泰勒公式的新证明及其应用 毕业论文.doc

《泰勒公式的新证明及其应用 毕业论文.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《泰勒公式的新证明及其应用 毕业论文.doc（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、1 泰勒公式的新证明及其应用泰勒公式的新证明及其应用 中文摘要 数学分析与微积分学中，泰勒公式是将函数展成类似多项式的一个重要公 式且数学分析和微积分的关键一环。 本文章新证明了泰勒公式且到出了泰勒公式的两个推广形式。着重论述了 泰勒公式在证明不等式，极限运算，部分分式，级数的敛散性判别等方面的具 体应用方法。 关键词：泰勒公式；泰勒余项；罗尔定理；等式和不等式；极限；高价导 数；级数; 敛散性 2 目录 中文摘要1 引言1 1.泰勒公式及其有关定理1 1.1 罗尔中值定理的两种推广形式.2 2. 泰勒公式的新证明.4 2.1 泰勒公式的推广 5 3.泰勒公式的应用7 3.1 利用泰勒公式求极

2、限。.7 3.2 泰勒公式在证明不等式中的应用.9 3.3 泰勒公式在部分分式中的应用10 3.4 泰勒公式在 近似计算中的应用.14 3.5 讨论级数的敛散性。15 4.总结.17 参考文献.18 致谢.19 1 引言 泰勒公式是数学分析和微积分学的一个重要公式，他有广泛的应用。下面 我重新证明泰勒公式及简单的介绍泰勒公式在求极限，证明不等式，分解部分 分式，求近似解，判别级数的敛散性等方面的应用 1.泰勒公式及其有关定理 大家都知道，一元函数泰勒公式指： 定理定理 1.11.1（泰勒定理）设在内存在 阶连续导数，x ( )U a1n 那么对，有 0 ( )xU a ( ) 2 ()()()

3、 ! n n aaa xaxaxaxa n ( ) n R x; 这里称为在在的次泰勒余项，简称泰勒余项。( ) n R xx an （1）特别低称为佩亚诺余项。( ) n R x ()nxa （2）称为拉格朗日余项，其中在与之间。( ) n Rx (1) 1 ( ) () (1) n n xa n ax （3）称为积分型余项。( ) n R x (1) 1 ( )() ! x nn a ft xadt n 由于泰勒余项形式的不同，文（1）、（2）、(3)分别利用洛比达法则、柯西中 值定理及分部积分法证明了泰勒公式。本文先探寻得到了罗尔中值定理的两种 推广形式，然后利用其重新证明了泰勒公式，并

4、进而导出了泰勒余项的两种更 一般形式。 2 本文还论述了泰勒公式的有些最方便的应用。 1.11.1 罗尔中值定理的两种推广形式罗尔中值定理的两种推广形式 引理引理1 1： 设函数满足：( ) x (i)在上存在直到阶的连续导数；, a bn (ii)在内阶可导；( , )a b1n (iii)，且 。（ 或者，且 ( )a( )b ( ) b “( ) b ( )( ) 0 n b( )a( )b = ） ( ) a “( ) a ( )( ) 0 n a 那么在内至少存在一点，使。( , )a bc (1)( ) 0 n c 证：证：在条件(iii)中仅就 ，且 = ( )a( )b ( )

5、 a “( ) a ( )( ) 0 n a 的情形给出证明，至于后一情形可类似证明。 由假设，在上连续、可导，且，从而由罗尔定理知在x , a b( )a( )b 内至少存在一点，使。注意到在上也连续、可导，( , )a b 1 1 ()0 x , a b 且，再由罗尔定理知在内至少存在一点，使 ( ) a 1 ()0 1 ( ,)a 2 ，结合假设条件，再反复使用罗尔定理， 次，可得 在 “ 2 ()0 2n ( )( )n x 3 上连续，在 内可导，且，故知在内至少 , n a ( ,) n a ( )( )n a ( )( ) n n ( ,) n a 存在一点，使。c (1)( )

