泰勒公式及其在解题中的应用毕业论文.doc

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1、毕毕 业业 设设 计（论计（论 文）文） 题目：泰勒公式及其在解题中的应用题目：泰勒公式及其在解题中的应用 Title: Taylor formula and its application in solving problems 学学 院：理学院院：理学院 专专 业：信息与计算科学业：信息与计算科学 姓姓 名：罗书云名：罗书云 学学 号：号：0810220908102209 指导教师：蔡奇嵘指导教师：蔡奇嵘 二零一二年六月二零一二年六月 东华理工大学毕业设计（论文） 摘 要 摘 要 泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和 估计误差等方面的不可或缺的工具，它集中体

2、现了微积分“逼近法”的精髓，在近 似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问 题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求。它是微积分中值定理的推广， 亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具。泰勒公式在微积分的各个领域都有着 重要的应用，而且泰勒公式“化繁为简”的功能在数学领域的研究方面也起到了很 大的作用。文章除了介绍了带佩亚诺型余项和拉格朗日型余项的泰勒公式在常用的 近似计算、求极限、不等式的证明、判断函数极值上作求解证明外，特别地，对泰 勒公式在函数凹凸性及拐点判断、级数和广义积分敛散性判断、行列式计算等问题 的应用上做了详细系统的介绍，并且本文讨论了一种新

3、的证明泰勒公式的方法，进 一步将泰勒公式推广到更一般的形式。 关键词：泰勒公式； 佩亚诺型余项； 拉格朗日型余项； 应用 东华理工大学毕业设计（论文） ABSTRACT ABSTRACT Taylors formula is an important part of mathematical analysis, the theory has become an indispensable tool of the research function limits and estimation error, which embodies the essence of calculus “appro

4、ximation method“, It have an unique advantage in the approximate calculation, it also can make complex issues into simplistic, non-linear problem into a linear problem, and can meet the very high accuracy requirements. It is the promotion of the mean value theorem in calculus, is also an important t

5、ool for the application of higher order derivatives of the functional state. Taylor formula in the calculus of the various fields have important applications, and the Taylor formula for complex simple “function in the mathematical field of research has played a significant role. This article in addi

6、tion introdution Peano remainder and Lagrange remainder term of Taylor formula commonly used in approximate calculation, the limit inequality proof to determine the function extremum for solving prove, in particular, A detailed introduction of the Taylor formula in the application of the function bu

7、mp and the inflection point judgment, the judgment of convergence and divergence of series and generalized integral, determinant calculation, and the article discusses a new method to prove that the Taylor formula, further Taylor formula to the more general form. Keywords: Taylor formula; Peano more

8、 than; Lagrange remainder; application 东华理工大学毕业设计（论文） 目录 目 录 1. 绪论1 1.1 综述1 1.2 泰勒公式的研究背景2 1.3 泰勒公式的研究意义2 1.4 泰勒公式的研究目的2 1.5 本论文所做的工作3 1.6 本论文的基本思路与采用的方法3 2. 泰勒公式4 2.1 泰勒公式的建立4 2.2 泰勒公式的定义6 2.2.1 带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式.6 2.2.2 带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式7 3. 泰勒公式的新证明及其推广8 3.1 罗尔中值定理的两种推广形式8 3.2 泰勒公式的新证明.

9、10 3.3 泰勒公式的推广.11 4. 泰勒公式在解题中的应用.15 4.1 利用泰勒公式求近似值.15 4.2 利用泰勒公式求极限.16 4.3 泰勒公式在判断级数和广义积分的敛散性中的应用.17 4.3.1 判断级数的敛散性.17 4.3.2 判断广义积分的敛散性.18 4.4 泰勒公式在判别函数的极值中的应用.19 4.5 泰勒公式在不等式证明中的应用.20 4.6 泰勒公式在判断函数凹凸性及拐点中的应用.22 4.6.1 判断函数凹凸性.22 4.6.2 判别函数拐点.24 4.7 泰勒公式在行列式计算方面的应用.24 结论及展望.27 致 谢.28 参考文献.29 东华理工大学毕业

