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1、1 绪论内弹道（internal ballistics）是弹道的一部分，内弹道研究弹丸从点火到离开发射器身管的行为。内弹道学研究对各种身管武器都有重要意义。击发方法：任何类型的身管武器第一步需要击发火药。最早的枪支、大炮由一个一端密封的金属管组成。1.1 内弹道学研究对象内弹道学是研究发射过程中枪炮膛内及火箭发动机内的火药燃烧、物质流动、能量转换、弹体运动和其它有关现象及其规律的弹道学分支学科。燃烧的发射药产生具有很高压力的气体，使弹丸加速穿过炮膛，直到以预定初速离开炮口。初速是具有一定质量和形状的弹丸最终要达到的整个射程的基础。在设计火炮时必须进行计算以保证最正常、最有效地产生所需要的初速。
2、发射装药产生的能量用于完成好几种工作。大部分能量用于赋予弹丸速度。能量还消耗在做下述功上：使弹丸旋转，克服弹丸与膛壁之间的摩擦力，使发射药和发射药气体在膛内运动以及使火炮后坐部分后坐。有些能量还以热能的形式损失在身管、炮尾、弹丸和药筒（如果使用药筒的话）上。发射过程都是从点火开始，通过机械击发、电热或其他方式将点火药点燃，所产生的高温气体及灼热粒子再点燃火药装药，迅即扩展到整个装药表面，并同时沿着药粒厚度向内层燃烧。燃烧进行在一个封闭的空间中，这个空间前由弹丸的弹带封闭，后有火炮所采用的紧塞装置封闭，紧塞装置用于防止火药气体从后面逸出。在发射药气体的压力达到能使弹丸运动的程度之前，发射药的燃烧
3、速度与膛压增加的速度是成正比例的。所谓“弹丸启动压力”就是指使弹丸开始向前运动的压力。当弹丸沿身管向前运动时，供发射药气体占用的空间增大，因此膛压的增加速度减小。当空间增加所导致的压力的增加相等时，膛压达到最大值。自此以后膛压开始下降，同时弹丸却在继续加速，甚至在发射药全部燃尽后弹丸仍在继续加速，只是加速度逐渐减小，弹丸一出炮口即变为减速。下图说明膛内压力、弹丸膛内行程和弹丸速度间的关系。 内弹道学的研究对象，主要是有关点火药和火药的热化学性质，点火和火药燃烧的机理及规律；有关枪炮膛内火药燃气与固体药粒的混合流动现象，有关弹带嵌进膛线的受力变形现象，弹丸和枪炮身的运动现象；有关能量转换、传递的
4、热力学现象和火药燃气与膛壁之间的热传导现象等。弹丸在膛内的运动大约要消耗掉发射药产生的能量的25-35%。其余的能量都在弹丸离开炮口后排入大气。通过增加身管长度以延长发射药气体作用于弹丸时间的方法，还有可能使弹丸初速增加。只是用这种方法增加初速也有其缺点，因为在身管增长超过一定限度后所增加的初速与所带来的缺点相权衡，是得不偿失的。从发射药燃尽点开始，弹丸速度的增加是越来越平缓的。1.2 内弹道学研究意义内弹道学主要从理论和实验上对膛内的各种现象进行研究和分析，揭示发射过程中所存在的各种规律和影响规律的各有关因素；应用已知规律提出合理的内弹道的方案，为武器的设计和发展提供理论依据；有效地利用能源
5、及探索新的发射方式等。 利用所掌握的内弹道规律，改进现有的发射武器和设计出新型的发射武器，这是内弹道设计的研究内容。它是以内弹道方程组为基础的 ，例如根据战术技术要求所给定的火炮口径，及外弹道设计所给出的初速、弹重等主要起始数据，解出合适的炮膛结构数据、装填条件，以及相应的压力和速度变化规律。 在内弹道设计方案确定之后，方案的数据就是进一步进行炮身、炮架、药筒、弹丸、引信及发动机等部件设计的基本依据。因此，发射武器的性能在很大程度上决定于内弹道设计方案的优化程度。 火药是最常用的主要能源。早在无烟药开始应用时对于成形药粒的燃烧，就采用了全面着火、平行层燃烧的假设，并以单一药粒的燃烧规律代表整个