6、 0 n c 引理引理2 2：设函数满足：( ) x (i)在上存在直到阶的连续导数；, a bn (ii)在内，阶可导；( , )a b1n (iii) ，且，= ，（ 或者( )( )ab ( ) a “( ) a ( )( ) 0 n a ，且 ）( )( )ab ( ) b “( ) b ( )( ) 0 n b 那么对任何常数，在内至少存在一点，使( , )a bc 1 ( )( )0 nn cc 证：证：由假设可完全类似引理1前面部分的证明，连续使用次罗尔定理即知n 在内至少存在一点，使。( , )a b n ( )0 n n 于是对任何常数 ，函数在上连续、在内可导， ( )(

7、) nx G xx e , n a ( ,) n a 且由罗尔定理知， 在内至少存在一点 ，使。( )()0 n G aG( ,) n a c ( ) 0G c 注意到在内， ( ,) n a ，从而有 11 )( )( )( )( ) nnnnxxx G xx ex exx e 。 ，显然，引理1是引理2的特殊情形 1 ( )( )0 nn cc () n acb (0) 4 2. 泰勒公式的新证明 定理定理2.12.1：设在内存在直到阶连续导数， 那么，对，( )U a1n 0 ( )xU a 有 2 ()()()( ) ! n n n aaa xaxaxaxaR x n （1） 这里，

8、( ) n R x (1) 1 ( ) (),() (1) n n c xaacx n 证：证：由假设对，不妨设： 0 ( )xU a （2） ( ) 21 ()()()() ! n nn aaa xaxaxaxak xa n 那么： 21 )()()()() ! n nn aaa F ttatatatak ta n 在（或者）上存在直到阶连续导数，且注意到(2)，有 , a x , x a1n 且，( )( )0F xF a “ ( )( ).( )0 n F aFaFa 从而依引理1知存在，c 使。 (1)( ) 0 n Fc 这里在与 之间，而cax (1)(1) ( )( )(1)!

9、nn Fttk n 故有 (1)(1) ( )( )(1)!0 nn Fcck n ， (1) ( ) (1)! n c k n 代入(2) 即知结论成立。 5 2.12.1 泰勒公式的推广泰勒公式的推广 定理定理2.22.2：设，在内存在直到阶连续导数，且( )x( )g x( )U a1n ，。那么对有： “( ) ( )( ).( )0 n g ag aga (1)( ) 0 n gx 0 ( )Uxa 0 ( )Uxa (3) 2 ()()()( ) ! n n n aaa xaxaxaxaR x n 这里 1 (1) ( )( )( ) ( ) n n n c R xg xg a g

10、c ()acx 证：证：首先由假设知， 对， 有 ( k=1,2, 0 ( )Uxa ( )( )0 kk gxga n)，否则将与引理l矛盾，故先设: ( ) 2 ()()()( )( ) (4) ! n n aaa xaxaxaxakg tg a n 那么，由假设知 ( ) 2 )()()()( )( ) ! n n aaa F ttatatatak g tg a n 在(或者)上存在直到阶连续导数,且，, a x, x a1n( )( )0F aF x ，依引理1知存在， 使， 这里 “ ( )( ).( )0 n F aFaFac 1 ( )0 n Fc 在与 之间，然而注意到cax

11、(1)(1)(1) ( )( )( ) nnn Fttkgt 1(1)(1) ( )( )( )0 nnn Fcckgc 结合 ，就有 代入（4）即知定理1成立。 (1)( ) 0 n gc (1) (1) ( ) n n c k gc 6 显然当。由于， 故(3)就是(1)， 1 ( ) n g xxa ( )0g a 1 ( )1 ! n gxn 即定理2.1仅是定理2.2中的情形，同样易知文【3】中的定理4 1 ( ) n g xxa 就是定理2.2中 的情形。 1 (1) 1 ( ) ! n xn a g xtxtdt n 定理定理2.32.3：设，在内存在直到阶连续导数，且( ) x

12、( )g x( )U a1n ， “( ) ( )( ).( )0 n g ag aga 若对常数 ，且，那么对 (1)( ) 0 n gx (1)( ) ( )( )0 nn gxgx 0 ( )xU a 有 0 ( )xU a 2 ()()()( ) ! n n n aaa xaxaxaxaRx n 这里(5), 1( ) 1 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) nnn n nn cca R xg xg a gcgc (c在与 之间)。ax 证明证明：由假设对，有， 从而易知有， 0 ( )xU a (1)( ) 0 n gx ，否则与引理1矛盾， ( )( )0 kk

