矩阵秩论文.doc

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1、- 1 - 矩阵的秩的一些结论的证明矩阵的秩的一些结论的证明 摘要摘要 矩阵是高等代数中主要的一个研究对象,它贯穿着整个高等代数的内容,而 矩阵的秩作为矩阵最主要的特征,研究它的结论和性质就变得尤其重要.本文主 要从矩阵的秩的结论和矩阵的秩的应用两方面介绍了矩阵的秩,并对矩阵的秩的 大量性质进行了研究、证明及应用.其中包括矩阵的秩的求解和矩阵的秩的一些 不等式,而且还涉及到了矩阵的秩在求解方程组和向量相关问题上的应用. 关键词关键词：矩阵的秩；矩阵的秩的定义；矩阵的秩的结论；矩阵的秩的应 用 - 2 - The Conclusion of the Matrix ranks proof Abst

2、ract Matrix is an object in the Advanced Algebra to be studied, which runs through the whole content of the Advanced Algebra, however, the rank of matrix as its main characteristics. The conclusions and the natures study become such an important part. The paper is divided into two parts to introduce

3、 the matrix, which are the conclusions and the application of the rank. At the same time, the nature of the rank has been studied, proved and used in the paper. Among the applications, including the solution to the rank and some inequality, the paper also includes the application of rank about solvi

4、ng the equations and questions of the vector correlation. Keywords: the rank of the matrix; the definition of the rank; the conclusion of the rank; the applications of the rank. - 3 - 目录 引言引言 .- 1 - 1.矩阵的秩的两种定义矩阵的秩的两种定义 .- 2 - 2.引理引理- 2 - 3.矩阵的秩的一些结论及其证明矩阵的秩的一些结论及其证明 - 4 - 3.1 命题 1.- 4 - 3.2 命题 2.-

5、5 - 3.3 命题 3.- 6 - 3.4 命题 4.- 6 - 3.5 命题 5.- 7 - 3.6 命题 6.- 8 - 3.7 命题 7.- 9 - 3.8 命题 8.- 9 - 3.9 命题 9.- 10 - 3.10 命题 10（FROBENIUS不等式）.- 10 - 3.11 命题 11.- 11 - 3.12 命题 12.- 12 - 3.13 命题 13.- 12 - 3.14 命题 14.- 13 - 3.15 命题 15- 14 - 3.16 命题 16.- 14 - 3.17 命题 17.- 15 - 3.18 命题 18- 16 - 4.矩阵的秩的一些结论的应用矩阵

6、的秩的一些结论的应用- 17 - 总结总结- 22 - 致谢致谢- 23 - 参考文献参考文献- 24 - - 1 - 引言引言 矩阵的秩是高等数学中一个极其重要并广泛应用的概念,是高等代数的 一个重要研究对象.因此,矩阵的秩的结论作为高等代数的一个重要工具已 经渗透到各章节内容之中,它把高等代数的内容紧紧联系在一起,矩阵的秩 作为矩阵的一个重要的本质属性则贯穿矩阵理论的始终.所以对于矩阵的秩 的研究不仅能够帮助我们更好的学习矩阵,而且他是我们学习好高等代数各 章节的有力保障.矩阵中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵的矩AA 阵的秩,记为或矩阵的秩.从定义上看, 一个矩阵的秩, 就是一)(A

7、rank)(A 个数.事实上,若将矩阵的每一行看成一个向量,每一列看成一个向量,则A 行向量组和列向量组中极大无关组中向量的个数是相等的,数量上等与矩阵 的秩.若,则称为行满秩的矩阵；若,)()(nmmArankA)()(mnnArank 则称为列满秩矩阵.阶方阵的秩等于时称为满秩矩阵或可逆矩阵.AnnA - 2 - 1. 矩阵的秩的两种定义矩阵的秩的两种定义 矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念,秩是矩阵的一个非常重要的 数值特征,是由 F.G.Frobenius(1877)提出的. 定义定义 1 1 设是任意矩阵.若则说的秩为；若则的非零子AAA0AA 式的最高阶数就称为的秩,记为秩.