10、设计（论文） 绪 论 1 1. 绪 论 1.1 综述 十七世纪中叶，随着近代微积分的蓬勃发展，极限作为数学中的一个概念也就 被明确地提了出来。但是最初提出的极限概念是含糊不清的，相关的许多理论常常 难以自圆其说，甚至自相矛盾。极限理论的确立使得数学中出现了暂时混乱的局面， 直到十九世纪才有了改善，首次给出极限严格定义的是捷克斯洛伐克的数学家贝尔 纳波尔查诺，但对他来说有点遗憾的是，他的数学著作多半没有受到他同时代的 人的重视，他的许多成果等到后来才被人们重新发现，但是此时功劳已经被别人抢 占。1820年，法国著名数学家柯西深度研究了极限定义，并创造性地用极限理论把 微积分学中的定理加以严格的全

11、面的证明。但柯西的极限定义中应用了描述性的语 言“无限的趋近” “随意小”这些词汇，使得计算不够精确。在这一点上后来德 国数学家魏尔斯特拉斯先生给出了精确的“”方法，并且获得了圆满的解决。 至此，极限概念和极限理论才被完全地确定了下来。 由于近代微积分的蓬勃发展以及函数的极限的重要地位，促使几乎所有的数学 大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等人作 出了具有代表性的工作，于是泰勒公式应运而生了。泰勒公式的理论方法已经成为 研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法” 的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化

12、，可 以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求，泰勒公式在微积 分的各个领域都有着重要的应用。泰勒公式是18世纪英国数学家泰勒，在微积分学 中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到了泰勒公 式。对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个)(xf 0 xn 次多项式n nn n xxxf n xxxfxxxfxfxT)( ! 1 )( ! 2 1 )( )()( 00 )(2 00000 称为函数在点处的泰勒多项式，若函数在点上存在直至阶的导数，)(xf 0 x)(xf 0 xn 则有 )()()( 0 n n xxxTxf 即 )()(

13、! 1 )( ! 2 1 )( )()( 000 )(2 00000 nnn xxxxxf n xxxfxxxfxfxf 东华理工大学毕业设计（论文） 绪 论 2 称为在点处泰勒公式。)(xf 0 x 众所周知， 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求 极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断级数和广义积分收敛性、 近似计算、不等式证明等方面。 1.2 泰勒公式的研究背景 在数学史上，泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分法。1715 年泰勒出版的增 量法及其逆一书中载有现在微积分教程中以他名字命名的一元函数的幂级数展开 公式，当时是他通过对格雷戈里牛顿插值公式求极限而

14、得到的。但是他的成果被 同时代的很多人所忽视，直到 1755 年，欧拉把泰勒级数应用于他的“微分学”时才 认识到其价值，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础，从而进一步 确认了泰勒级数的重要地位，泰勒也以函数的泰勒展开而闻名于后世。 泰勒公式在数值微积分中起着非常重要的作用，泰勒公式“化繁为简”的功能 在数学研究方面也发挥了很大的作用。关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对 它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如证明不等式、 求极限、判断函数凹凸性和敛散性、判别函数的极值、判断函数凹凸性及拐点、求 渐近线、界的估和近似值的计算等等。 虽然泰勒公式应用到各个数学领

15、域很多，但同样也还有很多方面学者很少提及， 因此在泰勒公式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要，并且有着相当大的空 间。 1.3 泰勒公式的研究意义 泰勒公式是一元微积分的一个基本理论，不仅在理论上占有重要地位，同时在 近似计算、极限计算、函数性质的研究等方面也有重要应用，并且也是研究分析数 学的不可或缺的工具。 由于很多函数都能用泰勒公式来表示，并且研究函数近似值式和判断级数收敛 性的问题又要借助于泰勒公式。因此泰勒公式在数学实际应用中也是一种非常重要 的应用工具，我们必须掌握它，以便更好更方便的研究一些复杂的函数、解决更多 实际的数学问题。 东华理工大学毕业设计（论文） 绪 论 3 1.

