根的问题。（二）相似变换在求函数迭代根问题中的应用例 ，其中为实数，试寻求一个，使. 解： 取 则 的其中一个次迭代根为令则满足 .例 设，试寻求一个，使得.解：取，则. 的其中一个次迭代根为令 .例 已知，试寻求一个函数，使得
19、.解： 设，则 若 则 即 整理得到 从（3）式中可解得或.取，代入（1）、（2）有 于是（4）可化为，化得或.若取，代入（4）得，所以不可逆.故取，代入（4）得，取，则.所以 .因为的一个迭代根为，所以 .结束语 以上四种变换在数学中的应用非常广泛，深入了解其应用有利于对这几种数学变换的掌握，从而对于相关题目的解决提供简便方法，对于深入的研究还需要进一步的理论创新，不足指出，还望指正。参考文献：1王萼芳、石生明等编：高等代数，北京，高等教育出版社，2003.2高泽民编：正交变换在积分中的某些应用，福建，自然科学版，2005.3聂锡军编：正交变换在多元Taylor公式中的应用，丹东，1008-2174，2004.4华东师范大学数学系等编：数学分析，北京，高等教育出版版，2001.5梅向明等编：高等几何，北京，高等教育出版社，1998.6许光顺编：二维射影变换的基本定理及其应用，湖北，高等函授学报，2000.感想： 数学中的数学变换有很多种，本文对几种常见的数学变换正交变换、仿射变换、射影变换、相似变换的定义及其在数学中的应用做了总结。收集该文只是在映射中对应元素之间有对应关系，元素与元素之间的对应就涉及到变换，了解变换的应用就成了一项重要内容。23