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1、基于MATLAB的倒立摆控制系统仿真 基于MATLAB的倒立摆控制系统仿真摘 要自动控制原理（包括经典部分和现代部分）是电气信息工程学院学生的一门必修专业基础课，课程中的一些概念相对比较抽象，如系统的稳定性、可控性、收敛速度和抗干扰能力等。倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，它是一个理想的教学实验设备，许多抽象的控制概念都可以通过倒立摆直观地表现出来。本文以一级倒立摆为被控对象，用经典控制理论设计控制器（PID控制器）的设计方法和用现代控制理论设计控制器（极点配置）的设计方法，通过MATLAB仿真软件的方法来实现。关键词： 一级倒立摆 PID控制器
2、 极点配置Inverted pendulum controlling systemsimulation based on the MATLABABSTRACTAutomatic control theory (including classical parts and modern parts) is a compulsory specialized fundamental course of the students majored in electrical engineering. Some of the curriculum concept is relatively abstract
3、, such as the stability, controllability, convergence rate and the anti-interference ability of system. Inverted pendulum system is a typical nonlinear, strong coupling, multivariable and unstable system. It is an ideal teaching experimental equipment as a controlled object, by which many abstract c
4、ontrol concepts can be came out directly. This paper chose first-order inverted pendulum as the controlled object. First, the PID controller was designed with classical control theory. Then pole-assignment method was discussed with modern control theory. At last, the effectness of the two methods wa
5、s verified by MATLAB simulation software.KEY WORDS: First-order inverted pendulum PID controller pole-assignment30目 录摘 要IABSTRACTII1 绪论11.1 倒立摆的控制方法11.2 MATLAB/Simulink简介21.3 主要内容32 一级倒立摆32.1 实验设备简介33 直线一级倒立摆的数学模型43.1 直线一级倒立摆数学模型的推导43.1.1 微分方程模型63.1.2 传递函数模型73.1.3 状态空间数学模型83.2 系统阶跃响应分析104 直线一级倒立摆PID
6、控制器设计144.1 PID控制分析144.2 PID控制参数设定及MATLAB仿真175 直线一级倒立摆状态空间极点配置控制器设计205.1 状态空间分析215.2 极点配置及MATLAB仿真226 总结26致谢27参考文献291 绪论倒立摆起源于20世纪50年代，是一个典型的非线性、高阶次、多变量、强耦合、不稳定的动态系统，能有效地反映诸如稳定性、鲁棒性等许多控制中的关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。很多被控对象都可以抽象成为倒立摆模型，在很多领域有着广泛的应用，如机器人，航天领域等。它不但是验证现代控制理论方法的典型实验装置，而且其控制方法和思路对处理一般工业过程亦有广泛的用途。倒
7、立摆常规的控制算法如 LQR 在倒立摆的控制中已被广泛采用，模糊控制作为一种智能控制的方法，在一定程度上模仿了人的控制，它不需要有准确的控制对象模型，作为一种非线性智能控制方法，已在多变量、时变、非线性系统的控制中发挥了重要的作用。人们已利用多种控制策略实现了一至四级倒立摆系统的稳定控制。对于倒立摆系统的稳定控制，具有重要的理论意义和重要的工程实践意义。事实上,人们一直在试图寻找不同的控制方法来实现对倒立摆的控制,以便检查或说明该方法对严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力。 1.1 倒立摆的控制方法（1） 线性理论控制方法将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化
