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1、合肥师范学院2014届本科生毕业论文（设计）学号：1007410101 本科毕业论文（设计）(2014 届) 留数定理及其应用 院 系 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 指导教师 职 称 16摘要留数定理是复积分和复级数理论相结合的重要产物之一，只有正确理解并掌握孤立奇点的概念，进一步研究孤立奇点的分类，还有函数在孤立奇点的留数概念，才能解决一些实际问题中涉及留数的应用。理解并掌握留数的计算方法，尤其是极点处留数的求解方法，以及实际求解中会应用留数求一些实积分。我们现在所学习还有研究的留数理论就是是柯西积分理论的延续，泰勒级数和洛朗级数与其密切联系，是研究解析函数的重要工具。留数
2、在复变函数论本身和实际应用中都是有其重要地位的，尤其是与计算周线积分的问题密切相关。此外，我们还可以运用留数理论已知条件去解决“大范围”的积分计算问题，也可以访问一个函数的零点分布区域问题。关键词：留数理论；留数的计算；积分；留数的应用ABSTRACTResidue theorem is the combination of the theory of integral and series, need to correct understanding of the concept and the classification of isolated singularity of isolat
3、ed singularity and function in the isolated singularity residue concept. Mastering the residue method, especially in pole residue, practice with residue and some solid points. Residue is one of important concepts in the theory of complex function, and analytic function in the isolated singularity, c
4、auchy composite Laurent expansion of closed circuit theorem and so on all are closely linked. Now research of residue theory is a continuation of cauchy integral theory. The insert in the middle of the Taylor series and Laurent series is a powerful tool to study analytic function. Residue in the com
5、plex variable function theory and practical application is important it and calculating contour integral (or boil down to examine cycle line integral) problems have close relationship. In addition the residue theory, we have conditions to solve the problem of large scale integral calculation, can al
6、so examine zero point of function in the area of distributionKey words：Residue theory; The calculation of residue; Integral; The application of residue 目录摘要IABSTRACTII1.引言12留数12.1留数的定义及留数定理12.2留数的求法22.3函数在无穷远点的留数33.用留数定理计算实积分43.1计算型积分53.2 计算型积分63.3计算型积分73.4 计算型积分93.5 计算积分路径上有奇点的积分103.6.留数定理在级数求和中的应用
7、114.辐角原理及其应用124.1对数留数124.2辐角原理145.结束语15参考文献161.引言留数理论是柯西积分理论的延续，泰勒级数和洛朗级数与其密切联系，是研究解析函数的重要工具。留数在复变函数论本身及实际应用中都有其重要地位的，它和计算周线积分(或归结为考察周线积分)的问题有密切相关。此外，我们还可以应用留数理论已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，也可以访问一个函数的零点分布区域问题. 留数定理是复变函数理论中十分重要的结论，它的价值在于：实值函数理论中的一些难点问题在于其复杂的功能集成，于此可以更容易地得到解决的同时，在空气动力和流体力学中广泛出现的围线积分的计算也依赖于留数，因