6、装药的燃烧规律，称为几何燃烧定律。它是内弹道学的一个重要理论基础。长期以来，应用这个定律指导改进火药的燃烧条件，控制压力变化规律，以达到提高初速和改善弹道性能的目的。在火炮设计中发射药在膛内的燃尽位置很重要。如果燃尽位置在膛内过于靠前，则很可能会增加耀眼的炮口焰，从而增加被敌人发现的可能性。如果燃尽位置在炮口外，则炮闩在发射药全部燃尽前有被打开的危险。在设计火炮及其装药系统时，必须非常注意这种可能性，特别是对发射后自动开闩的火炮。使燃尽位置适当靠后还有其他一些理由，其中比较重要的是，这样做能减小各发弹之间的初速差异。很明显，发射药在膛内的燃尽点还会影响应力对身管的作用位置和大小。只要考虑到即使
7、是一门105毫米野战炮要以每秒几百米的速度把弹丸推出炮口，其膛压也会大大超过20吨/平方英寸，这就很易理解应对身管应力问题给予极大重视的道理了。 1.3 内弹道过程1.3.1 前期指击发底火后发射药被引燃，到弹带全部挤进膛线时的瞬间。 击发底火点燃发射药，发射药迅速燃烧形成膛内压力P 其被成为点火压力，一般2MPa-5MPa 发射药引燃后随膛内压力增加弹带产生塑性变形挤入膛线当弹带全部挤入膛线时阻力最大继续向前运动弹带产生塑性变形后阻力下降，最大阻力对应的膛压为“挤进压力”。 在内弹道学中设膛压达到挤进压力时弹丸才开始运动所以常将挤进压力成为“启动压力”火炮中挤进压力为25 MPa-40MPa
8、枪械中为40MPa-50MPa。特点是发射药在定容条件下燃烧，认为弹丸并未运动，实际上因为弹带有一定宽度当其全部嵌入膛线时有很小的位移。前期发射药燃烧量大约为全部发射药的百分之五。 1.3.2 第一时期是指从弹带嵌入膛线到发射药全部燃完的瞬间。不断增加的火药燃气增加膛压，弹丸后不断增大的空间、温度的降低使膛压下降，但燃气量上升渐被膛压下降所抵消，当对膛压影响的两个相反因素相当时出现一个相对平衡的瞬间，此时的膛压称谓最大膛压，最大膛压出现在身管的火炮口径倍数为2到7倍时，此后弹丸速度随压力做功而增加，弹完后空间增大，燃气密度相对减小。现代火炮中一般为250MPa-350MPa。 1.3.3 第二
9、时期是指从发射药燃完到弹丸底飞离身管口断面为止。 从前期到第二时期结束统称为膛内时期，现代火炮膛内时间一般小于0.01s在极短的时间要使速度从0增值炮口速度其加速度是很大的。 1.3.4 后效时期是指弹丸底飞离膛口断面到火药燃气压力使膛口保持临界断面（即膛口气流速度等于该面当地声音）的限值为止。 后效时期开始燃气从炮口喷出，燃气速度大于弹丸速度，继续作用于弹丸底部推动弹丸加速前进直到火药燃气对弹丸的推力和空气的阻力相平衡时为止炮口前速度增至最大值，随后燃气向四周扩散压力大幅下降，降至0.18MPa时为止。1.4 内弹道基本规律和内弹道解法上述各种现象既是同时发生而又相互影响，它们之间的关系是通