8、模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法，得到期望的控制器。PID 控制、状态反馈控制、LQR 控制算法是其典型代表。这类方法对于一、二级倒立摆（线性化误差较小、模型较简单）控制时，可以解决常规倒立摆的稳定控制问题。但对于像非线性较强、模型较复杂的多变量系统（三、四级以及多级倒立摆）线性系统设计方法的局限性就十分明显，这就要求采用更有效的方法来进行合理的设计。（2） 预测控制和变结构控制方法由于线性控制理论与倒立摆系统多变量、非线性之间的矛盾，使人们意识到针对多变量、非线性对象，采用具有非线性特性的多变量控制解决多变量、非线性的必由之路。人们先后开展了预测控制、变结构控制和自适应控制的研究。
9、（3） 智能控制方法在倒立摆系统中用到的智能控制方法主要有神经网络控制、模糊控制、仿人智能控制、拟人智能控制和云模型控制等。（4） 鲁棒控制方法虽然，目前对倒立摆系统的控制策略有如此之多，而且有许多控制策略都对倒立摆进行了稳定控制，但大多数都没考虑倒立摆系统本身的大量不确定因素和外界干扰，目前对不确定倒立摆系统的鲁棒控制问题进行了研究并取得了一系列成果。1.2 MATLAB/Simulink简介在科学研究和工程应用中，为了克服一般语言对大量的数学运算，尤其当涉及到矩阵运算时编制程序复杂、调试麻烦等困难，美国Math Works软件公司于1967年构思并开发了矩阵实验室（Matrix Labor
10、atory ,MATLAB）软件包。经过不断更新和扩充，该公司于1984年推出MATLAB的正式版，特别是1992年推出具有跨时代意义的MATLAB 4.0版，并于1993年推出其微机版，以配合当时日益流行的Microsoft Windows操作系统。截止到2005年，该公司先后推出了MATLAB 4.x、MATLAB 6.x，以及MATLAB 7.x等版本，该软件的应用范围越来越广。MATLAB以它的“语言”化的数值计算，强大的矩阵处理及绘图功能，以及灵活的可扩充性和产业化的开发思路，很快就为自动控制界的研究人员所瞩目。目前，在自动控制、图像处理、语言处理、信号分析、振动原理、优化设计、时序
11、分析和系统建模等领域广泛应用。1990年,Math Works软件公司为MATLAB提供了新的控制系统图形化模型输入与仿真工具Simulink。Simulink是MATLAB最重要的组件之一，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。在该环境中，无需大量书写程序，而只需要通过简单直观的鼠标操作，就可构造出复杂的系统。Simulink具有适应面广、结构和流程清晰及仿真精细、贴近实际、效率高、灵活等优点，并基于以上优点Simulink已被广泛应用于控制理论和数字信号处理的复杂仿真和设计。同时有大量的第三方软件和硬件可应用于或被要求应用于Simulink。 Simulink是MATLAB中的
12、一种可视化仿真工具，是一种基于MATLAB的框图设计环境，是实现动态系统建模、仿真和分析的一个软件包，被广泛应用于线性系统、非线性系统、数字控制及数字信号处理的建模和仿真中。Simulink可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率。为了创建动态系统模型，Simulink提供了一个建立模型方块图的图形用户接口(GUI) ，这个创建过程只需单击和拖动鼠标操作就能完成，它提供了一种更快捷、直接明了的方式，而且用户可以立即看到系统的仿真结果。Simulink®是用于动态系统和嵌入式系统的多领域仿真和基于模型的设计工
13、具。对各种时变系统，包括通讯、控制、信号处理、视频处理和图像处理系统，Simulink提供了交互式图形化环境和可定制模块库来对其进行设计、仿真、执行和测试。构架在Simulink基础之上的其他产品扩展了Simulink多领域建模功能，也提供了用于设计、执行、验证和确认任务的相应工具。Simulink与MATLAB®紧密集成，可以直接访问MATLAB大量的工具来进行算法研发、仿真的分析和可视化、批处理脚本的创建、建模环境的定制以及信号参数和测试数据的定义。另外，模型输入与仿真环境Simulink更使MATLAB为控制系统的仿真与在CAD中的应用开辟了崭新的局面，使MATLAB成为目前国际上
14、最流行的控制系统计算机辅助设计的软件工具。MATLAB不仅流行于控制界，在生物医学工程、语言处理、图像信号处理、雷达工程、信号分析，以及计算机技术等行业中也都广泛应用。1.3 主要内容本文以一级倒立摆为被控对象，用古典控制理论设计控制器（PID控制器）的设计方法和用现代控制理论设计控制器（极点配置）的设计方法，包括三方面的内容：（1）建立直线一级倒立摆的线性化数学模型；（2）倒立摆系统的PID控制器设计、MATLAB仿真；（3）倒立摆系统的状态空间极点配置控制器设计、MATLAB仿真。2 一级倒立摆2.1 实验设备简介一级倒立摆系统的结构示意图如图2-1所示。图2-1 一阶倒立摆结构示意图系统