16、4 泰勒公式的研究目的 探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知 识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解 求方法的简便性。 1.5 本论文所作的工作 由于泰勒公式在数学领域里的重要性，本论文将简单介绍泰勒公式及其各类型 余项的泰勒公式展开式，简单讨论带有佩亚诺余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式 及其一些基本的在解题中应用的实际方法，同时也讨论了一种新的证明泰勒公式的 方法，并将其作了进一步的推广。 1.6 本论文的基本思路与采用的方法 将带有佩亚诺型余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式应用到求极限、行列式、 函数极值、近似值等实际的数学问

17、题中去，通过分析比较得出最简捷的解题方法。 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公 式 4 2. 泰勒公式 2.1 泰勒公式的建立 在研究函数的局部性态及对其进行计算时，往往由于函数的表达式比较复杂， 给研究和计算带来了很大的困难，于是就提出一种想法：能否用一个计算简便而又 能高度逼近的函数来代替原来复杂的的函数呢？而在所有的函数中最简单、最好算 的莫过于多项式函数。因此为了更好更方便的研究一些复杂的函数自然而然地就会 考虑到在局部范围内能否用多项式函数来逼近所研究的函数。如果能，那么这个多 项式要如何给出呢？ 在学习导数和微分概念时，若函数在处可导，则有)(xf 0 x =+)(xf)( 0

18、xf)( 00 xxxf)( 0 xx 即在点附近，用一次多项式+逼近函数，但是在很多场合 0 x)( 0 xf)( 00 xxxf)(xf 用一次多项式逼近函数是不够的，往往需要用二次或二次以上的多项式去逼近函数 并要求误差为。)( 0 n xx 因此现在需要解决的问题是：如何提高精度？如何估计误差？ 令+为的一次多项式，其特点是：)( 01 xP)( 0 xf)( 00 xxxfx )()( 001 xfxp )()( 0 0 1 xfxp 为此我们考察任意次多项式，要求: n)(xpn ,),()(),()( 0 0 00 xfxpxfxp nn )()( 00 )( xfxp nn n

19、 令 n nn xxaxxaxxaaxp)()()()( 0 2 02010 逐次求它在点处的各阶导数，得到 0 x )( xpn 1 0021 )()(2 n n xxnaxxaa 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公 式 5 )( “ xpn 2 0) () 1(! 2 2 n n xxanna )( )( xp n nn an! ， 0 a)()( 00 xfxpn)()( 0 0 1 xfxpa n ，)( ! 2 1 )( ! 2 1 0 “ 0 “ 2 xfxpa n )( ! 1 )( ! 1 0 )( 0 )( xf n xp n a nn nn 故 nn n xxxf n x

20、xxfxxxfxfxp)( ! 1 )( ! 2 1 )( )()( 00 )(2 00 “ 000 接下来将要对余项进行估计，令为余项，则有)()()(xpxfxR nn )( 0 xRn0)()( 0 )( 0 xRxR n nn =( -1) 1 1 1 32 )1)(1( ) 1() 1( 32 )1ln( n n n n n xn x n xxx xx x 要计算1.1 = (1+0.1),可取=0.1，为了使误差不超过 0.00001,则lnln 0 x 1 1 1 1 1 1 1 . 0 ) 1( 1 . 0 )1)(1( 1 . 0 )1)(1( ) 1( n n n n n

21、nn nxnxn x ，解得。00001 . 0 1 . 0 1 n 4n 因此，取=4,有n 0.095308 4 ) 1 . 0( 3 ) 1 . 0( 2 ) 1 . 0( 1 . 01 . 1ln 432 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式在解题中的应 用 18 4.2 利用泰勒公式求极限 对于待定型的极限问题，一般可以利用洛比达法则来求解，但是，对于一些求 导比较繁琐，计算复杂，特别是要多次使用洛比达法则的情况，利用泰勒公式求极 限会简单很多。利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并且采用带佩亚 诺型余项的泰勒公式。当极限式为分式时，一般要求分子和分母展成同一阶的麦克 劳林