10、过火药燃气的温度、压力及弹丸速度等各种量的变化规律来表达的。因此，研究并掌握这些规律就成为内弹道学的一个基本问题。通常是根据对各主要现象的物理实质的认识，分别建立描述过程变化的质量、动量、能量守恒方程及气体状态方程，再结合枪炮的特点，将各相应的方程组成内弹道方程组，对方程组求解的数学过程即称为内弹道解法。它可以根据给定发射武器的结构数据及装填条件，解出压力和速度的变化规律，为武器的改进提供依据。 1.5 内弹道发展过程内弹道学的理论基础是在19世纪2030年代才开始建立起来的。最先进行研究的是意大利数学家拉格朗日，他在1793年对膛内气流现象作出气流速度沿轴向按线性分布的假设，从而确定出膛底压
11、力与弹底压力之间的近似关系 ；1664年，雷萨尔应用热力学第一定律建立了内弹道能量方程；18661915年，英国物理学家、枪炮专家诺布耳和英国化学家、爆炸专家艾贝尔根据密闭爆发器的试验，确定出火药燃气的状态方程。 19世纪末法国科学家维埃耶总结了前人研究黑火药燃烧的成果，及无烟火药的平行层燃烧的现象，建立了几何燃烧定律的假设。在此假设基础上采用了相应的火药形状函数来描述燃气生成规律，并用实验方法确定出燃速函数。根据这些理论基础已能建立用于进行弹道解的数学模型，从而在理论和实践上，形成了以几何燃烧定律和定常流假设为基础的内弹道学术体系。在近一个世纪的实践中，这种内弹道体系在武器的设计和弹道实践中
12、一直起着主要的指导作用。 20世纪20年代以后，随着气体动力学的发展，以及射弹向高初速方向发展的需要，膛内物质流动现象已成为基础理论研究的主要对象，并逐渐形成了新的学术领域。其基本内容就是应用气动力学原理来描述内弹道过程，建立内弹道偏微分方程组的数学模型，求解方程组即得到非定常流的弹道解。 最早研究此问题的是英国地球物理学家洛夫和数学家皮达克。他们作出火药瞬时燃烧的单一气相假定，建立了最简单的模型。以后虽然还出现过较复杂的模型，但是限于计算的困难，除了理论意义之外，还不能用于弹道实践。直到50年代以后，随着电子计算技术的发展，才使模型的不断完善和具体应用成为现实。 20世纪70年代还出现了建立
13、在火药粒逐层燃烧条件下气固混合相的模型。这种模型所给出的弹道解，基本上能够反映出膛内气流速度及压力的分布规律，从而有可能为膛内激波形成机理的研究，提供必要的理论依据。虽然这方面的弹道实践，目前还处于积累经验的阶段，但就理论基础而言，已经发展成为以非定常流为基础的内弹道学术领域。它同以拉格朗日假设为基础的传统内弹道学有着很大的差别，但是在实用上两者各有所长。 在实验内弹道学方面，由于内弹道过程具有高温、高压、高速及时间很短的特点，内弹道的测量技术也相应地有其特点，并已发展成为专门的领域。最早出现的弹道测量是1740年英国数学家、军事工程师罗宾斯应用弹道摆法测量弹丸的初速。 19世纪60年代，布朗
14、日发明了落体测时仪，大大地提高了测量初速的精度，诺布耳用铜柱测压法测量火炮的最大压力，并配合音叉测时法应用于密闭爆发器，进行压力随时间变化的测量。这两种测量技术的发展，使内弹道学开始进入应用科学的领域，对整个武器的发展具有深远的意义。但是应用铜柱法还不能准确和完整地测量膛内压力变化的规律。 20世纪30年代以后，又发展了测量膛内压力随时间变化的压电仪器。这种仪器的应用，使内弹道理论和相应的数学模型得到了客观的检验。50年代以后，随着电子技术和计算技术的发展，广泛使用了数据自动处理的测速和测压仪器，测量炮身温度分布的热电偶，测量膛内弹丸位移随时间变化的微波和激光干涉仪，以及测量膛口弹丸运动姿态和