8、AA 定义定义 2 2 设在矩阵中有一个不等于的 阶子式,则所有阶子式（如ArD1r 果存在的话）全等于,那么称为矩阵的最高阶非零子式,数 称为矩阵DAr 的秩,记作.并规定零矩阵的秩等于.A)(Ar0 2. 引理引理 2.12.1 引理引理 1 1 、分别为和矩阵,则恒成ABnmst )()()(BrAr B A r 立. 1 证明：设存在可逆矩阵,使得 1 2 1 Q 2 Q , s r D D Q Q B A 2 1 2 1 其中、分别是由 个和 个线性无关的单位向量组成,且与 r D s Drs T r D 是线性无关的向量组,所以 T s D ,srBrAr D D r s r )(

9、)()( 因此得出 .)()()(BrAr B A r 引理 1 中通过分块矩阵构建了秩与两个模块矩阵秩的和相等的矩阵,可以直 观方便的通过分块矩阵运算来实现某些性质的证明,有效的简化了证明路径,为 以下命题的证明即提供了一种方法,又提供了相应的结论. - 3 - 2.22.2 引理引理 2 2 、分别为和矩阵,则成立.ABnmst )()()(BrAr BC A r 证明：由引理 1 得 ,)()()(BrAr B A r 因为 ,)()(Ar C A r 所以 .)()()(BrAr BC A r 且当时,)()(Ar C A r .)()()(BrAr BC A r 如上证明对引理 1

10、做了补充和扩展,对于便于分块的矩阵的秩的确定提供了 方法. 2.32.3 引理引理 3 3 存在阶矩阵,为解向量的极大无关组,nA T i xxxx),( 21 0Ax 则.nxrAr)()( 证明：对方程组 , 0 0 0 2 1 21 22221 11211 nnnnn n n x x x aaa aaa aaa 化简得 - 4 - , 0 0 0 00000 10 01 2 1 22221 11211 n rn rn x x x kkk kkk 得出 , rAr 方程组解为 , 100 010 001 )(21 11211 rnrnrnrn rn xxx xxx x 所以 ,rnxr)(

11、 即 .nxrAr)()( 该引理将矩阵秩的性质与方程组解维数联系起来,对于判断方程组解的维数 或者通过方程组的解了解相乘矩阵的秩的问题提供了方法. 注:引理部分为基础性命题,对以下证明过程起辅助作用,是为了便于以下命 题的证明.以上证明过的引理下面的命题均可直接引用.以上命题对矩阵秩的范 围,以及矩阵秩与极大线性无关组的关系进行了证明与阐述. 3. 矩阵的秩的一些结论及其证明矩阵的秩的一些结论及其证明 3.13.1 命题命题 1 1 设是阶方阵,则当且仅当. .An0AnAr)( 2 证明：令,则与 等价,)()(nrrArA r - 5 - 即存在可逆矩阵、使得PQ , r AQ 取其行列

12、式得 .0 r AQQA 所以,当且仅当时,nAr)( .0A 该命题是互逆命题,即条件结论可互换,也就是说满秩与行列式非零是等价 的,可根据有效条件判断行列式是否等于零或者是否满秩矩阵. 3.23.2 命题命题 2 2 矩阵的乘积的秩不超过各因子的秩.即：设是矩阵,是AnmB 矩阵,则sn .)(),(min)(BrArBrA 证明：设非零矩阵,. nmij aA )( snij bB )( 可表示为的列向量的线性组合,即：ABA , nsnn s s n bbb bbb bbb AB 21 22221 11211 21 ),( 所以.)()(ArABr 可表示为的行向量的线性组合,即：AB

