《毕业论文概率论中有关独立性的研究.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《毕业论文概率论中有关独立性的研究.doc（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁
2、螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅
3、肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿
4、袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆
5、肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀
6、羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅
7、螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿
8、肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃
9、袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇
10、聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄
11、羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿
12、螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃
13、羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇
14、袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁
15、肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆
16、羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀
17、膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁 摘 要概率论是研究随机性或不确定性等现象的学科，而独立性的研究是其中重要内容之一，由于实际需要，对概率论中独立性的研究也较为重要，并且独立性对解决一些实际问题具有理论意义。论文关于独立性的研究做了如下
18、分析：首先，另外，研究了随机变量独立性的概念，性质以及判定方法，也都给出了实例加以论证。关键词: 随机事件；随机变量；独立性 Abstract Probability theory is the subject of studying randomness or uncertainty phenomenon such as discipline, and the study of independence is one of its important contents. Due to the actual need, it is very important to study the the
19、ory of probability, besides, the study of independence has theoretical significance to solve some practical problems.This thesis has done the following analysis on the research of independence:First of all, this paper has studies the concept of the independence of random event, the independence of t
20、wo or more events , the independence of event , the relationship of incompatibility and the mutual exclusion as well as the application in the life, and these are analyzed through examples.Besides, this paper has studied the concept, the properties and methods of independent random variabilities, an
21、d also demonstrating them by examples.Key words: Random events; A random variability; Independence 目 录 引 言. 21 随机事件的独立性. 31.1事件独立性的概念. 31.1.1 两个随机事件的独立性. 31.1.2 多个事件的独立性. 41.1.3 事件独立与互不相容的区别与联系. 61.2 随机事件的独立性的应用 . 81.2.1 用于判别两个事件是否独立. 81.2.2 用于分析系统的可靠性. 82 随机变量的独立性. 102.1 随机变量独立性的概念 . 102.2 随机变量独立性的