22、公式，通过比较求出极限。 例 3 求极限 。 xex x x x ox 2 2 2 sin)(cos 11 2 2lim 解：此题若采用洛必达法则求解, 则十分麻烦, 因而采用下述解法： 由泰勒公式知 )( ! 2 ) 1 2 1 ( 2 1 2 1 1)1 (1 442 2 1 22 xxxxx )( ! 2 1cos 2 2 x x x )(1 22 2 xxe x 又因为当时，0x sin 2 x 2 x 原式 = = = - 。 lim 0x 222 2 442 2 )(1 ! 2 1 )( 8 1 2 1 11 2 xxx x xxx x lim 0x )( 2 3 )( 8 1 4

23、4 44 xx xx 12 1 例 4 用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限 。 x xxx x 3 0 sin cossin lim 解：当时， ，由泰勒公式知 0xsinx 3 3 x )( ! 3 sin 3 3 x x xx )( ! 2 cos 3 3 x x xxx 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式在解题中的应 用 19 )( 3 1 )( ! 2 )( ! 3 cossin 333 3 3 3 xxx x xx x xxxx 对此式作运算时，把两个的高阶的无穷小的代数和仍记作 ，故 3 x)( 3 x = = x xxx x 3 0 sin cossin lim lim

24、 0x 3 33 )( 3 1 x xx 3 1 4.3 泰勒公式在判断级数和广义积分的敛散性中的应用 4.3.1 判断级数的敛散性 在判断级数的敛散性时，当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁杂 形式时，通常利用泰勒公式将级数通项简化或统一形式，以便利用判敛准则。 例 5 判断级数的敛散性。 x n n n n 1 ) 1 ln 1 ( 分析：若直接根据通项去判断该级数是正项级数还是非正项级数会比较困难， 因而也就无法恰当地选择判敛方法。 注意到 ) 1 1ln( 1 ln nn n 若将其泰勒展开为的幂的形式，开二次方后恰好与 呼应，使得判断敛散性更 n 1 n 1 容易进行。 解：

25、 n n1 ln) 1 1ln( nnnnnn 1 4 1 3 1 2 11 432 nn n11 ln 0 1 ln 1 n n n un 所以该级数是正项级数。 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式在解题中的应 用 20 n n1 ln 2 2 332332 ) 2 11 ( 4 111 ) 1 ( 3 1 2 11 n nnnnnnnn 2 3 2 11 n n = n u n n n 1 ln 1 ) 2 11 ( 1 2 3 n nn 2 3 2 1 n 收敛，由正项级数比较判别法可知原级数收敛。 1 2 3 2 1 n n 4.3.2 判断广义积分的敛散性 在判断广义积分的敛散性

26、时, 通常选用广义积分进( ) a f x dx 1 (0) p a dx p x 行比较后通过研究无穷小量的阶来有效地选中的值，从而( ) ()f xx 1 p a dx x p 简单地判定的敛散性（注意到：如果得收敛，则得( ) a f x dx ( ) a f x dx ( ) a f x dx 收敛）。 例 6 判定广义积分的敛散性。dxxxx 6 )233( 解：由 )( ! 2 ) 1( 1)1 ( 22 xx aa axx a 得 )(xfxxx233 2) 3 1 () 3 1 ( 2 1 2 1 xx x 2222 3 19113 1911 (1()(1()2 2828 xo