13、B , nnsnn s s aaa aaa aaa AB 2 1 21 22221 11211 所以 - 6 - .)()(BrABr 可得 .)(),(min)(BrArBrA 此证明将矩阵分为多个列向量或行向量来处理的,向量组是列向量组AB 通过矩阵的映射,同时也可说向量组是行向量组通过矩阵的映射.ABABBA 上述证明说明了映射向量组不能增大基向量组的秩. 3.33.3 命题命题 3 3 若可逆矩阵,使,则.PQBPAQ )()(BrAr 证明：初等行变换与初等列变换不改变矩阵的秩, 即对矩阵进行列PAQA 变换和行变换，所以.)()()(BrArPAQr 该命题体现了初等变换的性质,以

14、及相似矩阵的特别,对于较为复杂的矩阵 的秩的求解起到简化作用,可以通过求解相似或等价矩阵的秩来实现. 3.43.4 命题命题 4 4 若,则的伴随矩阵的秩与的秩有如下关系： 2nA * AA . 2)(0 1)(1 n)( )( * nAr nAr Arn Ar 当 当 当 证明：当,所以；2)( nAr * A0)( * Ar 当,1)( nAr 即 , )1()1( )2(2111 nn nnjnjn A AAAAA 其中，nj, 2 , 1 . 1 nj 所以；1)( * Ar - 7 - 当,因为,所以,因为为满秩矩nAr)(AAA* A A A 1 * 1 A 阵,所以.nAr)(

15、* 伴随矩阵是一特殊矩阵,可用以求解逆矩阵,伴随矩阵的秩与对应矩阵关系 如上命题所示,可用以相互求解和验证秩的大小. 3.53.5 命题命题 5 5 两矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：设 、均为矩ABnm 阵,则 . 3)()()(BrArBAr 证明：由分块矩阵的初等变换 , 2112 BBA A BA A B A bcbcbrbr 则 ,)()()( B A r BBA A r BA r 由引理 1 得 ,)()()(BrAr B A r 所以 .)()()(BrArBAr 此证明过程用到了分块矩阵,分块矩阵使未知矩阵和方便分块的矩阵的变换 变得简单,过程清晰,便于理解.分块矩阵初等变换

16、的规则如下注解所示.上述过 程证明了两矩阵和的秩小于两矩阵秩的和,可用于判断和矩阵的范围. 注 表示将矩阵的第一行加到第二行上. BA A B A brbr 12 B A - 8 - 表示将矩阵的第二列加到第一列上. BBA A BA A bcbc 21 BA A 3.63.6 命题命题 6 6 设,均为矩阵,则ABnm .)()()()()(BrArBArBrAr 证明： 由命题 5 得 ,)()()(BrArBAr 即 ).()()()()(BrArBrArBAr 则由分块矩阵的初等变换 , BB BA B BBA B BA bcbcbrbr 2121 可得 ,)()()(Ar BB BA

17、 r B BA r 由引理 1 得 ),()()(BrBAr B BA r 所以 ).()()(BrBArAr 即 ).()()(BArBrAr 因此得出结论 ).()()()()(BrArBArBrAr - 9 - 上述证明同样运用了分块矩阵初等变换.并进一步求解了和矩阵、差矩阵的 秩的范围. 3.73.7 命题命题 7 7 设为, 为的矩阵,则 AnmBsn .)()()(nBrArABr 证明：由分块矩阵的初等变换 , 2121 n bcBbc n brAbr n B AAABAB 得 ),()()( B A r B A r AB r nn 得 ),()()(BrArnABr 即 .)(

18、)()(nBrArABr 通过分块矩阵的初等变换很方便的求出两矩阵积的秩大于等于两矩阵秩的 和减去维数. 3.83.8 命题命题 8 8 设为,为的矩阵,满足,则AnmBsnAB .4nBrAr)()( 证明：存在极大无关解向量组 , T n xxxx),( 21 使得 ,0Ax 由引理 3 得 - 10 - ,nmxrAr,min)()( 因为,所以为的解向量组,是极大无关向量组ABBA T s) ,( 21 A 的线性组合, 那么 ,)()(xrBr 得证 .nBrAr)()( 该命题用到引理 3 的结论,是通过构建方程组来确定矩阵的秩的特性,对于 该命题还可以通过构矩阵的秩为两矩阵的秩和