22、性质 . 112.2.1 随机变量独立性没有传递性. 112.2.2 f(x)与g(y)独立而X与Y不独立 . 122.3 随机变量相互独立的判定 . 13总 结. 19参考文献. 20致 谢. 21 1 引 言概率论的研究对生产生活都有着密不可分的联系，在概率论的研究中，研究随机现象的独立性，尤其显得重要。对于现有的知识水平，掌握好这个问题，对于培养抽象概括能力、逻辑推广能力、空间想象能力和自学能力，以及研究这个课题在实际中的应用价值的体现，都有很大的帮助。对于独立性的理解和判定正确与否直接关系到建模解题全过程。事件的独立性和随机变量的独立性在概率计算的简化和证明中有广泛的应用。有不少学者对
23、概率论中的独立性进行了研究。在文献1中胡乔林研究了概率论中有关独立性的问题。在文献2中吴俊给出了关于随机事件独立性的若干性质。在文献3中尹传存，吕玉华，李福山分析了随机变量独立性的一些结果。在文献5-6中尤芳等人引入了随机变量独立性的若干判定方法及运用。基于对独立性的研究，2 1 随机事件的独立性1.1 事件独立性的概念1.1.1 两个随机事件的独立性定义1 对于事件A和B，若P(AB)=P(A)P(B)就称事件A和B是相互独立的，简称A和B独立。注意:(1)A与B是互不相容事件是指A与B不可能同时发生； (2)A与B相互独立指A发生与B发生互不相关； (3)由上述定义可知必然事件及不可能事件
24、与任何事件都相互独立，定义1中允许P(A)=0或P(B)=0；(4)若A与B相互独立，那么容易推出P(AB)=0。 证：由条件概率的定义及公式P(AB)=P(A)P(B)知: P(AB)=P(AB)P(A)P(B)=P(A) P(B)P(B)我们知道，若A与B相互独立，由A关于B的条件概率等于无条件概率，即两事件A与B独立的实际意义应是事件B发生对事件A发生的概率没有影响，更准确地讲，两事件A与B独立的实际意义为：其中任一事件发生与否对另一事件的概率没有任何影响，这就是下述所谓的独立扩张定理： 定理1 若事件A与B相互独立，则三对事件(A,B)，(A,B)，(A,B)，分别也是相互独立的。证：
25、由于AB=A-AB，且AB包含于A，故P(AB)=P(A)-P(AB)，因A与B相互独立，有 P(AB)=P(A)-P(AB)从而 P(AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B)=P(A)P(B) A与B相互独立，由A与B的对称性可得A与B也相互独立，把证得结果应用于(A,B)，可见(A,B)也相互独立。3 1.1.2 多个事件的独立性 前面我们学习了两个事件的独立性的概念、定理，由此我们可以给出三个事件的独立性的概念。三个事件的独立性的定义：若A、B、C是随机事件E中的三个事件，满足下列条件：(1) P(AB)=P(A)P(B)； (2) P(BC)=P
26、(B)P(C)；(3)P(AC)=P(A)P(C)； (4)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。则称A、B、C为相互独立的事件。(2)、(3)，则称它们为两两相互独立的事件。 若A、B、C只满足上述(1)、例1 袋中装有四个大小相同的球，其中红球蓝球黄球各一个，另一个是涂有红蓝、黄三种颜色的球。解：设A=“任取一球其上涂有红色”；B=“任取一球其上涂有蓝色”；C=“任取一球其上涂有黄色”。则P(A)=1/2，P(B)=1/2，P(C)=1/2P(AB)=1/4，P(AC)=1/4，P(BC)=1/4，P(ABC)=1/4 显然P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(
27、AC)=P(A)P(C) 但是P(ABC)P(A)P(B)P(C)由此说明：事件A、B、C是两两相互独立的，但三个事件不是相互独立的。(2)、(3)不能推出(4)。利用两个事件的即定义中的4个条件缺一不可，由满足(1)、独立性中的结论，可以推广得到：设A、B、C是随机试验E的三个相互独立的事件，把其中任一个事件换为其对立事件，亦相互独立。他们的关系如图1所示 4 图1例2 一个人看管三台机床，设在任一时刻这三台机床正常工作(即不需人照看)的概率分别为0.9、0.8、0.85，求在任一时刻(1)三台机床都正常工作的概率；(2)三台机床中至少有一台正常工作的概率。解：显然，三台机床工作正常与否是相
28、互独立的。设Ai表示“第i台机床工作正常”(i=1, 2,3),则P(A1)=0.9，P(A2)=0.8，P(A3)=0.85。(1)三台机床都正常工作即A1、A2、A3同时发生的概率P(A1A2A3)而A1、A2、A3是三个相互独立的事件。5 正确理解事件独立性这概念还必须明了对下述概念的区别：事件独立与互不相容的区别与联系。1.1.3 事件独立与互不相容的区别与联系两个事件相互独立与互不相容的区别与联系：相互独立与互不相容是两个不同的概念。两事件互不相容是指两事件不能同时发生，即AB=F，分析：互不相容描述的是两事件之间的关系，由AB=F可得 P(AB)=P(A)P(BA)=P(B)P(A