15、流场变化的高速摄影仪等仪器。在试验方法方面也趋于应用综合性多参数的弹道测量，以提供更多的数据。现代两相流理论就是在多路压力曲线测量条件下发展起来的。随着实验内弹道学的进一步发展，必将使内弹道学理论日趋完善。1.6 本课题的任务与作用本课题为榴弹炮内弹道设计的软件包开发，本次榴弹炮内弹道设计软件包开发的的主要任务是根据内弹道设计的特点和要求，对内弹道设计进行软件包开发，要求能够根据内弹道初始条件进行能弹道设计，给出P-t， P-l，v-t，v-l四条曲线。其主要是为在内弹道设计中的计算与比较提供了一个较方便的计算平台，不所要在每次设计中都计算内弹道，简化了设计步骤。2 火药的燃烧规律2.1 概述
16、射击过程是一个极其复杂的过程，它包括有各种形式的运动及能量转换，其中火药燃烧生成高温高压的火药燃气膨胀对弹丸做功是该过程中各种运动现象的直接原因，因此首先从火药的燃烧来讨论内弹道过程。内弹道过程中的火药燃烧规律是膛内压力变化规律的决定性因素。内弹道学所研究的燃烧规律不是微观的燃烧机理，而是燃烧过程中宏观的火药燃气生成量的变化规律。根据火药燃烧过程的特点，燃烧过程中火药燃气生成量的变化规律可以分解为燃气生成量随火药药粒厚度的变化规律和沿火药药粒厚度燃烧快慢的变化规律。前者仅与药粒的形状尺寸有关，称为燃气生成规律，与其相应的表达此规律的函数称为形状函数；后者称为燃烧速度定律，相应的函数称为燃烧速度
17、函数。2.2 几何燃烧定律火药的燃烧过程可以认为是按药粒表面平行层或同心层逐层燃烧的。这种燃烧规律称为皮奥伯特定律或几何燃烧定律。几何燃烧定律是理想化的燃烧模型，它是建立在下面三个假设基础上的：（1） 装药的所有药粒具有均一的理化性质，以及完全相同的几何尺寸和形状；（2）所有药粒表面都同时着火；（3）所有药粒具有相同的燃烧环境，因此燃烧面各个方向上燃烧速度相同。 在上述假设的理想条件下，所有的药粒都按平行层燃烧，并始终保持相同的几何形状和尺寸。因此只要通过一个药粒的燃气生成规律研究，就可以表达出全部药粒的燃气生成规律。而一个药粒的燃气生成规律，在上述假设下，将完全由其几何尺寸和形状所确定。这就
18、是几何燃烧定律的实质和称之为几何燃烧定律的原因。几何燃烧定律只是对火药真实燃烧规律的初步近似，它给出了实际燃烧过程的一个理想化了的简化。2.3 火药燃气的生成规律 火药在膛内燃烧时，膛内的压力p显然与火药燃气的生成量有关。膛内压力随时间的变化率dp/dt也必然与气体生成速率有关。为了掌握膛内的压力变化规律，必须了解火药燃气生成量及气体生成速率的变化规律，从而达到控制射击现象的目的。2.3.1 简单形状火药的燃烧规律燃气生成量随厚度的变化规律为:=Z1+Z+Z2 (2-1)令=e1b=e1c则各种形状火药的形状特征量、的值如表1-1所示。表1-1 简单形状火药的形状特征量序号形状火药尺寸比值1管
19、状2b = = 01 + -1 + 02带状2e1 2b 2c1 1 + +- + + 1 + + 1 + + 3方片状2e1 = 1 + 2-2 + 21+ + 21 + 24方棍状2e1 =2b 2 + -1 + 22+ 2 + 5立方体2e1 =2b = 2c1 = = 3-1132.3.2 多孔火药的燃烧规律燃气生成量随厚度的变化规律为:分裂前=Z1+Z+Z2 (2-2)分裂后火药的形状特征量：=e1cs=(1+)Q1=Ca2+Ab2-Bd02(2c)2 (2-3)1=Ab+Bd02c (2-4)式中: 2c为火药药粒长度; A、B、C、a和b为多孔火药Q1和1的计算系数，值可查表1.