19、的分块矩阵来证明,实现较为复杂. 3.93.9 命题命题 9 9 设是阶矩阵,从矩阵中任取 行组成矩阵,AnmrAr)(AsB 则 .nsrBr)( 证明：设,把矩阵的 个无关向量扩充到的一个极大无关向量组tBr)(BtA 需要扩展个向量,因为，不一定为满秩矩阵, tr AB 所以 ,snmtr),min( 即 .nsrBr)( 3.103.10 命题命题 1010（FrobeniusFrobenius 不等式）不等式）设,分别为,矩阵,ABClmsl ns 证明 .)()()()(BrBCrABrABCr 证明： 构造如下矩阵,并进行运算得, - 11 - , BCB ABC B ABCAB

20、 可知 .)()( BCB AB r B ABCAB r 由引理 2 得 ),()()(BrABCr B ABCAB r ),()()(BCrABr BCB AB r 所以 .)()()()(BCrABrBrABCr 即 ).()()()(BrBCrABrABCr 3.113.11 命题命题 1111 设均为矩阵,且 k AAA, 21 nm 则1)()()( 21 k ArArAr .kAAAr k )( 21 证明：由命题 5 得 . ),()()( ),()()( ),()( ),( 21 4321 321 21 k rrr rrr rr r k k k k AAA AAAAA AAAA

21、 AAA - 12 - 3.123.12 命题命题 1212 设、均为阶方阵.则ABn .)()()(BrArBAABr 证明：构造如下矩阵并进行运算得： , AAB BAABB A BA 可知 ,)()()()(BrAr A BA r AAB BAAB r 其中 ),()(BAABr AAB BAAB r 所以 .)()()(BrArBAABr 3.133.13 命题命题 1313 设、均为矩阵, 、 均为矩阵,则ACnmBDsn .)()()(DBrCArCDABr 证明：构造分块矩阵,并进行如下运算 , DB CDABCAB DB CA C s n n m 其中、为可逆矩阵,所以 n m

22、 C s n B ),()()()(DBrCAr DB CDABCA r DB CA r 所以 - 13 - ).()()()(DBrCAr DB CDABCA rCDABr 即 .)()()(DBrCArCDABr 3.143.14 命题命题 1414 设是阶方阵,为非负整数,则Anmk .8)()() 1()( 22 AA rmrmAr m 证明：用数学归纳法,当时显然成立.0m 由命题 10(Frobenius 不等式) ).()()()(BrBCrABrABCr 得： ),()(2)()()()()( 23 ArArArAArAArAAArAr 所以当时不等式成立.1m 假设当时不等式

23、成立,即：km ),()() 1()( 22 ArkAkAr k 于是 , )() 1()()2( )()()()() 1( )()()( )()( 2 22 1 13 ArkArk ArArArkArk ArAArAAr AAArAr k kk 所以当时不等式成立.1 km 故 ).()() 1()( 22 ArmArmAr m - 14 - 3.153.15 命题命题 1515 设是阶方阵,且则对任意自然数,有An)()( 2 ArArk .)()(ArAr k 证明：构造分块矩阵 2 2 A A 由 Frobenius 公式得 ),()()()()()()( 3 332 2 2 22 A

24、rAr A A r A AA r AA A rArAr 由,得)()( 2 ArAr ),()()()()( 2223 ArArArArAr 由定理 2 得 ),()()( 223 ArAArAr 所以 ),()( 23 ArAr 以此类推 ).()()()( 432k ArArArAr 所以得 .)()(ArAr k 3.163.16 命题命题 1616 设是非异阵,是阵,则A DC BA nm 5 ).()()( 1B CADrAr DC BA r 证明： - 15 - , 11 BCAD BA DC BA CA rm r 而是个非异阵,所以A . )()()()( 1 1 BCADrAr