27、o xxxxxx =) 1 ( 1 4 9 2 3 2 3 xx 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式在解题中的应 用 21 因此，即是的 3/2 阶，因为 3/2 ( )9 lim 1 4 x f x x ( )0f x 1 ()x x 收敛，所以收敛，从而收敛。dx x 6 2/3 1 dxxf 6 )(dxxxx 6 )233( 4.4 泰勒公式在判别函数的极值中的应用 函数的极值在实际问题中占有很重要的地位，并且也是函数性态的一个重要特 征，泰勒公式可以作为研究函数极值的一个重要工具。 例 7 （极值的第二充分条件 ）设在的某邻域内一阶可导，在)(xf 0 x);( 0 xU 处二阶

28、可导，且，。 0 xx 0)( o xf0)( 0 xf (1)若，则于处取得极大值；0)( 0 xf)(xf 0 x (2)若，则于处取得极小值。0)( 0 xf)(xf 0 x 证：由已知条件可得在 处的二阶泰勒公式为：)(xf 0 x )(xf)()( ! 2 1 )()( 2 0 2 00 00 0 xxxxxfxxxfxf 由于 0)( o xf 得 （4-)()( 0 xfxf)()( ! 2 1 2 000 xxxxxf 1） 又因为，故存在正整数，当 时，与0)( 0 xf 1 );( 10 xUx)( 2 1 0 xf 同号。)( ! 2 1 00 xxxf)( 2 0 xx

29、 故当时，（4-1）式取负值，从而对有0)( 0 xf);( 10 xUx 0)()( 0 xfxf 即于处取得极大值，同理当时，则于处取得极小值。)(xf 0 x0)( 0 xf)(xf 0 x 例 8 （极值的第三充分条件 ）设在的某邻域内存在直到)(xf 0 x);( 0 xU 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式在解题中的应 用 22 阶导函数，并且1n （=1,2，-1），0)( 0 )( xf k kn0)( 0 )( xf n 则： (1)当为偶数，且当时，于处取得极大值；时，n0)( 0 )( xf n )(xf 0 x0)( 0 )( xf n 于处取得极小值；)(xf 0

30、 x (2) 当为奇数时，于处不取极值。n)(xf 0 x 证：由已知条件可得在 处的阶泰勒公式为：)(xf 0 xn +)(xf 2 00 00 0 )( ! 2 1 )()(xxxfxxxfxf )()( ! 1 000 )(nnn xxxxxf n 由于 （=1,2，-1）0)( 0 )( xf k kn 得 (4-2) )()( 0 xfxf)()( ! 1 000 )(nnn xxxxxf n 又因为，故存在正整数：0)( 0 )( xf n 1 (1)当 时，且为偶数时与);( 10 xUxn)( ! 1 0 )( xf n n nn xxxf n )( ! 1 00 )( 同号，

31、故当时，（4-2）式取负值，从而对)( 0 n xx 0)( 0 )( xf n 有);( 10 xUx0)()( 0 xfxf 即于处取得极大值，同理当时，则于处取得极小值。)(xf 0 x0)( 0 )( xf n )(xf 0 x (2)而当为奇数时:n 若，与 异号； 0 xx0)( 0 n xx)( ! 1 0 )( xf n n nn xxxf n )( ! 1 00 )( )( 0 n xx 若，与 同号， 0 xx0)( 0 n xx)( ! 1 0 )( xf n n nn xxxf n )( ! 1 00 )( )( 0 n xx 所以于处不取极值。)(xf 0 x 东华理

32、工大学毕业设计（论文） 泰勒公式在解题中的应 用 23 4.5 泰勒公式在不等式证明中的应用 关于在不等式的证明方面，我们已经知道有很多种方法，比如利用函数的凸性 来证明不等式，利用拉格朗日中值定理来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来 得到函数的单调性，从而证明不等式的方法，同样泰勒公式也是不等式证明的一个 重要方法。 如果函数存在二阶及二阶以上导数并且有界，利用泰勒公式去证明这些不)(xf 等式，一般的证明思路为： (1)写出比最高阶导数低一阶的函数的泰勒展开式； (2)恰当地选择等式两边的与；x 0 x (3)根据最高阶导数的大小对函数的泰勒展开式进行缩放。 例 9 设在 0，1上具有二