15、组成框图如图2-2所示。图2-2 一级倒立摆系统组成框图系统是由计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分组成的闭环系统。光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈给运动控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车运动方向、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，通过皮带，带动小车运动，保持摆杆平衡。3 直线一级倒立摆的数学模型3.1 直线一级倒立摆数学模型的推导采用牛顿欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立
16、摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图 3-1 所示。图 3-1 直线一级倒立摆模型本系统内部各相关参数定义如下： 小车质量 摆杆质量 小车摩擦系数 摆杆转动轴心到杆质心的长度 摆杆惯量 加在小车上的力 小车位置 摆杆与垂直向上方向的夹角 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图3-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，和为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图，图示方向为矢量正方向。图 3-2 小车及摆杆受力分析应用Newton方法来建立系统的动力学方程过程如下：分析小车水平方向所受
17、的合力，可以得到以下方程： (3-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： (3-2) 即： (3-3)把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程： (3-4)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： (3-5) 即： (3-6)力矩平衡方程如下： (3-7)注意：此方程中力矩的方向，由于，因此等式前面有负号。合并这两个方程，约去和，得到第二个运动方程： (3-8)3.1.1 微分方程模型设，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角与1（单位是弧度）相比很小，即 时，则可以进行近似处理：，。为了与控制理论的表达习惯相统一，即一般表示控制量，用来
18、代表被控对象的输入力，线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式： (3-9)3.1.2 传递函数模型对方程组（2-9）进行拉普拉斯变换，得到: (3-10)注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度，求解方程组（3-10）的第一个方程，可以得到: (3-11)或 : (3-12)如果令，则有： (3-13)把上式代入方程组（3-10）的第二个方程，得到: (3-14)整理后得到以输入力为输入量，以摆杆摆角为输出量的传递函数： (3-15)其中: 3.1.3 状态空间数学模型由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式： (3-16)方程组(3-9)对解代数方程，得到
19、如下解： (3-17)整理后得到系统状态空间方程： (3-18)由(3-9)的第一个方程为：对于质量均匀分布的摆杆有：于是可以得到：化简得到： (3-19)设，则有： (3-20)实际系统参数如下： 小车质量 1.096 Kg 摆杆质量 0.109 Kg 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m 摆杆惯量 0.0034 kg*m*m把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函数： (3-21)摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： (3-22)摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： (3-23)以外界作用力作为输入的系统状态方程： (
20、3-24)以小车加速度作为输入的系统状态方程： (3-25)需要说明的是，在本文的控制器设计和程序中，采用的都是以小车的加速度作为系统的输入，如果需要采用力矩控制的方法，可以参考以上把外界作用力作为输入的各式。3.2 系统阶跃响应分析上面已经得到系统的状态方程，先对其进行阶跃响应分析，在MATLAB中键入以下命令：clear;A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;B=0 1 0 3;C=1 0 0 0;0 1 0 0;D=0 0;step(A,B,C,D);得到如下计算结果： 图 3-3 直线一级倒立摆单位阶跃响应仿真可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置