25、 BCAD BA r DC BA r 即 ).()()( 1B CADrAr DC BA r 3.13.17 7 命题命题 1 17 7 设是阶方阵,且,试证An 2 A .)()(nArAr km 其中、为自然数.6mk 证明：因为 ,)(22)()( 2 AAAAA 所以 .)()( 2 ArAr 由命题 15 得 .)()(ArAr m 同理 .)()(ArAr k ,0)()( 22 AAA 由命题 8 得 .nArAr)()( 又.nAArArAr)()()( - 16 - 所以 ,nArAr)()( 即 .nArAr km )()( 3.183.18 命题命题 1818 设是阶方阵

26、,且,试证,其中AnAA 2 nArAr km )()( 、为自然数.mk 证明：因为,所以,那么.AA 2 )()( 2 ArAr)()(ArAr m 因为 ,AAAAA2)()( 2 所以 .)()( 2 ArAr 所以 .)()(ArAr k 因为 ,AAAA 2 )( 由命题 8 得 .nArAr)()( 又因 .nrAArArAr)()()()( 所以 ,nArAr)()( 即 - 17 - .nArAr km )()( 注：以上证明中命题 5、6、7、10、12、13、15、16 都是采用了分块矩阵, 其中包括分块矩阵的和、积以及分块矩阵的初等行列变换,不仅降低了处理矩阵 相关问题

27、的难度,还缩减了证明过程,使其过程简明概要,可读性强.分块矩阵对 于处理多个矩阵之间的不等式,多个矩阵秩的范围的界定和秩的大小的比较有一 定的优越性. 命题 11、14、15、17、18 中都对矩阵的 N 次幂进行了秩的运算或比较,用 到了归纳、递推、叠代等运算方法,了解到高幂次矩阵的秩的大小或范围,对于 处理高幂次矩阵问题,认识高幂次矩阵的性质都十分有用. 4. 矩阵的秩的一些结论的应用矩阵的秩的一些结论的应用 4.14.1 例例 1 1 已知矩阵,求矩阵的秩. 6116 100 010 A 解：存在可逆矩阵 , 941 321 111 使得 , 300 020 001 1A 由命题 3 可

28、知 .3)()( 1 ArAr 4.24.2 例例 2 2 存在矩阵、分别为阶方阵且,试证明的解向ABnnBr)(0Ax 量是的解向量的一个子阵.0BAx 证明：设为的解向量,必然存在.由命题 2 0Ax0BA ,)(),(min)(BrArBrA - 18 - 得 ),()(ArBAr 则其解向量的秩 ),()(ArnBArn 所以的解向量是的解向量的一个子阵.0Ax0BAx 4.34.3 例例 3 3 已知矩阵,求其伴随矩阵的秩. 4041 0505 4545 0001 A * A 解：对进行初等变换,求其秩.A , 0000 0500 0540 0001 0041 0500 0540 0

29、001 0041 0505 0545 0001 4041 0505 4545 0001 2143124 rrrcccc 显见.由命题 4 可知.3)(Ar1)( * Ar 4.44.4 例例 4 4 已知是矩阵, 为方矩,试证明方A56B554)(Ar4)(Br 程组根的个数小于等于 3.0ABx 解：由命题 7 得 , 3)()()(nBrArABr 又由命题 8 ,)()(nBrAr 得,所以,则命题成立.6)()(xrABr3)(xr - 19 - 4.54.5 例例 5 5 已知阶方阵,证明.nA)(2)2( 2 ArAAr 解：由命题 12 得 ),()()(BrArBAABr 当时