33、阶导数，且满足条件 ，)(xfaxf)( 其中，b 为非负常数，证明对任意 (0，1)，有 bxf)( ax 2 2)( b axf 。 证明 ：已知在 0，1上具有二阶导数，则由泰勒展开式得)(xf ，在与 t 之间。)(tf 2 )( ! 2 1 )()(xtfxtxfxfx 分别令 = 0, = 1 得tt ， (4-3)0(f 2 1 )( ! 2 1 )()(xfxxfxf10 1 x , (4-4) 1 (f 2 2 )1)( ! 2 1 )1)()(xfxxfxf10 2 x (4-3)-(4-4)得 2 1 2 2 )()1)( 2 1 )0() 1 ()(xfxfffxf 于

34、是 + + 2 1 2 2 )( 2 1 )1 ()( 2 1 )0() 1 (| )(|xfxfffxfaa)1( 2 1 22 xxb 由于在 0 l 时，有x 22 )1 (xx1 所以有 2 2)( b axf 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式在解题中的应 用 24 例 10设在（）上满足 ，证明：)(xf,0)( xf 。)( 21 n xxx f n n xfxfxf n) ()()( 21 证 ：令 n xxx x n 21 0 则 n xxxnx 210 则由泰勒展开式得 ，)(xf 2 0 00 0 )( ! 2 1 )()(xxfxxxfxfxx 9 当时亦有 k x

35、x ), 2 , 1(nk )( k xf 2 0 00 0 )( ! 2 1 )()(xxfxxxfxf kkk 其中在与之间。 k 0 x k x 因为，所以有)( xf0 )( k f0 因此有 )( k xf)()( 00 0 xxxfxf k ), 2 , 1(nk 从而得到 n k k xf 1 )()()()( 0 1 0 0 xxxfxnf k n k =)( 0 xnf 则 =)( 0 xf n k k xf n 1 )( 1 n xfxfxf n) ()()( 21 即 。)( 21 n xxx f n n xfxfxf n) ()()( 21 东华理工大学毕业设计（论文）

36、 泰勒公式在解题中的应 用 25 4.6 泰勒公式在判断函数凹凸性及拐点中的应用 泰勒公式是数学分析的一个重要内容，在很多领域的各个方面都有着广泛的应 用，很多书中利用它来判断函数的单调性、极值，由于泰勒公式的广泛应用，因此 尝试着利用泰勒公式来讨论函数的凹凸性及拐点。 4.6.1 判断函数凹凸性 定理 4.1 设为区间I上的二阶可导函数 .若()，则在( )f x( )0fx0)( xf I上为凸(凹)函数 。( )f x 证明：设为区间I内任意两点,且足够小。为中的任意ba ba, 12 xxba, 两点，记。 012 ()/ 2xxx 由定理条件的泰勒公式 2 2 00 0000 ()(

37、) ( )()()()() 2! fxxx f xf xfxxxo xx 所以有 2 0 12001002010 () ()()2 ()()()()()() 2! fx f xf xf xfxxxfxxxxx 222 0 102020 () ()()() 2! fx o xxxxo xx 因为余项是的高阶无穷小，且又为足够小，所以泰勒公式 2 () n xx 12 ,x x 与同号，又因为 22 0 00 () ()() 2! fx xxo xx 0 ()fx 012 ()/ 2xxx 所以有 010020 ()()()()0fxxxfxxx 可得： 2 01 2 022 210021 )(

38、! 2 )( )( )(2)()(xx xx xxxfxfxfxf 0)( 2 02 xx 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式在解题中的应 用 26 )0)()( ! 2 )( )( )(2)()( 2 02 2 01 2 022 210021 xxxx xx xxxfxfxfxf 即 ()0)(2)()( 021 xfxfxf0)(2)()( 021 xfxfxf 所以 ()2/)()()( 210 xfxfxf2/)()()( 210 xfxfxf 由于的任意性，可得在足够小的区间上为凸(凹)函数，再由 12 ,x x( )f xba, 的任意性，可得在区间I内任意一个足够小的区间内部