21、和摆杆角度都是发散的。倒立摆状态方程及开环阶跃响应也可以采用编写M文件的仿真，仿真程序如下：M = 1.906;m = 0.109;b = 0.1;I = 0.0034;g = 9.8;l = 0.25;p = I*(M+m)+M*m*l2;A = 0 1 0 0; 0 -(I+m*l2)*b/p (m2*g*l2)/p 0; 0 0 0 1; 0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0B = 0; (I+m*l2)/p; 0; m*l/pC = 1 0 0 0; 0 0 1 0D = 0; 0;T = 0:0.05:5;U = 0.2*ones(size(T);Y,X = ls
22、im(A,B,C,D,U,T);plot(T,Y);axis(0 2 0 100);grid;运行后得到如图的仿真结果：图 3-4 倒立摆状态方程及开环阶跃响应仿真结果倒立摆传递函数、开环极点及开环脉冲响应也可采用编写M文件的仿真，仿真程序如下：M = 1.906;m = 0.109;b = 0.1;I = 0.0034;g = 9.8;l = 0.25;q = (M+m)*(I+m*l2)-(m*l)2; num = m*l/q 0 0;den = 1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0;r,p,k = residue(num,den);s =
23、p ;t=0:0.005:5;impulse(num,den,t); axis(0 1 0 60);grid;运行后得到如图的仿真结果：图3-5倒立摆传递函数、开环极点及开环脉冲响应仿真结果4 直线一级倒立摆PID控制器设计4.1 PID控制分析在模拟控制系统中，控制器最常用的控制规律是PID控制。常规PID控制系统原理框图如图4-1所示。系统由模拟PID控制器KD(S)和被控对象G(S)组成。图4-1 常规PID控制系统图PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值与实际输出值构成控制偏差：将偏差的比例(P)、积分(I)和微分(D)通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称PID控制器。
24、其控制规律为：或写成传递函数的形式：式中：比例系数；积分时间常数；微分时间常数。在控制系统设计和仿真中，也将传递函数写成：式中：比例系数；积分系数；微分系数。简单说来，PID控制器各校正环节的作用如下：（1）比例环节：成比例地反映控制系统的偏差信号，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。（2）积分环节：主要用于消除稳态误差，提高系统的型别。积分作用的强弱取决于积分时间常数，越大，积分作用越弱，反之则越强。（3）微分环节：反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号值变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间。PID校正兼顾了系统稳态
25、性能和动态性能的改善，因此在要求较多的场合，较多采用PID校正。由于PID校正使系统在低频段相位后移，而在中频段相位前移，因此又称它为相位滞后-超前校正。这个控制问题和我们以前遇到的标准控制问题有些不同，在这里输出量为摆杆的位置，它的初始位置为垂直向上，我们给系统施加一个扰动，观察摆杆的响应。系统框图如图4-2所示。图4-2 直线一级倒立摆闭环系统图图中是控制器传递函数，是被控对象传递函数。考虑到输入，结构图可以很容易地变换成如图4-3的系统简化图。图4-3 直线一级倒立摆闭环系统简化图该系统的输出为：其中： 被控对象传递函数的分子项被控对象传递函数的分母项PID控制器传递函数的分子项PID控
26、制器传递函数的分母项通过分析上式就可以得到系统的各项性能。由式子(3-13)可以得到摆杆角度和小车加速度的传递函数：PID控制器的传递函数为：只需调节PID控制器的参数，就可以得到满意的控制效果。前面的讨论只考虑了摆杆角度，那么，在控制的过程中，小车位置如何变化呢？小车位置输出为：通过对控制量双重积分即可以得到小车位置。4.2 PID控制参数设定及MATLAB仿真对于PID控制参数，我们采用以下的方法进行设定。由实际系统的物理模型：在Simulink中建立如图4-4所示的直线一级倒立摆模型：图 4-4 直线一级倒立摆PID控制MATLAB仿真模型 先设置PID控制器为P控制器，令，得到图4-5
27、仿真结果。图 4-5 P控制仿真结果图（）从图4-5中可以看出，控制曲线不收敛，因此增大控制量，令，得到如图4-6仿真结果。图 4-6 P控制仿真结果图（）从图4-6中可以看出，闭环控制系统持续振荡，周期约为0.7s。为消除系统的振荡，增加微分控制参数，令：，得到图4-7仿真结果。 图4-7 PD控制仿真结果图（，）从图4-7中可以看出，系统稳定时间过长，大约为4 秒，且在两个振荡周期后才能稳定，因此再增加微分控制参数，令：，仿真得到图4-8仿真结果。图4-8 PD控制（，）从图4-8可以看出，系统在1.5秒后达到平衡，但是存在一定的稳态误差。为消除稳态误差，我们增加积分参数，令：，得到图4-
