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1、齐齐哈尔大学毕业设计（论文）摘 要条件极值问题是一个非常普通的数学问题，它不仅在理论上有重要的作用，而且在其他学科及有关实际问题中有着广泛的应用.本文首先介绍了极值的相关理论；然后对求解条件极值的方法做了详细的归纳与总结，从中得到不同的条件极值问题可以有不同的求解方法，如有些问题可以通过变形转化为均值不等式或柯西不等式的形式进行求解. 对于二元二次函数的条件极值问题，有时可以借助二次曲线的图像进行求解. 而在求多个限制条件下的极值问题时，一般考虑用拉格朗日乘数法和梯度法；最后通过一些实例研究了条件极值在物理学、不等式证明、渠道设计及最优销售方案等实际问题中的应用.关键词：条件极值；拉格朗日乘数
2、法；梯度法AbstractConditional extremum problem is a very common Mathematical problems, it not only plays an important role in theory, but also has a wide application in other subjects and the related regions. In this paper, we first introduce the related theory of extremum. Then we give a detailed induct
3、ion and summary which is the metheds of solving conditional extremum, for different conditional extremum problems can have different solving. Such as some problems can be solved through transformation of Mean Value Inequality or Cauchy Inequality. Sometimes conditional extremum problems of binary qu
4、adratic function is solved depending on image of quadratic carve. We generally used Lagrangian Multipliers and Gradient Method to solve extremum problems of multiple constraints. Finally we study the applications of conditional extremum in physics, inequality proof, channel design and optimal sale p
5、lan and other practical problems through examples.Key words: Conditional extremum; Lagrangian Multipliers; Gradient Method 不要删除行尾的分节符，此行不会被打印- II -目 录摘要IAbstractII绪论1第1章 基础知识21.1 隐函数的概念21.2 隐函数定理21.3 极值31.3.1 无条件极值31.3.2 条件极值4第2章 条件极值的解法52.1 拉格朗日乘数法52.2 不等式法102.2.1 均值不等式102.2.2 柯西不等式112.3 梯度法132.4 三
6、角函数法152.5 对称函数法162.6 数形结合法172.7 比较法17第3章 条件极值的应用203.1 在物理学中的应用203.2 在不等式证明中的应用213.3 在渠道设计中的应用213.4 在生产销售中的应用223.4.1 生产成本最小化方案233.4.2 利润最大化方案23结论26参考文献27致谢28千万不要删除行尾的分节符，此行不会被打印。在目录上点右键“更新域”，然后“更新整个目录”。打印前，不要忘记把上面“Abstract”这一行后加一空行绪 论条件极值问题是一类应用较强的问题，现实生活中诸多问题均可转化为条件极值问题进行研究. 拉格朗日乘数法是解决条件极值问题的一种重要方法，