20、2。表1.2 多孔火药Q1和1计算系数药形ABCba-0.5d0 + e1圆柱形七孔170D000.2956花边形七孔28123/d0+4e1d0+2e10.1547花边形十四孔8/347/3363/d0+4e1d0+2e10.1547花边形十九孔321363/d0+4e1d0+2e10.1547圆柱形十九孔1190D000.35592.4 火药的燃烧速度定律影响然速的主要因素有：（1）火药成分对然速的影响；（2）火药初温对然速的影响；（3）火药的密度对然速的影响；（4）压力对燃素的影响，也是最主要的影响。单位时间内火药药粒燃烧表面上任意一点沿其法向烧去的厚度称为直线燃烧速度，记为u,即u=d
21、edt (2-5) 因为压力是影响燃速的最主要的外界条件，又是决定武器性能的主要因素，所以通常将火药燃速表达成压力的函数，并将其称为燃烧速度定律。内弹道学中的燃速方程是根据实验获得的。它是在几何燃烧定律基础上，依据火药在密闭爆发器中燃烧测出的p-t曲线经过数据处理而得到的。通过拟合的数学方法可以用适当的函数形式来表示该变化规律，常用的表达式有二项式、指数式和正比式。二项式：u=u0+u1p (2-6)指数式：u=u1pn (2-7)正比式：u=u1p (2-8)指数式在计算机应用上比较方便，所以本程序应用的为指数式。根据火药气体生成速率公式dZdt=1e1dedt得到了火药燃烧时气体生成速率规
22、律的燃烧定律的方程dZdt=u1e1pn (2-9)2.5 火药燃气状态方程对于真实气体，通常采用范德瓦耳气体状态方程p-aw2w-=RT (2-10)式中，w表示气体比容；是与气体分子间吸引力有关的常数，称为余容；R则是与气体组分有关的气体常数。对于火炮膛内高温高压火药燃气，此方程可以近似简化为pw-=RT (2-11)2.5.1 定容状态方程在定容燃烧的情况下，火药气体没有做功，若忽略热散失，则这时气体的温度T就是火药燃烧时的爆温T1。对于一定性质的火药来说，T1是一个常量。于是状态方程变为p(w-)=RT1 (2-12)于是得到P=RT1V0-p1-=RT1V (2-13)式中V称为药室
23、的自由容积，表示气体分子可以自由运动的空间，在燃烧过程中，随着的变化而变化。若令=V0=RT1则可以推导出P=1-p1-=RT11-p-1p (2-14)2.5.2 变容的状态方程在射击过程中，弹丸向前运动，弹后空间不断增加，因此膛内压力是弹后空间容积的函数。利用定容状态方程可建立变容情况下的状态方程。设火炮的炮膛横断面面积为S，在药室容积V0中装有质量为的火药；假定当火药燃烧到时，质量为m的弹丸向前运动的距离为l，则弹后空间增加体积为Sl。这是弹丸后部的自由容积为V0-p1-+Sl=V+Sl (2-15)变容情况下，温度T是变量。变容情况下的气体状态方程为pV+Sl=RT (2-16)为了方
24、便，设l=VS=V0S1-p-1pl0=V0S在引入药室自由容积缩颈长l后，变容情况下的状态方程可以表示为Spl+l=RT (2-17)l=l01-p-1p3 膛内运动分析武器射击过程很复杂，包括多种运动形式和力学现象，如弹丸挤进膛线，弹丸沿膛线运动，火药燃气的流动以及炮身后坐运动。弹丸挤进膛线涉及塑性动力变形，火药燃气的流动，以及到流体力学的许多问题。所有这些运动都是通过力的作用和能量的传递，而能量最终来自于火药燃气所释放的能量。要分清能量的变化特点就要研究膛内的各种运动现象。3.1 能量转化与能量平衡方程内弹道过程是一个复杂的能量转换过程，火药燃烧释放大量的高温高压气体。与此同时，弹丸在火