39、都为凸(凹)函数。ba,( )f x 4.6.2 判别函数拐点 定理 4.2 若在处可导，在某邻域内阶可导，且满足( )f x 0 x 0 (, )U xn ，且0)()( )( 0 )1( 00 xfxfxf n 0 ()0(2) n fxn 则： （1）若为奇数，则为曲线=的拐点；n 00 (,()xf xy( )f x （2）若为偶数，则不是曲线=的拐点 。n 00 (,()xf xy( )f x 证明：在处的泰勒公式( )fx 0 x 22 000000 ( )()()()()()/(2)!() nnn f xfxfxxxfxxxno xx 因为 (1) 000 ()()()0 n f

40、xfxfx 所以 22 000 ( )()()/(2)!() nnn fxfxxxno xx 余项同样是的高阶无穷小。 2 0 ()nxx 因此： 当为奇数时,()仍为奇数，在和上nn2)( 0 xU )( 0 xU 符号相反，即的符号相反，所以为曲线= 2 00 ()()/(2)! nn fxxxn ( )fx 00 (,()xf xy 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式在解题中的应 用 27 的拐点；( )f x 当为偶数时，()仍为偶数，则在和上的符号相同，nn2( )fx)( 0 xU )( 0 xU 所以不是曲线=的拐点。 00 (,()xf xy( )f x 4.7 泰勒公式在

41、行列式计算方面的应用 在代数学中，有关利用代数知识计算行列式方法很多，但应用微分学的方法计 算行列式的却很少见。然而利用泰勒公式求解行列式确实非常有效，下面介绍利用 泰勒展开式计算行列式。 利用泰勒公式计算行列式的一般思路： (1)根据所求行列式的特点，构造相应的行列式函数； (2)把要求的行列式函数按泰勒展开式在某点展开； (3)求出行列式函数的各阶导数值。 例 11 求阶行列式n D = xaaa bxaa bbxa bbbx 解：记按泰勒公式在处展开：,)(Dxfna (4-5) n n nnnn axaf n axafaxafafxf)( ! 1 )( ! 2 1 )( )()( )(

42、 2 易知 (4-6) )1( )( 000 00 00 00 k baa ba bba bba bba D 由（4-6）可得时均成立。nkbaaaf k k , 3 , 2 , 1,)()( )1( 根据行列式求导的规则，易知 ， ， ，)()( 1 xnfxf nn )() 1()( 21 xfnxf nn )(2)( 12 xfxf1)(1xf 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式在解题中的应 用 28 于是在处的各阶导数为)(xfnax axnn xfaf )()( = 2 1 )()( n n banaanf axnn xfaf )( )( = 3 1 )() 1()( n n b

43、aannanf ax n n n n xfaf )()( )1()1( =annafnn2) 1()(2) 1( 1 !)( )( naf n n 把以上各个导数代入（4-5）中，有 2321 )()( ! 2 ) 1( )()( ! 1 )()(axbaa nn axbaa n baaxf nnn n + nn ax n n axa n nn )( ! ! )( )!1( 2) 1( 1 如果，则有；ba ) 1()()( 1 bnxbxxf n n 如果，则有。ba ba axbbxa xf nn n )()( )( 东华理工大学毕业设计（论文） 结论及展 望 29 结论及展望 泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，也是研究数学各个领域的不可或缺的 工具。本文章是在大量查阅有关泰勒公式的资料的基础上作出的初步整理，这篇文 章主要对泰勒公式在近似值计算、求极限、判断级数和广义积分的敛散性、判别函 数的极值证明不等式、判断函数凹凸性及拐点、行列式计算等方面做了简单系统的 介绍和分析，从而体现了泰勒公式在微分学应用中的重要的地位，特别是本文另外 讨论了泰勒公式的一种新的证明方法并将其推广，进而得到了泰勒余项的两种更一