7、对拉格朗日乘数法的研究可以为相关理论应用到集值分析、优化等领域奠定理论基础. 另一方面，对条件极值问题解法的研究为我们运用数学知识解决实际问题（如工农业生产、经济管理）提供了理论依据与工具，使许多实际问题找到一个最优的解决方案. 同时对解法适用情形的分析可以提高我们解决实际问题的效率. 由此可见，条件极值问题的研究具有极高的理论与应用价值，同时对数学和其它学科的发展也起着至关重要的作用.国内外，有许多学者在研究条件极值，取得了丰硕的成果. 在国内，2000年，王延源1阐述了解决条件极值问题的几种有效方法. 2003年，查中伟2介绍了在生产中利用条件极值理论的经济意义. 2009年，侯亚红3通过
8、例题详细介绍了判定多元函数条件极值的几种方法. 2010年，赵德勤、殷明4讨论了如何用构建函数条件极值的方法证明不等式. 2011年，孙海元、孙永妃5结合具体实例介绍了几种特殊的求解条件极值问题的方法，并给出了各方法的适用范围.在国外，2000年，E.M.Safro6介绍了条件极值理论在最优化方面的相关应用. 2007年，Karamzin与D.Yu7讨论了条件极值的必要条件在优化领域中的应用. 2008年，Tikhomirov8简单地叙述了解决条件极值问题的几种常见方法. 2011年，V.A.Samgin9阐述了如何求解在一定条件下的极值问题.本文主要研究条件极值及其应用. 第一章对条件极值的
9、理论作简单的介绍，为下文奠定理论基础. 第二章重点对条件极值的解法进行探讨，本部分将结合具体实例，采用由易到难，归纳总结的方法. 针对不同问题的特点给出求不同类型条件极值问题的常用方法，如拉格朗日乘数法、不等式法、梯度法、三角函数法、对称函数法、数形结合法. 并通过对方法的比较研究，总结各方法的优缺点与适用范围. 第三章主要阐述如何应用函数的条件极值理论解决一些实际问题，分别介绍条件极值在数学、物理学等学科中的应用，及在优化方面的实际应用.第1章 基础知识1.1 隐函数的概念隐函数是表示函数变量间对应关系的一种方法，它与我们平时接触的函数有所区别，也就是对应关系不明显地隐含在方程中. 由于隐函
10、数在条件极值问题中占有非常重要的地位，因此，这一节将简略地介绍隐函数的相关概念.定义1.110 设有两个非空数集与. 若，由二元方程对应唯一一个，则称此对应关系（或写成）是二元方程确定的隐函数.例如，二元方程在上确定一个隐函数.类似地将二元方程所确定的隐函数推广到含个变量的方程中.若存在点的邻域，通过上面的方程存在唯一一个与之对应，假设，则有就可称元函数是由方程确定的隐函数.1.2 隐函数定理在上一节中介绍了隐函数的概念，那么给定一个方程，满足什么条件时，此方程才存在隐函数呢？在本节我们将继续讨论隐函数的存在性.定理1.111 若二元函数在以点为心的矩形区域（边界平行坐标轴）满足下列条件：1)
11、 与在连续(从而在连续)，2) ，3) ，则 ) 与，存在唯一一个(隐函数)，使，且) 在区间连续.) 在区间有连续导数，且其中，我们用、表示关于、的偏导数，也可简记为、.类似地，我们可以推出由方程所确定的含有个自变量的隐函数.定理1.211 若函数在以点为心的矩形区域满足下列条件：) ,在连续(从而在连续)，) ，) ，则存在点的邻域，在内存在唯一一个有连续偏导数的元(隐)函数，使且 1.3 极值极值的概念源自于日常生活中的最值问题，可根据自变量是否受到其它条件的限制，把条件极值问题分为无条件极值与条件极值两类. 本节我们将分别介绍无条件极值与条件极值的基础知识.1.3.1 无条件极值定义1
12、.212 设元数值函数在点邻域有定义. 如果存在，使得, 那么我们就说函数在点取得极小值(极大值). 极小值和极大值统称极值.1.3.2 条件极值然而在计算函数的极值时，所求函数的自变量往往要受到一些条件的限制. 如求曲面与原点的距离时，就可转化为求函数的最小值，而其中的自变量、并不是独立存在的，要满足这一条件，这种问题称为条件极值问题.定义1.313 实值函数在满足以下函数方程组 (1-1)的极值称为条件极值. 式(1-1)称为函数的约束条件，函数常称为约束条件下极值问题的目标函数.第2章 条件极值的解法条件极值的求解方法有很多种，本章采用结合具体例子的方法，归纳总结出几种求解条件极值的方法