13、gxga(0,1,2,. )Kn 先设当时， 0 ( )xU a 22 ()()()( )( ) (6) ! n aaa xaxaxaxak g xg a n 那么： 2 )()()()( )( ) ! n n aaa F ttatatatak g tg a n 在 (或者)上存在直到阶连续导数，且, a x, x a1n 7 ，( )( )0F aF x “ ( )( ).( )0 n F aFaFa 由引理2知对， 常数 ，存在，使 c （在与之间）(7) 1 ( )( )0 nn FcFc cax 而， (1)(1)(1) ( )( )( ) nnn Fttkgt ， ( )( )( )

14、( ) nnnn Fttakgt 由（7），有 1(1)( )( )( ) ( )( )( )( )( )0 nnnnn ckgccakgc 即 ， (1)( ) 1( ) ( )( )( ) ( )( ) nnn nn cca k gcgc (1)( ) ( )( )0() nn gcgc 代入(6)即知定理成立。显然定理2.2是定理2.3中的情形。 3.泰勒公式的应用 3.13.1 利用泰勒公式求极限。利用泰勒公式求极限。 对有些极限问题，利用带佩亚诺余项的泰勒公式求极限是十分有效的方法，要 比暑洛比达法则，等价无穷小代等法来的更简便，但需对一些常用的函数的泰 勒公式角熟。 例例1 1：

15、0 tan(tan)sin(sin) lim tansin x xx xx 解：解： 33 1 tan() 3 xxxx 33 1 sin() 3! xxxx 33 1 tan(tan )tantan(tan) 3 xxxx 33 1 tantan() 3 xxx 33 1 sin(sin )sinsin(sin) 3! xxxx 8 33 1 sinsin() 6 xxx 333 tan(tan )sin(sin ) 11 tansintansin() 36 xx xxxxx 又当时 0x 1 tansintan (1cos ) 2 xxxxx ， sinxxtanxx 故 333 00 1

16、1 (tansin )tansin() tan(tan )sin(sin ) 36 limlim tansintansin xx xxxxx xx xxxx 33 3 000 333 11 () 36 1limlimlim 111 222 xxx xx x xxx 21 12 33 例例2 2：求 22 22 11 lim 1 122cos x x xx xx x 解：解：先做换元 ， 时 1 t x x 0t 原式 22 2 0 112 lim 22cos t tt tt 244244 0 2244 1111 1()1()2 2828 lim 11 22 1() 2!4! t tttttt

17、tttt 44 0 44 1 () 4! lim3 1 () 12 t tt tt 9 3.23.2 泰勒公式在证明不等式中的应用泰勒公式在证明不等式中的应用 例例1 1：若在上二价可导，且（是正常数）( ) x, a b “( ) xMM ，求证 ()0 2 ab 1ba( )( ) 4 M ab 证：证：将和在处展成一价泰勒公式：( )a( )b 0 2 ab x “ 2 1 ( ) ( )()()()() 22222 abababab aaa ，在 与 之间（1） “ 2 1 ( ) ()()() 2222 abbaba 1 a 2 ab 在与 之间（2） 2 2 “( ) ( )()(

18、)() 2222 abbaba b 2 b 2 ab （1）+（2）得 ， 2“ 12 1 ( )( )()( )() 8 abba 于是有 ， 1 2 ( )( )()2 84 M abbaM (1)ba 例例2 2：设函数处处二阶可导，且， 又为任意连续数， ( ) x “( ) 0x( )u x 证明： 00 11 ( )( ) aa u t dtu t dt aa (0)a 证：证：写出在点处的一阶泰勒公式：( ) x 0 x （在与之间） “ 2 0 0000 () ( )()()()() 2 x xxxxxxx x 0 x ，（1） “( ) 0x 000 ( )()()()xxx

19、xx 10 令 ，代入一式中，并对（1）式0 到积分，得， 00 1 ( ) a xu t dt a ( )xu ta 00000 11 ( )( )( )( )( ) aaaaa u t dtau t dtu t dtu t dtu t dt aa 即 00 1 ( )( ) aa u t dtau t dt a 故 . 00 11 ( )( ) aa u t dtu t dt aa 3.33.3 泰勒公式在部分分式中的应用泰勒公式在部分分式中的应用 下面介绍利用泰勒公式，把即约的真分式化为部分分式的方法。 预备知识（1）： 设有理分式，若分母可以写成两个互质多项式的乘积，即 ( ) ( )