8、此，如何有效简便计算留数越来越受到相关科学工作者、学者与工程工作者的重视。2留数2.1留数的定义及留数定理若函数在点是解析的，则周线C都在点的某个邻域内，且包围点,则根据柯西积分定理但是,若的一个孤立奇点为点，且点的某个去心邻域包含周线C，并包围点，则积分的值，一般来说，不再等于零.然后利用洛朗级数公式就很容易计算出它的结果来.定义2.1 设函数是以有限点为孤立奇点，即在点的某个去心邻域内解析,则称积分 (C：=, )为在点的留数，记为定理2.1（柯西留数定理）设函数 周线或复周线 C范围除有限个孤立点处处解析。周线C是区域D内包围各个奇点的一条正向简单闭曲线，则 (2.1)注1:除上述关于留
9、数的定义外，留数还可定义为 ，其中是以为中心的圆环域内的洛朗级数中负幂项 的系数。2.2留数的求法一般情况下, 求函数在孤立奇点处的留数,通过留数的定义,然后求出其以为中心的圆环区域中的洛朗展式中负一次幂项的系数。 但在实际求解时我们不需要这样来求, 而是先分析函数孤立奇点的类型，最终计算起来也比较简便。定理2.2 设为的阶极点，其中（由定理5.4）在点解析，则. （2.2）这里符号代表，且有.注：如果能从中消去，则消去后直接代值计算，否则，需计算极限推论2.3设为的一阶级点， ，则 . （2.3）推论2.4 设为的二阶极点，则 . （2.4）定理2.5 设为的一阶级点（只要及在a点解析，且）
10、，则 （2.5）例 2.1 计算积分 .解 经分析得被积函数 在圆周的区域内部只有一阶级点及二阶极点.由推论2.4，；由推论2.5 故由留数定理得 .例2.2计算积分 （n为正整数）.解 只以,()为一阶级点.由推论2.3得（).于是，由留数定理得.例2.3求在处的留数.解 是的二阶极点，由推论2.4得.2.3函数在无穷远点的留数定义2.2 设函数在圆环内解析，周线为圆环内绕原点的任一正向简单闭曲线，那么称为在无穷远点的留数，记为，其中与曲线是方向相反但重合的两条曲线。定理2.6 若函数在扩充平面上只有有限个孤立奇点（无穷远点包括在内），设为，则在各点的留数总和为零，即 （2.6）证明：设的有
11、限个孤立奇点为。以原点为中心，为半径作一个的足够大的圆，使得圆的内部包含，由柯西留数定理可得 ，又因，所以 但是，虽然在的有限可去奇点处，必有，但如果以为的可去奇点（或解析点），则可以不是零. 例如： 为可去奇点，但. 为了计算这种情况引入的另一公式. 令 于是，且平面上无穷远点的去心邻域被变成平面上无穷远点的去心邻域；圆周被变成圆周从而易证 .所以 . （2.7）3.用留数定理计算实积分用留数定理来计算某些实的定积分，特别是对原函数不容易直接求出结果的定积分与反常积分，是一个非常有效的方法，其关键是将它转化为复变函数的周线积分，然后简便计算。3.1计算型积分 这里表示的有理函数，并且在上连续
12、.若命，则，当在变化时，z沿圆周|z|=1的正方向绕行一圈.于是有 上述等式右端是z的有理函数的周线积分，而且积分路径上没有奇点，运用留数定理便可求得其结果.注：上式的关键是应用变数代换，对于被积函数在上的连续性不需要先检验，只需看变换后的被积函数在上是否有奇点即可.例3.1计算积分 .解 命，则.当时，这样就有 ，且在|z|1内，只以为一阶级点，在上无奇点，依公式（2.4）所以，由留数定理得上述所用方法为留数定理来求积分，如果不用留数定理应该怎么计算呢？下面我们用一般求积分的方法来求这个实积分。令 ，则 ， 因为 所以 代入原式得 从上面的式子来看我们还是无法求解，被积函数的原函数依然不清晰
13、，所以应用留数定理得计算显得尤为重要。例3.2 计算积分 m为正整数.解 因为被积函数为的偶函数，故命 则 .设 ，则.在圆周内部，被积函数仅有一个一阶级点，故由留数定理，于是知 ，所以 在实际问题中，总是有一些反常积分的计算，如： （光的折射）； (有阻尼的振动)；（热传导）等等.如果用数学分析中计算反常积分的方法，计算以上几个反常积分时很麻烦的，而且没有统一的处理方法。但是根据留数定理来计算还是比较简洁的.3.2 计算型积分为了计算这种反常积分，首先给出一个引理及其证明.它主要是用来估计辅助曲线上的积分.引理3.1 设沿圆弧上连续，且于上一致成立（即于中的无关）则. （3.7）证 因为 ，
14、于是有 （3.8）对任意，由已知条件，存在，使当时，有不等式.于是（3.8）式不超过.定理3.7 设为有理分式，其中与 是互质多项式，同时符合条件要求：（1）；（2）在实轴上，于是有. （3.9）例3.3 设，计算积分.解 方法一：因 = ，它一共有四个一阶级点，且符合定理2.2的条件.而（这里用到了）.在上半平面内只有两个极点，于是方法二：已知反常积分有对上式经变形得 令 则 代入上式得计算到这一步同样是被积函数原函数不易找到，所以留数定理可以完美解决，不需求出原函数便可求出积分的值。3.3计算型积分引理3.2(若尔当定理) 设函数沿半圆周上连续，且在上一致成立.则.证 对任意，存在，使当时