13、，如拉格朗日乘数法、不等式法、梯度法、三角函数法、对称函数法、数形结合法. 并比较得出各方法的难易程度、适用条件以及注意事项.2.1 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求解条件极值问题时常用的方法. 我们先从最简形式的二元函数说起，即求目标函数在约束条件下取得极值，如果目标函数在取到极值，那么就应该满足. 若、在的某领域内都有一阶连续偏导数，且，根据满足隐函数存在的条件,可设由方程所确定的隐函数是，则点成为函数的极限点，因此有根据隐函数的求导公式可得则有即，故由此可见，向量与向量正交，而向量与向量也正交，可得向量与向量相性相关，故可知存在实数，使得即 由以上的讨论我们可以得出，函数在约束条件下的条
14、件极值点是以下方程组的解.由上述讨论产生一个重要的思想：通过引入辅助函数的方法，把条件极值的相关问题转化为关于所构建函数的一般极值问题.对目标函数和约束函数，我们可以引入辅助函数上述函数称为拉格朗日函数，称为拉格朗日乘数.定理2.114 设，在以点为内点的区域内连续可微，是满足条件且使函数取得极值的点，若矩阵的秩为，则存在个常数，可使是拉格朗日函数的稳定点，则为以下个方程组的解 (2-1)以上求解条件极值的方法称为拉格朗日乘数法，用它求解条件极值问题的一般步骤是：1) 根据上述拉格朗日乘数法，构建辅助函数2) 求辅助函数的稳定点，即方程(2-1)的解. 设解是，在求解的过程中可以消去，从而求得
15、满足方程组的稳定点.3) 根据问题的实际意义，如果条件极值存在，且方程组只有唯一的一个稳定点，则该点一定是函数的极值点.例2.1抛物面被平面截得一椭圆，求该椭圆上的点与坐标原点的最短和最长距离.解 本问题实际为求函数在约束条件，下的最值问题.根据拉格朗日乘数法，构建函数其中、为参数，令函数的每个一阶导数均为. 即前两个方程作差，可求得，那么或. 如果，则可知，不满足方程组. 所以，把代入方程组中，得解出两个稳定点为和. 根据本题的实际意义可知，必存在最短距离与最长距离，所以上述两点即为所求的极值点，从而求得距离函数的最小值和最大值.在应用拉格朗日乘数法求解条件极值时应注意，拉格朗日乘数法只是取
16、得条件极值的必要条件. 上述问题是在利用拉格朗日乘数法求出稳定点后，根据问题的实际意义来判断所求的稳定点是否为极值点. 那么在求解没有赋予实际意义的函数的条件极值时，应该如何来判断稳定点的极值性，是一个需要解决的问题. 下面就来给出证明条件极值的一个充分条件，方便我们快速、有效地处理在做题过程中所遇到的各种问题.定理2.215 设与，都在的某邻域内有二阶连续偏导数，记，如果) 是方程组的解；) 函数关于在处的Hessian矩阵为其中，则有：(1) 当正定时，为条件极小值；(2) 当负定时，为条件极大值；(3) 当不定时，非极值.证明 ，根据多元函数的泰勒公式可知 (2-2)由)可知，因此可以得
17、到，然后，把(2-2)化为： (2-3)如果满足方程，根据)可知把(2-3)化为： (2-4)因为函数、在均存在二阶连续偏导数，所以函数在内连续.(1) 当正定时，有恒成立，根据连续函数的性质，知的某邻域，使得在满足且的条件下，有恒成立. 对于满足约束方程的任意一点，根据(2-4)可得所以. 根据条件极值的定义，得出为的极小值.(2) 当负定时，同理可证.(3) 当不定时，即为不定，所以在的某邻域内内的符号不能确定，即的符号不能确定，因此不是极值. 证毕.根据条件极值的必要条件与充分条件，可总结下列求解条件极值的步骤：1) 求拉格朗日函数的稳定点；2) 构建函数，求出在处的矩阵；3) 利用定理