20、 x g x ( )g x ，且有则可以分解成： 11 ( )( )( )g xg xg x 12 ( ),( )1g x gx ( ) ( ) x g x 11 ( )( )( ) ( )( )( ) xv xu x g xg xg x 预备知识（2）: 设 是上不可约多项式，那么有理分式 可以分解成：( )R xp ( ) ( ) s x Rx (1)s ， 其中 是 2 ( )( )( )( ) ( ). ( )( )( )( ) s ss xxxx x RxR xRxRx ( ),( ).( ) s xxx 次数低于的次数的多项式或者是零次多项式。( )R x 用泰勒公式把既约的真分式

21、分为部分分式的方法，理论根据以下： 11 设为既约的真分式，多项式在复数范围内分解成 ( ) ( ) p x Q x ( )Q x ，则：， 12 12 () () .() r nnn r xaxaxa 2 2 ( )( ) ( )() .() r nn r p xp x Q xxaxa 令：则： 12 12 ( ) ( ) () () .() r nnn r p x x xaxaxa 1 1 ( )( ) ( )()n p xx Q xxa 当时，有意义，故在点的领域内必然存在直至阶导数 1 xa( )x ( ) x 1 xa 1 n ， 则 1 ()“ ( ),( ),( ) n xxx

22、1 1 1 (1)“ 12 11 11111 ()() ( )()()()().()( ) 2!(1)! n n n aa xaaxaxaxaRx n 故： 1 1 11 1 (1) “ 1 1 11 12 1111 1 () () ( ) ( )()()(1)! 2! . ( )()()()()()n n n nn a a Rx p xaan Q xxaxaxaxaxa 则： 1 1 1 1 112 (1)“ 12 111 11111 1 112 ()()( ) ( )()()()().() ( )2!(1)!() ()() () .() r n n n n nnnn r aaQ x p x

23、aaxaxaxa Rxnxa xaxaxaxa 令 1 1 1 “(1) 12 11 11111 1 1 ()()( ) ( )()()()().() 2!(1)!() ( ) () n n n n r aaQ x p xaaxaxaxa nxa F x xa 1 11112 (1) “ 1 11 1111 12 111112 ( ) ( ) ( )( )( )( )(1)! 2! . ( )()()()()() () .() r n nnnnnn r a a p xaaF xn Q xxaxaxaxaxaxaxa 令 ， 32 1 23 ( ) ( ) () () .() r nnn r F

24、 x x xaxaxa 12 有前可得 有意义 322 12 232 ( )() () () .()() r nnnn r F xx xaxaxaxa 2 ()a 2 2 222 2 (1) “ 2 2 2222 12 22222 2 () () ( ) ()()()(1)! 2! . ()()()()() () n n n nnn a a Rx aaan xaxaxaxaxa xa 仿前可得： 2 3322 (1) 2 1222 23223 ( ) . () ()(1)!( ) () () .()()()() .() rr n nnnnnn rr F x a xnF x xaxaxaxaxa

25、xaxa 仿前继续推到，并可得： （1） 1 (1) 1 1 () ( )()()(1)! ( )()()() r r n rr rrr nn rr a p xaan R Q xxaxaxa 由预备知识（1）和（2）可知0R 上述过程理论上是对的，但在实用上显得较繁。 我门看出，分解的关键是获取每个这样 因子，与之相对应() t n t xa(1,2.)t 的一组阁简单方式 t n (1) 1 () ()()(1)! . ()() t tt n tt ttttt nn ttt a aan xaxaxa 故可以这样处理： 令 3 13 ( ) ( ) () () .() tr nnn r p x

26、 gx xaxaxa 由于时，存在，且有意义，在点的领域内也是如此，故 2 xa 2 ()ga 2 xa 所分成的部分分式中含有： ( ) ( ) p x Q x 13 2 222 (1) “ 2 22 2222 12 2222 () () ()()(1)! 2! . ()()()() n nnn ga ga gagan xaxaxaxa 仿此，可的： 1 11122 (1) “ 2 1 112221 121 111122 () ( ) ( )( )( )()()(1)! 2! . ( )()()()()()() n nnnnn a a p xaag agan Q xxaxaxaxaxaxa