15、，有于是，就有 （3.10）这里利用了.于是，由（若尔当不等式） 将（3.10）化为定理3.8 设，其中及时互质多项式，且符合条件：（1）的次数比的次数高，（2）在实轴上，（3），则有 （3.11）特别是，将（3.11）分开实虚部，就可以得到形如例3.4 计算积分 .解 经验证，函数 满足若尔当引理的条件，这里，.函数有两个一阶极点 于是 .通过比较等式两端的实部和虚部，便可得结果如下3.4 计算型积分设是有理函数，并且分母次数比分子次数至少高二次，这时，设辅助函数。然后把复平面沿正实轴（包括原点）作为支线割开，得到它的单值域。取的在正实轴上为实值的分支，其相应记为，若是在内的各个极点，则 （
16、3.12）例3.5 计算。解 考察辅助函数，易知在处有四阶极点，其留数为，故由公式（3.12）得出.3.5 计算积分路径上有奇点的积分在数学分析中，对于瑕积分也可以类似的定义它的柯西主值.定理2.5中假定无实零点，现在把条件放宽些，若有有限多个一阶零点，即允许函数在实轴上有有限个一阶极点.为了计算这种积分还需要一个引理.引理3.3 设沿圆弧上连续，且于上一致成立，则有 例3.6 计算积分.解 存在，且.考虑函数沿闭曲线路径C的积分.根据柯西积分定理得 或写成 （3.13）这里分别表示半圆周.由引理3.2知由引理3.3知.在（3.13）中，令取极限即得的主值所以 .3.6.留数定理在级数求和中的
17、应用设是分母次数比分子次数高两次以上的有理函数，而且函数极点都不是整数，则 （3.14） 例3.6 求级数的和.解 取，可得有一个三阶极点，其留数为故由公式（3.14）得出：.4.辐角原理及其应用4.1对数留数 留数理论的重要理论之一是计算积分，称它为的对数留数。由它推出的辐角原理为计算解析函数零点个数提供了一个有效方法.特别是，对于一个指定区域内多项式零点的个数问题可以借此进行深入研究。显然，函数的零点和奇点都可能是的奇点.引理4.4 （1）设为的阶零点，则必为函数的一阶极点，并且；（2）设为的阶极点，则必为函数的一阶级点，并且.证 （1）如为的阶零点，则在点的邻域内有，其中在点的邻域内解析
18、，且.于是，由于在点的邻域内解析，故必为函数的一阶极点，且.（2）如为的阶极点，则在点的邻域内有，其中在点的邻域内解析，且.由此得，而在点的邻域内解析.故必为函数的一阶级点，且.定理4.9 设是一条周线，符合条件;(1) 在的内部是亚纯的；(2) 在上解析且不为零.则有 ， （4.15） 式中分别为在内部的零点和极点的个数（一个阶零点算作个零点，而一个阶极点算作个极点）.4.2辐角原理对于公式（4.15）的左端的对数留数，有这么个意义.为了说明这个意义，我们将它改写成 函数是单值函数，当从起绕行周线一周回到时，有.另一方面，当从起绕行周线的正方向一周回到时，的值可能改变.辐角原理 在定理（4.
19、9）的条件下，在周线内部的零点和极点的个数之差，就等于当沿之正方向绕行一周后的改变量除以，即 （4.16）其中，.若在周线上及内部均解析，且在上不为零，则 （4.17）例4.1 设，试验证辐角原理.解 在平面上解析，在上无零点，且在的内部只有一阶零点及二阶零点.所以，一方面有 ；另一方面，当沿之正方向绕行一周时，有于是，有（4.16）成立.5.结束语通过大学对复变函数的学习，我们知道复变函数包括许多复杂又陌生的内容，而留数及其应用用在复变函数及实变函数中都很重要。本文中主要介绍了留数的概念，留数理论，留数的计算方法及其在各种积分中应用，但留数其他方面的应用，这还有待于我们进一步探索研究.毕业论
20、文要求我们既要对复变函数系统的复习，还要对自己所学到的知识进行一次系统的梳理。在写论文的过程中，对于以前学过的知识我又重新开始了学习，然后获取新的且更加深入的认识。但在这个过程中还是遇到了许多困难，由于我们所了解的知识有限，因此写论文，将不可避免有许多的缺陷，但我相信只要努力就会有收获。最后，感谢指导老师这段时间给予我悉心指导，还有老师及组员之间的沟通，还有做事需要一个严谨的态度，再次向老师表达我最真挚的诚意。参考文献1钟玉泉.复变函数第三版M.高等教育出版社，2004.2徐利志.现代数学手册经典数学卷M.华中科技大学出版社，2001.3陆庆乐.工程数学：复变函数（第三版）M.高等教育出版社，
21、1996.4林全楠.基于留数定理的一种级数求和法M.高等数学研究，2009.5莫叶.复变函数论（第二册）M.山东科学技术出版社,1982.6贺才兴.复变函数与积分变换M.辽宁大学出版社，2002.7焦红伟，尹景本.复变函数与积分变换M.北京大学出版社，2006.8林金楠 ,基于留数定理的一种级数求和法M.高等数学研究，2008.9沈燮昌，复变函数论基础M.上海科技出版社，1983.10R.N.Banya.Application in computers of a system of calculating residue classes with residues least in absolute valueM. Kluwer Academic Publishers-Plenum Publishers ,1967.