29、B)=0如P(A)0，则P(BA)=0。反之，如P(A)0，且P(BA)=0，则P(AB)=0，在古典概型(即样本点有限) 下有AB=F，即A与B互不相容。如P(A)0，且P(BA)0，则A与B两事件必能同时发生，因而A与B必然不会互不相容，相互独立与互不相容是两个不同的概念，但它们之间有关系。 例3 证明若P(A)0，P(B)0则有(1)当A与B两事件独立时，ABF，即A与B相容；(2)当AB=F，即A与B互不相容时，A与B不独立。证：(1)因A与B两事件相互独立，且P(A)0，P(B)0。可得P(AB)=P(A)P(B)0故AB=F，即A与B相容。(2)因AB=F，故P(AB)=P(F)=
30、0，而P(A)，P(B)均为正数，故P(A)P(B)也为正数，于是P(AB)P(A)P(B)，即A与B不相互独立。由上例得到“互不相容”与“独立”之间的关系。结论：(1)当A与B发生的概率都非零(大于0)时，如果A与B相互独立，则A与B必不互不相容(即相容)；(2)若A与B互不相容，则A与B必不相互独立；(3) 两个事件互不相容只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生一个， 但可以都不发生，两两事件对立则表示它们有且仅有一个发生；值得说明 6 的是，在实际问题中，判断两事件A与B的独立性通常是根据它们的实际意义看彼此是否有影响来进行判断的。注意以上结论是在P(A)0，且P(B)0的条件下得
31、到的，如果这些条件不满足，所得的结论就不同了。如果A与B互不相容，且A=F(P(A)=0,P(B)=0)时，可知A与任何事件都独立，当然A与B也相互独立，这时两事件A与B相互独立，且互不相容。 例4 在一正方形平板上均匀地投掷豆子，记事件A=豆子落在左半边区域，B=豆子落在上半边区域，则AB=豆子落在左上1/4平板上，显然有 P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，所以有P(AB)=P(A)P(B)，即两事件独立，但是AB=F，也就是两事件并不互斥。如果定义A=豆子落在左半边1/4区域，则P(A)=1/4，P(B)=1/2，P(AB)=1/8 仍然有P(AB)=P(A)P(B)的两事件
32、独立的关系。这说明两事件其中一个事件的概率发生改变时，两事件仍有可能是独立的。定理1 若A与B相互独立，则A与B,A与B，A与B也相互独立。 例5 有两道单选题，记A1=第1道题答对，A2=第2道题答对，两事件是独立事件，在两道题都不会的情况下乱猜答案，问只答对1道题的概率。 解：第1道题选对第2道题选错的概率 P(A1A2)=P(A1)P(A2)=1/43/4=3/16 同样，第1道题选错第2道题选对的概率 P(A1A2)=3/16所以最终只答对1道题的概率是3/8。例6 已知一批种子的出苗率为0.9，现每穴种甲，乙两粒。问一粒出苗一粒不出苗的概率是多少？解：设A=“甲种子出苗”，B=“乙种
33、子出苗”，C=“一粒出苗另一粒不出苗”，则C=ABAB且AB与AB互不相容。由题意知A与B是相互独立的。所以A与B，A与B也是独立的，因此所求概率为： P(C)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.9(1-0.9)+(1-0.9)0.9=0.187 1.2 随机事件的独立性的应用在实际生产和生活的各领域，人们在应用概率论的过程中，通常约定俗成地假定独立性条件满足，即使系统中的各个环节看上去有明显的相依性，也近似地假定它们是独立运行的，这样做的根本原因是由于独立性的假设可以大大简化有关概率的计算。1.2.1 用于判别两个事件是否独立在实际应用过程中，我们通常不能用定义
34、来判断两事件是否独立，而是用试验的方式来判断的，或者用直观上的性质来看一个事件的发生是否会影响另一事件发生的概率来判断。例7 在袋中有白球和黑球各6个，在又放回的摸球的试验中，设第一次摸到白球为事件A1，第二次摸到黑球为事件A2，显然A1只与第一次试验相关，A2只与第二次试验相关。A1是否发生不影响事件A2发生的概率，即P(A2)=P(A2A1)，从而事件A1与事件A2相互独立。1.2.2 用于分析系统的可靠性多个独立事件并和交的运算法则，在实际生活中可以将该性质用于生产中的系统可靠性分析，从而可以大大简化运算。例8 系统正常工作的概率称作该系统的可靠性，假定系统的各部件是否正常工作相互独立，
35、第i(i=1,2,L,n)个部件正常工作的概率为Pi，由事件独立性可得，将n个部件串联组成的系统的可靠性可表示为R1=Pn，而这n个部件并1，P2P1-P2)(1-Pn)，下面介绍几个比较复杂的系联的系统可靠性为R2=1-(1-P1)(统：如图2所示 图28 以上四个图中，已标号的部件正常工作的概率均为P，且各个部件是否正常工作相互独立，分别计算上述四个系统正常工作的概率Ra，Rb，Rc，Rd。解：在图(1)中串联部件1至n正常工作的概率为Pn，同理串联部件1*至n*正常工作的概率为Pn，从而系统(1)正常工作的概率为：Ra=1-(1-Pn)2在图(2)中并联部件i与i*(i=1,2,3,Ln