25、药燃气的作用下挤进膛线，在克服摩擦力的同时，弹丸作直线运动和绕弹膛轴线的旋转运动，未燃完的火药、火药燃气及炮身同时运动。高温的火药燃气向火炮身管传递热量。在整个过程中，能量存在形式约有七种：（1）弹丸直线运动所具有的能量，即弹丸的动能E1；（2）弹丸旋转运动具有的能量E2；（3）弹丸克服摩擦阻力所消耗的能量E3；（4）火药及火药燃气的运动能量E4；（5）身管和其他后坐部分的后坐运动能量E5；（6）弹丸挤进膛线所消耗的能量E6；（7）火药燃气通过炮管、药筒及弹丸向外传递的能量E7。其所占的比例如表3-1.表3-1 各种能量分配表能量类别E1E2E3E4E5热损失Q未利用的火药潜能百分比（%）32
26、0.142.173.140.1220.1742.263.1.1 能量平衡方程热力学第一定律：W=E+Q (3-1)（1）火药燃气由初态到终态内能的变化E；W=CvT1-T (3-2)其中Cv=Rk-1R及k表示气体常数和比热比。（2）火药燃气对外做的功E;我们以Ei表示火药气体所完成的功，由于弹丸直线运动的动能E1最大，一般占90%左右，通常成为主要功，其余为次要功，有Ei=1+K2+K3+K4+K5E1 (3-3)设=1+K2+K3+K4+K5则上式可以写成Ei=E1=mv22 (3-4)式中称为次要功系数。引入次要功系数后，火药燃烧过程中火药燃气对外做的功E可以表示为E=Ei=mv22 (
27、3-5) （3）火药燃气通过热散失所散失的能量Q；不同的武器的热散失不同，但可近似认为与单位装药量的热散失面积成正比例QS利用前面的条件有RT1-T=k-1m2v2+(k-1) Q设 =k 1，则RT1-T=m2v2+Q (3-6)式中Q是用修正的方法进行间接计算，由上式可以看出，在保持能量平衡的情况下为了消除式中的Q ，可以采取减小或增大的方法进行校正。则可得到下面的能量平衡方程RT1-T=m2v2 (3-7)由于=RT1，则RT=-m2v2 (3-8)膛内火药气体温度T=-m2v2R3.1.2 内弹道基本方程从变容状态方程和能量平衡方程可知在射击过程的某一瞬间，当火药燃烧了时，弹丸行程为l
28、，而与此相对应的压力和温度分别为p和T，则由式p(V+Sl)=RT得到式Spl+l=-m2v2 (3-9)其中l=l01-1-3.1.3 弹丸的极限速度因为火药气体的能量不可能全部用来做功，所以无论是弹道效率还是火炮效率都小于1.如果火药气体的能量全部用来做功，则火炮效率为1.这只是一种假设的极限情况，在这种情况下，弹丸将得到在这种装填条件下的最大速度，称为极限速度vj 。其值为vj=2fm (3.10)3.2 弹丸的膛内运动弹丸在膛内运动过程中受到多种作用力，归纳起来，主要有以下几种：（1）弹底燃气压力；（2）弹丸挤进阻力；（3）膛线导转侧作用在弹带上的力；（4）弹前空气阻力。当考虑上述作用
29、力时，弹丸在膛内运动的方程为mdvdt=Spd-SF挤进+F摩擦+F空气 (3.11)Pd为弹底燃气压力。3.3 次要功系数与弹丸运动方程3.3.1 次要功系数弹丸旋转的动能为E2=12I2式中I=m2，m弹丸质量，弹丸惯性半径，弹丸角速度。可的弹丸角速度于弹丸线速度得关系为=vtgr代入E2得E2=(r)2tg2mv22=K2mv22K2=(r)2tg2火药气体克服摩擦力所做的功为E3=(r)2ftgmv22=K3mv22K3=(r)2ftg火药燃气的运动功为E4=13mmV22=K4mV22K4=13m后坐部分的运动功为E5=mM(1+m)mV22=K5mV22K5=mM(1+m)次要功计