18、2.2判断函数的极值，当为半定时，采用其它方法.例2.2 求函数在约束条件下的极值.解 构建拉格朗日函数令 解得两个稳定点，的矩阵为因为是负定的，所以为条件极大值点，且最大值为；是正定的，所以为条件极小值点，且最小值为；2.2 不等式法不等式的应用非常广泛，灵活运用不等式的相关知识，可以解决一些比较困难的问题. 下面就均值不等式、柯西不等式来说明它在条件极值问题中的应用.2.2.1 均值不等式定理2.316 设是个正数，我们把和分别叫做这个正数的算术平均值和几何平均值，分别记为，. 对于上述个正数，有，当且仅当时，等号成立.这个不等式称为均值不等式.证明 证明均值不等式的方法有很多种，下面我们
19、以逐次调整法来加以说明.中一定存在最小值与最大值，那么设、分别为个正数中的最小值与最大值. 易得，用，取代，. 可以发现不变，但增大，也就是对于每个，最多进行次有限次的代换. 即故，当且仅当时，等号成立. 证毕.在利用均值不等式求解函数的条件极值时，有时需要把函数进行变形，然后再利用“和定”求积的极大值或“积定”求和的极小值来求解. 也就是要满足条件“一正二定三相等”.例2.3 已知，求的极小值.解 因为，所以当且仅当，等号成立，所以的最小值为.2.2.2 柯西不等式数学家柯西在研究“流数”问题时，得到了非常重要的柯西不等式，它对一些函数的最值、极值问题有更简便的解决方法. 定理2.417 如
20、果，为两组实数，则当且仅当(常数)时，等号成立，这个不等式称为柯西不等式.可以简述为“方和积不小于积和方”.证明 采用数学归纳法证明当时，结论显然成立.当时，当且仅当时等号成立.假设当时，等式成立，即，当且仅当等号成立，这里.因此，当时， 当且仅当，时，等号成立. 即定理2.4成立. 证毕.例2.4 已知，求的最值.解 将变形为设 根据上述柯西不等式和已知条件，有即当且仅当时，等号成立.解当时，取得最大值；当时，取得最小值.所以的最大值为，最小值为.2.3 梯度法定义2.118 设为开集，为定点. 如果函数在点可偏导，则称向量为在点的梯度，记为采用梯度法求解目标函数在约束条件限制下的条件极值，
21、其中.首先，应求出目标函数的梯度向量假设是个约束条件相交部分的方程，这样就可以把多个条件转化为一个条件. 曲面在点处的法向量是其中再设曲面在点处的切平面的切向量是则然后令，得从而得到一个向量消去，于是得到类似地，可得到另外个向量，最后，把这个向量与作内积，就可得到如下个方程组再将上述方程与个约束条件联立，通过解该方程组，就可以求出稳定点.例2.5 求平面与椭球面相交的椭圆的面积.解 椭圆的面积是，这里、是椭圆上的点与原点的最小与最大距离. 所以本题可转化为求在约束条件下的最小值与最大值. 令 ，代入方程组可以得到解方程组得，容易得出在前两个点的值均为，在后两个点的值均为，因此可知，. 所以求得
22、的椭圆面积为.2.4 三角函数法三角函数法，即是用三角函数或三角函数式代替原函数解析式中的变量，进而借助三角函数求出极值的一种方法.在作代换时，应从函数解析式中变量的允许值与解题的需要去考虑，选择最恰当的三角函数或三角函数式去替换.例2.6 已知实数、满足方程，求函数的最大值.解 设，其中为参数且，代入的表达式中，得即 因为 所以有 即又由于所以即的最大值为.2.5 对称函数法定义2.219 元函数，若存在，使则称函数是关于自变量与的对称函数.定义2.319 若对任意的，元函数都是关于自变量与的对称函数，则称函数是关于自变量的对称函数(简称对称函数).在求解多元函数的条件极值时，只要所求的目标
23、函数与其约束函数都是对称函数，则可通过解方程组求出可能的极值点，从而求出极值. 例2.7 求函数在条件下的最小值.解 很明显能够看出约束条件是对称函数，而目标函数仅是关于、对称，令，那么目标函数与约束条件分别为，与均是对称函数，则可解方程组得即当、分别为、时，函数取到最小值为.2.6 数形结合法数形结合法是借助于函数图像的性质解决实际问题的一种方法，因此，我们可以依据所求目标函数的几何意义，如点到直线的距离、圆的直径等性质来求得目标函数的极值.例2.8 求在下的最值. 解 设，则故 由于所表示的是坐标原点到椭圆上点的距离平方的倍，所以最小值为短轴长平 图 2-1 转化图 方的倍，最大值为长轴长