36、)正常工作的概率为： 1-(1-P)2=P(2-P) 将这n个并联电路再串联得系统正常工作的概率为： Rb=Pn(2-P)n 在图(3)中由部件2，3组成的串联电路正常工作的概率为P2，2，3与4组成的并联电路正常工作的概率为：1-(1-P2)(1-P) 将该子并联电路与部件1串联后正常工作的概率为： 1-1-(1-P2)(1-P)P 而部件5与6串联电路正常工作的概率为P2，从而系统正常工作的概率为： Rc=1-1-P(1-(1-P2)(1-P)(1-P2)=2P2+P3-2P4-P5+P6 在图(4)中所示的电路图中，系统正常工作的概率可分两种情况进行讨论，即部件5正常工作与部件5不能正常
37、工作。1、部件5正常工作为事件A5，系统正常工作为事件R，则由Bayes公式，系统正常工作的概率 R5=P(RA5)P(A5)+P(RA5)P(A5) 当部件5正常工作时，相当于图(2)中n=2的情形，易得，系统正常工作的概率 P(RA5)=P2(2-P)当部件5不能正常工作时，相当于图(1)中n=2的情形，易得，系统正常2、工作的概率 P(RA5)=P2(2-P)2。 综上，系统正常工作的概率9 R5=P(RA5)P(A5)+P(RA5)P(A5)=PP2(2-P)2+(1-P)P2(2-P2)=2P2+3P3-5P4+2P5由此可见，随机事件的独立在实际概率计算中的广泛用途。2 随机变量的
38、独立性2.1 随机变量独立性的概念随机变量的独立性概念是概率论中的重要概念之一。设X及Y为离散随机变量，如果对于他们任意一对可能值xi及yi，事件X=xi与Y=yi是独立的，则称随机变量X与Y是独立的。按独立事件的概率乘法定理，对于独立离散随机变量X及Y，我们有p(xi,yi)=pX(xi)pY(yi) (1) 其中i=1,2,L,m,L;j=1,2,L,n,L。这就是说，独立离散随机变量的联合概率函数等于他们的边缘概率函数的乘积。设X及Y为连续随机变量，如果对于任意一对数值x及y，事件Xx与Yy是独立的，则称随机变量X与Y是独立的。于是，由分布函数的定义，对于独立连续随机变量X及Y就有F(x
39、,y)=FX(x)FY(y) (2) 这就是说，独立连续随机变量的联合分布函数等于它们的边缘分布的乘积。 在式(1)的两边分别对x及y各微分一次，即得f(x,y)=fX(x)fY(y) (3)这个结果表明，独立连续随机变量的联合概率密度等于它们的边缘概率密度的乘积。显然，由式(3)也不难推出式(2)。例9 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为：2e-(x+2y),x0，y0 f(x,y)=0,其他随机变量X与Y是否独立？解：为了判定随机变量X与Y的独立性，应当先求出它们的边缘概率密度。 当x0时，显然有fX(x)=0；当x0时，有10 + fX(x)=2e-(x+2y)dy=2e-x-e
40、-2ydy=2e-x1=e-x 2由此得X的边缘概率密度为：e-x,x0 fX(x)= 0,x0同理可以求得Y的边缘密度为：2e-2y,y0 fY(y)= 0,y0由上面得到的结果易知f(x,y)=fX(x)fY(y)所以随机变量X与Y是独立的。最后，我们指出，在实际问题中，判断随机变量的独立性很少借助于式(1)或(3)来验证，通常是根据经验的直观想法进行判断。2.2 随机变量独立性的性质2.2.1 随机变量独立性没有传递性命题1 X，Y，Z是三个随机变量，由X与Y独立和Y与Z独立不能推出X与Z独立，即随机变量的独立性没有传递性。例10 设(X,Y,Z)的联合密度函数为：(x-1-2121-r
41、2ee f(x,y,z)=22p2p-ry212-2rxz+z2),r0则(X,Y)的联合密度函数为：12(1-r)1f(X,Y)(x,y)=e2p-y22+12p-r2-(x2-2rxz+z2)-1-21-2dz=ee 2p2px2y2由此可知，X与Y相互独立，并且都服从标准正态分布。同样可证Y与Z相互独立，并且都服从标准正态分布，但是X与Z不相互独立。事实上 f(X,Z)(x,z)=f(x,y,z)dy -+11 121-r2 =12p-r12p-r2-2(x2-2pxz+z2)e12p+-ey22dy =2e-1x2-2pxz+z221-r() X与Z均为标准正态分布，他们的密度函数分别
42、为： 1-x21-z2 fX(x)=e,fZ(z)=e p2p所以对一切x，zf(X,Z)(x,z)fX(x)fZ(z) 故X与Z不互相独立。 22.2.2 f(x)与g(y)独立而X与Y不独立命题2 设X与Y是两个随机变量，f(x)和g(y)为一元函数。 若f(x)与g(y)相互独立，则X与Y不一定相互独立。 例11 设(X,Y)的联合密度函数为： 1+m(x)n(y),xa,ya f(x,y)= 4a20,其他其中a0为常数，m(x)和n(y)都是-a,a上的连续奇函数，且0a0,ya 由于m(x)和n(y)均不等于零，所以当xa，ya时，f(x,y)fX(x)fY(y)。故X与Y不相互独立。但是，不难证明X2与Y2是相互独立的。下面就来证明这一结论：容易求出(X2,Y2)的联合分布函数为： 12 0,x0或y01xy,0xa2,0ya2a21 F(X2,Y2)(x,y)=2x,0a2 a122y,0aa2221,xa,ya而X2与Y2的联合分布函数分别为： 0,x00,y011 FX2(x)=x,0xa2,FY2(y)=y,0ya1,ya所以F(X2,Y2)(x,y)=FX2(x)FY2(y)故X2与Y2是相互独立的。2.3 随机变量相互独立的判定判别法之一：定义法用随机变量独立性的定义判别，是对一系列随机事件的独立性做出判定，进而断定随机变量的独立性。判别法之二：分布函