30、可写成AB ,)()()(ArArAAAAr 即 ,)()()( 2 ArArAAAr 因此得 ).(2)2( 2 ArAAr 4.64.6 例例 6 6 已知阶方阵和,秩为,求矩阵nABrBrAr)()( 的秩. n AB BABA 解：由分块矩阵的初等变换 , 2212 n rr n cc n BAAB BA AB BA ABAB BABA 由命题 12 的结论 ,)()()(BrArBAABr 再由引理 2 的结论得 ,)()()( n n rBAr BAAB BA r 因为 ,nrrBAr n )()( 所以 - 20 - .nr AB BABA r n )( 4.74.7 例例 7

31、7 存在矩阵,求. . 01060 1101 0530 2002 A)( 100 Ar 解：计算得.3)(Ar . 10401810 31163 52095 420124 01060 1101 0530 2002 01060 1101 0530 2002 2 A 得 ，3)( 2 Ar 所以 .)()( 2 ArAr 由命题 15 的结论 ,)()(ArAr k 所以 .3)( 100 Ar 证明过程用到了命题 15 的结论,对于幂次为 100 的矩阵秩的求解,可以迅速 的实现. 4.84.8 例例 8 8 求的秩. 17854 41610 51211 20123 11012 解：由命题 16

32、 的结论 - 21 - )()()( 1B CADrAr DC BA r 可得 ) 201 110 23 12 54 10 11 178 416 512 () 23 12 ()( 1 rrr ) 20142 1128 201 (2)( rr 再次应用命题 16 )201 2 8 2014 112 ()1(2)( 1 rrr .5212)(r 证明过程通过两次用到命题 16 的结论实现了对维数较高矩阵秩的求解,简 化了运算,且大大减少了计算量. 小小结结 矩阵的秩的内容是非常丰富的,其应用是十分广泛的,证明矩阵秩的有关性 质,除了利用分块矩阵以外,在上面还用到了行（列）向量组的极大线性无关组 来

33、证,以及矩阵的初等变换来证明,还可以联系到齐次线性方程组的基础解系来 证. - 22 - 本文引用到矩阵秩的基本性质及部分定理,对矩阵秩的多条性质进行了证明,并 做了相关的应用.其中涉及到了矩阵秩的求解、判断、向量组的相关性、方程组 解的情况分析以及秩的不等式、等式等多方面性质.其结论和证明过程可以应用 到所涉及的各个领域,包括电子行业,信息处理行业和控制工程域等多个行业.对 矩阵秩的多方面的了解对于处理矩阵相关的问题是很有帮助的,例如方程组解的 个数问题,模式识别中事物特征的相关性问题等. 上述的命题的涉及面广,结论应用性强,所应用的方法较为新颖,希望能对数 学及其它领域的发展有所帮助.相信

34、在解决理论研究和解决实际问题上有一定的 作用及意义. 致谢致谢 - 23 - 参考文献参考文献 1杜现昆 原永久 牛凤文高等代数M.北京:高等教育出版社,2006.65-67 2同济大学数学系编.工程数学.线形代数M.北京:高等教育出版社,2007.62-65 3北京大学数学系.高等代数M.北京:高等教育出版社,1988.87-90 4张禾瑞.郝炳新.高等代数M. 北京:人民教育出版社,1979.76-77 5张远达.线性代数原理M. 上海:上海教育出版社,1982.98 6北京大学数学系.高等代数M.北京:高等教育出版社,2003.67 7赵树媛.线性代数学习与考试指导M.北京:中国人民大学出版社,1998.56 - 24 - 8丘维声.高等代数M.北京:高等教育出版社,2003.87-88 9 樊恽 钱吉林等.代数学辞典M.武汉:华中师范大学出版社,1994.76 10 李书超,蒋君,向世斌等.一类矩阵秩的等式及其推广J.武汉科技大学学报 自然科学 版 ,2004 ,27 1 :96-98 11王松桂,贾忠贞.矩阵不等式M.合肥:安徽教育出版社,1994.89-90 12鲍文娣,李维国.关于任意三矩阵秩的一点注记J.苏州科技学院学报:自然科学版, 2005,22（2）：39-43