30、算系数为=1+K2+K3+K4+K5=1+(r)2tg2+(r)2ftg+13m+mM(1+m)设K=1+K2+K3+K5，则=K+13m (3.12)K是与武器有关的常数，其经验数据如表3-2.表3-2 K值表武器类型K榴弹炮1.06中等威力加农炮1.041.05大等威力加农炮1.03步兵武器1.10如果考虑到药室扩大的情况，可采用K4的修正数，即=K+bm (3-13)b为系数。3.3.2 弹丸运动方程弹丸运动方程为mdvdt=Sp (3-14)4 经典内弹道方程组及其解法 内弹道解法是内弹道理论的核心，在电子计算机出现之前，传统的解法有：经验法、解析法、表解法和图解法。这些方法的特点是直
31、观、简单，但局限性很大。随着电子计算机在内弹道学中的广泛应用，人们可以更深的研究射击过程，建立更精确的数学模型，通过数值方法获得膛内压力、弹丸速度等参量变化规律的较精确的描述。为了进行内弹道计算，我们必须把体现射击现象的物理实质的方程组综合进行分析计算。但是由于射击现象的复杂性，以及我们目前认识的局限性，对膛内的各种现象认识也不完善，甚至有些现象还没有认识到。所以，在建立内弹道方程组时，我们只能根据现有的认识水平来分析膛内的各种矛盾，并抓住其中的主要矛盾来建立方程组，对于一些次要的矛盾则忽略不计。因此，为了进行内弹道计算，必须提出以下假设：4.1 内弹道基本假设(1) 火药燃烧遵循几何燃烧定律
32、；(2) 药粒均在平均压力下燃烧，且遵循燃烧速度定律；(3) 内膛表面热散失用减小火药力或增加比热比的方法间接修正；(4) 用系数来考虑其他的次要功；(5) 弹带挤进膛线是瞬时完成，以一定的挤进压力标志弹丸的挤进条件；(6) 火药燃气服从诺贝尔阿贝尔状态方程；(7) 单位质量火药燃烧所放出的能量及生成的燃气的燃烧温度均为定值，在以后膨胀做燃气组分变化不予计及，因此虽然燃气温度因膨胀而下降，但火药力、余容及比热比等均视为常数；(8) 弹带挤入膛线后，密闭良好，不存在漏气现象。4.2 单一装药内弹道方程组（1)火药燃烧定律方程：形状函数=Z(1+Z+Z2)燃速方程dZdt=u1e1pn火药燃气状态
33、方程Sp(l+l)=RT（2) 弹丸在膛内运动方程：内弹道能量守恒方程RT=-m2v2弹丸运动方程mdvdt=Sp（3) 补充方程：弹丸速度与行程关系dldt=v 联立上述方程，就组成了内弹道方程组=Z(1+Z+Z2)dZdt=u1e1pndvdt=SpmSp(l+l)=-m2v2dldt=v (4-1)其中l=l01-p-1p 方程组中共有p、v、l、t、和Z六个变量，有五个独立的方程，若取其中一个变量为自变量，则其余五个变量作为自变量的函数，可以由上述方程组解出，所以方程是封闭的。4.3 混合装药内弹道方程组混合装药是两种或两种以上不同类型火药组成的装药，这些不同类型火药之间，存在着或是理