28、9仿真结果。图4-9 PID 控制（，）从上面仿真结果可以看出，系统可以较好的稳定，但由于积分因素的影响，稳定时间明显增大。双击“Scope1”，得到小车的位置输出曲线如图4-10所示。 图 4-10 PD控制（小车位置曲线）可以看出，由于PID控制器为单输入单输出系统，所以只能控制摆杆的角度，并不能控制小车的位置，所以小车会往一个方向运动。 5 直线一级倒立摆状态空间极点配置控制器设计经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出系统，现代控制理论将其概念扩展到多输入多输出系统。现代控制理论是一种“时域法”，它引入了“状态”的概念，用“状态变量”及“状态方程”描述系统，从而理论上解决了系统的可控性
29、、可观测性及许多复杂问题的控制问题。极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足瞬态和稳态性能指标。由经典控制理论可知，闭环系统性能与闭环极点密切相关，用调整开环增益及引入串并、联校正装置来配置闭环极点，以改善系统性能。但由于经典控制是用传递函数来描述的，它只能用输出量作为反馈量。而现代控制理论由于采用系统内部的状态变量来描述系统的物理特性，因而除了输出反馈外，还经常采用状态反馈，因为它能提供更多的校正信息和可供选择的自由度，因而使系统容易获得更为优异的性能。利用输出反馈的极点配置方法，虽然可以实现闭环传递函数的极点配置，却可能出现不稳定极点的对
30、消现象。当采用状态空间表达式来描述系统时，由于状态向量反映系统的所有内外部信息，如果控制器采用状态向量反馈实现系统的极点配置，就可以避免上述问题，而且控制器是常数矩阵。状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后又反馈到输入端与参考输入相减形成控制规律，作为受控系统的控制输入。极点配置是通过选择一个状态反馈矩阵，使闭环系统的极点处于期望的位置上。在状态空间中，极点任意配置的充分必要条件是系统必须是完全状态可控的。极点配置方法如下所述：如果系统是完全可控的，那么可选择期望设置的极点，然后以这些极点作为闭环极点来设计系统，利用状态观测器反馈全部或部分状态变量，使所有的闭环极点落在各期望
31、位置上，以满足系统的性能要求。这种设置期望闭环极点的方法就称为极点配置法。5.1 状态空间分析状态反馈闭环控制系统原理图如图5-1所示。图5-1 状态反馈闭环控制原理图状态方程为：式中：为状态向量（维），为控制向量（纯量），为维常数矩阵，为维常数矩阵。选择控制信号：求解上式，得到闭环系统极点为A-BK的特征值。控制系统的任务，就是选择状态反馈向量K使闭环系统极点配置在要求位置，或者为实数，或者实部为负的共轭复数。方程解为：可以看出，如果系统状态完全可控，选择适当，对于任意的初始状态，当趋于无穷时，都可以使趋于0。极点配置的设计步骤：(1) 检验系统的可控性条件。(2) 从矩阵的特征多项式来确定
32、的值。(3) 确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵：其中为可控性矩阵，(4) 利用所期望的特征值，写出期望的多项式并确定的值。(5) 需要的状态反馈增益矩阵由以下方程确定：5.2 极点配置及MATLAB仿真前面我们已经得到了直线一级倒立摆的状态空间模型，以小车加速度作为输入的系统状态方程为：于是有：，对于如上所述的系统，设计控制器，要求系统具有较短的调整时间（约3秒）和合适的阻尼（阻尼比）。极点配置步骤如下：(1) 检验系统可控性经计算，矩阵M的逆存在，即rank M=4，故系统可控。(2) 计算特征值根据要求，并留有一定的裕量（设调整时间为2秒），我们选取期望的闭环极点，其中：其中，是一对
33、具有的主导闭环极点，位于主导闭环极点左边，因此其影响较小，因此期望的特征方程为：因此可以得到：由系统的特征方程：因此有：系统的反馈增益矩阵为：(3) 确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵：式中：于是可以得到：(4) 状态反馈增益矩阵为：得到控制量为：在MATLAB的Simulink环境下，可以搭建如图5-2所示的状态反馈控制系统仿真模型。 图5-2直线一级倒立摆状态反馈控制MATLAB 仿真模型在模块中设置A、B、C、D的值，如图5-3所示。图5-3 A、B、C、D 参数设置依次打开Gain、Gain1、Gain2、Gain3模块设置K1、K2、K3、K4的值。运行仿真，得到结果见图5-4。
34、图5-4 直线一级倒立摆状态空间极点配置MATLAB/Simulink仿真结果6 总结直线一级倒立摆系统的设计，使我掌握了用Matlab/simulink来进行系统设计仿真的方法，并体会到了用Matlab/simulink进行控制器设计的方便与快捷。此外对于控制系统的设计有了初步的认识，对自动控制理论的相关知识有了更深入的理解，学会一般系统的建模方法和控制器设计方法。在PID参数整定时通过仿真可以很好的观察到PID控制器参数变化对系统的影响，对比例，积分，微分对控制系统的作用有了更直观的认识，学会了PID参数的整定方法,并学会用状态空间极点配置法设计直线倒立摆系统的控制器。致谢参考文献1薛定宇
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