27、（2） (1)(1) 2 2 1 2 ()() ()()(1)!(1)! . ()()()() rr rr nn r rrrrr nn rrr gaga g agann xaxaxaxa 由于（1）和（2）式是恒等式，所以（1）式和（2）式的右式也可以构成恒等 式，推得： ， 2222 ()()ag a 2222 ()()aga 22 (1)1 222 ()() nn aga ，()() rrrr ag a ()() r rrr aga (1)(1) ()() rr nn rrrr aga 所以仍然可靠。 例：把分式分为部分分式。 2 8 (1)(1) x xx 解：令，则；令， 2 8 (

28、) (1) x x x (1)2 8 ( ) 1 x g x x 2 8 ( ) (1) x g x x 则，( 1)4g ( 1) 2g ； 22 8242 (1)(1)1(1)1 x xxxxx 14 3.4 泰勒公式在泰勒公式在 近似计算中的应用近似计算中的应用 例例 1 1：求的近似值65 解：解： 1 656418 1 64 由 5 23 2 111 111 2816 xxxxx 可得到 2 1 111 658 18.06226 2 648 64 此时误差 5 2 11 80.5 10 16 64 R 例例 2 2：求定积分的近似值 1 0 sin x dx x 解：解： 35 7

29、sin7 2 sin. 3!5!7! x x xx xxx 35 6 sin7 sin2 1. 2!4!7! x x xxx x x 由此得到 35 1 0 sin(7) sin 2 3!35!57!7 x xxx dxx x sin(7) 11 2 1 3!35!57!7 x A 15 1 0 sin11 10.9461 3!35!5 x dx x 此时误差 1 4 0.5 10 7!7 R (注意：因为的原函数不是初等函数，所以这个定积分不能直接用（牛顿 sin x x 莱布尼兹）公式求值。只能用泰勒公式 求近似解。 3.53.5 讨论级数的敛散性。讨论级数的敛散性。 例例1 1： 讨论

30、的敛散性。 1 ( 1) ln(1) n p n n (0p )pR 解解: :由泰勒展开式得： 22 ( 1)( 1)11 ln(1)() 2 nn n pppp u nnnn ()n 因 22 111 () 2 n ppp u nnn 故时，级数绝对收敛1p 当 时，条件收敛 1 1 2 p 1 ( 1) ln n p n n 从而绝对收敛 22 11 () pp nnn 当时，条件收敛，而发散，故元级数发 1 0 2 p 1 ( 1) ln n p n n 22 11 () pp nnn 散。 16 例例2 2：判断级数的敛散性 2 (1) 1 1 (1) n n n 解：解： 2 (1

31、) 2 1 ln 1 11 n n n n une 有泰勒展开式得： 2 1 ln 22 lnln 11() 1 11 n n nn e nn 22 lnln () 11 nn nn 3 2 322 2 lnln1 0 11 nn n nn n ()n 故元级数收敛。 17 4.总结 本论文主要介绍了泰勒公式的最近的新证明和它的推广及其论述了它的有 些比较方便的应用内容，我在论文中无方面讨论了泰勒公式的应用，特别是用 泰勒公式求极限，证明不等式，分解部分分式，求近似解，判别级数的敛散性 等方面。 18 参考文献 【1】孙宏仪写的泰勒公式在部分分式中的应用。北京师范大学出版社 （1985.4）。45-46页 【2】閐晓红。王贵朋主编的。数学分析全程导学及习题全解（华东师大第 二版）上册。中国时代经济出版社（2006年版）。148-151页 【3】刘玉琏主编的。数学分析讲义（第四版）上册。高等教育出版社 （2003年版）。231-238页 【4】唐仁献写的泰勒公式的新证明及其推广。湖南科技学院学报。第26卷 （2005年11月） 【5】白岩（女）写的泰勒公式的应用。长春师范学院学报。第19卷（2000 年9月）16-17页 【6】王三宝写的泰勒公式的应用举例。高等授学报。第19卷（2005年6月） 32-33页 【7】李福兴写的泰勒公式的若干应用。梧州师专学报。（1997年3期）