34、化性能或是药性及厚度的差别，或两者都存在。混合装药主要用于榴弹炮。根据战术要求，榴弹炮要有较大的射击范围，并且命中地面目标的落角要足够大，以增大弹丸的杀伤效果，因此他必须能以不同的初速射击。显然仅用一种装药，就难以达到该要求，必须将装药分成若干型号每号装药的装药量不同。但是当装药量减少到一定量之后，火药在低压下就不能在膛内燃烧完全，增加了初速散布。装药量越少，这种现象越严重，这种情况下，就必须采用混合装药的方法，即用簿火药和厚火药共同组成装药。在小号装药中主要是簿火药，从而保持一定的压力以保证膛内燃烧完全和引信能解除保险。在大号装药时，装药主要是厚火药，以保证最大膛压不要太高。对于混合装药，理
35、论模型处理上述假设外，还需如下补充假设：（1）混合装药中各种火药存在性能、形状或尺寸的不同；（2）混合装药中各种火药生成的燃气瞬时混合，不考虑混合过程。混合燃气质量、能量等于各单一火药燃气相应的质量、能量之和；（3）只求解混合燃气平均压力，不考虑单一火药燃气的分压问题。 根据上面的所有假设，可以写出一般的多种火药混合的内弹道数学模型i=iZi(1+iZi+iZi2)dZidt=u1ie1ipnidvdt=SpmSp(l+l)=i=1niii-m2v2dldt=vi=1,2,3,n (4-2)其中=1+bi=1niml=l01-i=1nipi(1-i)-i=1niii当应用多孔火药时，i方程应改
36、为计及分裂点的形状函数，即i=iZi1+iZi+iZi2siZi1+siZi1 0Zi1 1ZiZkiZi=Zki 其中Zki=e1i+ie1i4.4 相对量表示的内弹道方程组为了方便计算和提高数值计算的稳定性，对内弹道方程组可采用相对量来表示。在方程组（4-1）的六个变量中，Z和已经是相对变量，因此，只需把另外四个变量l、v、p和t转换成相对变量。4.4.1 用相对量表示单一装药的内弹道方程组 （1）将行程l转换为相对变量。 对于表达式l=l01-p-1pSp(l+l)=-m2v2若令l=ll0 , l=ll0 (4-3)则有l=1-p(1-)-Sl0p(l+l)=-m2v2l和l 即为无量
37、纲的相对行程。 （2）将速度v和压力p转换为相对量。由=/V0 和V0=Sl 0,内弹道学基本方程可写为pf(l+l)=-m2fv2因vj2=2fm ，若令v=vvj (4-4)则有pf(l+l)=-v2由于l、l、v 和 都是无量纲的参量，因此pf也是一个无量纲的变量，故令p=pf (4-5)则内弹道学基本方程为p(l+l)=-v2v 和p 即为无量纲的相对速度和压力。 （3）将时间t转换为相对量。对于速度表达式v=dldt把l、v以相对量形式代入，有v=l0vjdldt=dldt式中t=vjl0t （4-6）为无量纲的相对时间。 （4）引入综合参量B。把相对压力、相对速度、相对行程和相对时
38、间关系代入燃烧速度定律和弹丸运动方程，有1l02fmdZdt=1Ikpn(f)n1l02fmmdvdt=Spf于是燃烧速度定律和弹丸运动方程变为dZdt=2Bpn dvdt=2p 其中B=S2e12fmu12f21-n (4-7)综上所述，以相对量表示的单一多孔装药的内弹道方程组为dZdt=2Bpn 0 ZZkZ=Zkv=dldt dvdt=2p =Z(1+Z+Z2)sZ1+sZ 1 Z11ZZkZ=Zkpl+l=-v2 (4-8)式中l=1-p(1-)-其中l=ll0，t=vjl0t，p=pf ，v=vvj，B=S2e12fmu12f21-n4.4.2 用相对量表示混合装药的内弹道方程组 对于混合装药，若引入l=ll0， t=v1jl0t， p=pf1 其中，f1是某种火药的火药力，v1j是对应于该火药力的极限速度。则混合装药的无量纲内弹道方程组为dZidt=2Bipni 0