24、平方的倍. 2.7 比较法在给出了几种求条件极值的方法后，能够选择最恰当的方法解决问题是关键，下面我们将依次用朗格朗日乘数法、均值不等式法、梯度法、三角函数法求解例2.8，以说明这一问题.解法一 拉格朗日乘数法设拉格朗日函数令 解得，当时，此时取到最小值；当时，或，此时取到最大值18.解法二 均值不等式法(1) 当，时，有，当且仅当时，等号成立. 所以有即，所以，当取到最小值时，.(2) 当，时，设，此问题则可转化为求在条件下的最值，因为，所以有所以，即最大值是，此时，.(3) 当，时，设，问题转化为(1)进行求解.(4) ，时，问题转化为(2)进行求解.解法三 梯度法令，代入方程组 解得，以
25、下同拉格朗日乘数法.解法四 三角函数法设，则有 所以当时，即时，取到最小值；当时，即，时，取到最大值.通过对该题的分析，我们发现采用拉格朗日乘数法、均值不等式法与梯度法解题时，其过程都比较复杂，而用三角函数法与数形结合法可以很快速的求出结果，所以说每一种方法都不是万能的，都有属于自己的适用条件.拉格朗日乘数法是求解条件极值的一种通用方法，同时也是众多方法中最常用的一种方法，特别是在遇到约束条件比较多的问题时，采用拉格朗日乘数法更为方便. 除了拉格朗日乘数法与梯度法，其它几种为初等数学的方法，在运用的过程中技巧性比较强，同时也存在一定的局限性. 但是掌握好初等数学的几种方法，对于求解条件极值问题
26、有时会更加方便，所以在求解条件极值问题时，要根据题目的特点选择最优的解决方法，从而达到快速解决问题的目的.第3章 条件极值的应用条件极值在科学研究、工程设计、经济管理、工农业生产等领域都有广泛的应用，下面着重介绍条件极值在物理、不等式证明、渠道设计、生产销售方面的应用.3.1 在物理学中的应用条件极值问题在物理学中有很大的作用，以光的折射定律的证明为例.例3.1 假设定点和在以平面分开的两种不同的光介质中，从点射出的一条光线通过折射到达点，光在两种介质中的传播速度为与，问怎样使传播的时间最短？解 设点与平面的距离为，点与平面的距离为，如下图所示令，光线从射到点需要的时间是，同理，从到点的时间是
27、，且， 所以可以得到，可将问题转化为关于，的一个函数在约束条件下的最小值. 图 3-1 光的折射图构建拉格朗日函数，令 解得所以光线入射角和折射角需要满足条件：时，光线的传播时间为最短. 此公式即为光的折射定律.3.2 在不等式证明中的应用对于不等式的证明，有时采用常规的方法，其证明过程很复杂，而且不容易推导出结果. 但在证明过程中，如果能利用条件极值的知识，找到适当的目标函数与约束条件，利用最优化的原理去证明不等式，则可使问题变得简单易证. 例3.2 ，其中，证明：.证明 本题可转化为求函数在约束条件下的最大值问题，可采用拉格朗日乘数法进行求解.首先，构造辅助函数：令 解得唯一的稳定点，因为
28、在约束条件下有最大值，所以，因此不等式成立.3.3 在渠道设计中的应用在渠道设计中，对水力最佳断面的研究是很重要的. 水力最佳断面为渠道过水断面面积、糙率、底坡确定时，通过流量最大的断面；或是渠道的底坡、流量、糙率确定时，过水断面面积最小的断面19. 例3.3 如图所示，表示水的深度，表示底的宽度，表示边坡系数，表示湿周，表示过水断面的面积，表示流量，表示水力半径，表示糙率，表示底坡.分析 明渠均匀流的公式为，由上述公式可知，渠道的底坡、过水断面的面积、糙率确定时，在使过水断面的湿周为最小值时，渠道通过的流量为最大. 过水断面的面积，梯形的断面湿周.解 此问题即是求在条件下取最小值时、所要满足
29、的条件.根据得出，代入中，有要保证取到最小值，则有 图 3-2 最佳断面示意图整理可得宽深比为同时有因此渠道水力的最佳断面的宽深比即是满足断面最小湿周的条件，宽深比为3.4 在生产销售中的应用生产与销售是厂商常讨论的问题，销售价格的上涨，虽然能够增加单品上的利润，但同时可使消费者的购买欲望大大降低，造成销量减少，最终致使厂家的产量减少. 在生产过程中，单品的生产成本是随着产量的增加而降低的，所以，在生产销售中成本、销售量、售价是相互关联的，因此选择合理的销售方案对获得最大利润是至关重要的. 下面就利用条件极值理论设计生产销售中的最优方案.3.4.1 生产成本最小化方案 例3.4 设某地某家工厂
30、一件商品的生产函数是，及相应地成本函数是，若产量时，请设计使成本最低的投入组合以及最低成本是多少？解 本题属于在使成本最低的情况下，如何投入两种生产要素的问题，即成本函数作为目标函数，生产函数作为约束条件的条件极值问题.首先，构造拉格朗日函数令解得，因为所求的稳定点是唯一的，且根据本题的实际意义，可以得出此稳定点即为极值点.因此，当，时，可使成本最低，最低成本为.3.4.2 利润最大化方案例3.5 某家工厂想在两个不同的市场销售同种产品，已知两个市场对产品的需求可用以下两个函数表示，并且生产该产品的成本函数可表示为，其中与表示产品在两个市场的需求量，与表示两种商品的价格，且销售总量为.(1)
31、如果企业实行销售价格有差别策略，问为了保证该企业的利润最大，如何确定该产品在两个市场内的售价与销量.(2) 如果实行销售价格无差别策略，问为了保证该企业的利润最大，如何确定该产品在两个市场内的统一售价与销量.并比较两种策略中哪个能使利润最大.解 (1) 根据题意，利润整理得令 解得唯一的稳定点为，又由于，由此可知，且，所以为极大值点，此时两种商品的价格，最大利润.(2) 实行无差别价格策略，即，则有.于是构造拉格朗日函数令得，由于是唯一的可能极值点，由问题的实际意义，最大值一定存在，即为所求的最大值点，此时，总利润达到最大，且利润最大值为.综上所述，该企业实行有差别价格策略利润最大.例3.6
32、某地一家电冰箱厂要根据下面的数据确定某种电冰箱的价格.(1) 根据对市场的调查，当地对这种电冰箱的年需求量是万台；(2) 在去年该厂一共销售万台，每台的售价是元；(3) 只生产一台电冰箱时的成本是元，但是在生产万台以上时，成本降为每台元.解 根据题意可建立如下函数：设这种电冰箱的总销量是，销售价格是，生产每台的成本是，那么利润可表示为依据市场的相关分析，销售量和销售价格存在如下关系，其中表示市场的最大需求量，价格系数，从公式中可以看出，销售量随着销售价格的增加而减少. 生产部对每台电冰箱的成本也做了预算，其中是只生产一台电冰箱时的成本，为规模系数，从公式中可以看出，成本随着销售量的增加而减少，
33、则可把问题转化为求解利润函数在以为约束条件的极值问题.构建拉格朗日函数令解得最优价格为要想解决此问题，只需确定价格系数与规模系数.下面利用以上结论对本题进行求解. 这里，.根据去年销售量万台与每台售价，可以得到由于生产万台时，成本可降为每台元，由此可知将以上数据代入的表达式中，有所以今年的最优价格为2653元台.结 论在对条件极值问题的研究中，我们介绍了条件极值的相关理论，总结了求解条件极值问题的多种方法，论述了条件极值理论在实际生活中的应用. 首先从条极值的相关概念入手，分别介绍了隐函数的定义、隐函数存在定理、无条件极值与条件极值的定义. 然后对条件极值问题的求解方法做了重点的讨论，其中包括
34、拉格朗日乘数法、不等式法、梯度法、三角函数法、对称函数法、数形结合法. 并举出实例说明每一种方法的优缺点与适用范围，如有些问题可以通过变形转化为均值不等式或柯西不等式的形式进行求解. 对于二元二次函数的条件极值问题，有时可以借助二次曲线的图像进行求解. 而在求多个限制条件下的极值问题时，一般考虑用拉格朗日乘数法和梯度法. 在这里，我们对应用最广的拉格朗日乘数法做了详细的推导，并体会这种方法与初等方法之间的优越性与不足之处，从而总结出快速解题的技巧. 最后阐述了条件极值在物理学光的折射定律中的应用，在不等式的证明中巧用条件极值理论解题的方法，以及在生产销售中使成本最小、利润最大的经济意义. 对于
35、每一种应用都举出了例题，使得本部分更加清晰，并奠定了在本文的重要地位.综上，本文通过对条件极值相关知识的探讨和应用，更深层次的理解了条件极值的内涵，以便于更好地掌握应用条件极值理论解决实际问题这一内容，而且对每种方法都引入了大量的例题，使得本文更加紧密，具有逻辑性，同时更具有创造性和实用性.千万不要删除行尾的分节符，此行不会被打印。“结论”以前的所有正文内容都要编写在此行之前。- 28 -参考文献1 王延源. 再谈条件极值的初等解法J. 临沂师范学院学报，2000,22(6): 71-72.2 查中伟. 条件极值在生产者行为决策中的应用J. 工业技师经济，2003,126(2): 60-63.
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