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1、 引 言在数学分析中,极限思想可以有效的处理各种复杂的数学问题，并能够准确、简便的得到结果，在极限的概念下，许多问题可以在无限的情况下得以解决，并且这个概念贯穿始终。极限的概念在数学分析解题中起重要的作用。然而很好的判别极限的存在，知道极限存在的条件，是讨论极限的最基本方法，首先我们要从这个概念出发，展开讨论。一 极限的定义1.1极限的定义1.1.1数列极限的定义在文献1中对数列以及函数的极限的定义做了如下叙述：定义1.1.1 设为数列,为定数.若对（不论多么小）,总，使得当时都有成立，则称数列收敛于,定数为数列的极限,并记作，或（）.在数列的极限定义中,我们应该注意以下几点:1、的任意性衡量
2、数列通项与定数的接近程度的,除要求为正以外,无任何限制.然而,尽管具有任意性，但一经给出，就应视为不变.（另外，根据具有的任意性， 等也具有任意性，它们也可代替）.2、 是随的变小而变大的，是的函数，即是依赖于的.在解题中，等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个，使得当时，有就行了，而不必求最小的.3、“当时，有” 的几何意义，（数形结合的思想方法）可知： 故“当时，有”的几何意义是：当时，也就是数列的所有下标大于的项都落在邻域内，即区间内，而在邻域之外，数列中的项至多只有项（有限项），如下图所示:由的任意性,即区间的长度可以任意小，但总存在，使得当时，数列中所有项都落在此区间，这
3、就是“数列的项无限地趋近于某一个常数”的意义.由上面的分析,我们可以看出,对于任意的,落在邻域之外数列中的项只有有限个,设这个有限项的最大下标为,则当时有,即当时有.成立时得到数列极限的另一等价的定义:任给的,若在之外数列中的项至多只有有限个,则称数列收敛于极限.1.1.2一元函数极限的定义在文献1中函数极限的几类定义如下:一、 趋于时函数的极限 定义1.1.2.1 设为定义在上的函数,为定数.若对，正数,使得当时有,则称函数当趋于时以为极限,记作或定义1.1.2.1 设是定义在(即)上的函数,为定数.若对,正数,使得当时有则称当趋于时以为极限,记作或二、 趋于时函数的极限 定义1.1.2.2
4、 (函数极限的定义) 设函数在点的某空心邻域内有定义,为定数. 若对， ()，使得当时有则称函数当趋于时以为极限，记作或三、单侧极限定义1.1.2.3 设函数在（或)内有定义,为定数.若对， (），使得当 (或)时有则称数为函数当x趋于 (或）时的右(左）极限,记作（）或 ()右极限与左极限统称为单侧极限.常把在点的右、左极限记作、.即= ，= .在以上定义叙述中,利用在一点的极限与单侧极限,有如下判断极限的存在条件.以上的定义叙述我们知道,它们都可以成为极限存在的条件来解决极限的相关问题.下面简单介绍二元函数的极限.1.1.3 二元函数极限的定义与一元函数一样,我们研究二元函数的存在条件,首
5、先也要从极限定义入手,在动点趋近于某定点时的极限情况;对一元函数而言,考虑函数在点的变化趋势时，只是在数轴上考虑自变量从左右两边的趋近情形,而对二元函数来说,由于定义域是平面点集,所以考虑动点变化趋势时,就要在区域上考虑,如趋近于定点时,方式可以多种多样,故此研究要复杂得多,这也是与一元函数的不同之处.下面我们给出二元函数极限的定义.定义1.1.3.1 设二元函数在点集上有定义,是平面上一定点（它可以属于也可以不属于）,是常数,若,对，当，（或）时，有 成立,则称函数当趋于时有极限,并且是它的极限值.记为： 或 为了区别一元函数与二元函数的极限,我们把二元函数的极限也称为二重极限.以上给出的定
6、义，均可作为极限存在的条件，一般先讨论并给出数列极根的定义, 在此基础上进一步研究函数的极限问题. 然而在极限的定义中都涉及到具体的极限值, 这为我们研究极限问题带来了一定的局限性, 因为即使数列或者函数的极限存在, 也不是事先可以知道的,进一步我们还将下面将给出判定极限存在条件 这些条件使我们判断极限是否存在的方法更加多样化.二 极限存在的条件2.1 数列极限的存在条件文献2中给出数列极限的存在条件叙述如下：定理2.1.1在实数系中,有界的单调数列单调数列:若数列的各项满足关系式则称为递增(递减)数列,递增数列和递减数列统称为单调数列必有极限.对于此定理的证明在这将不在叙述,给出此定理之后,
7、为以后数列极限存在的证明提供了简便. 例1:利用单调有界原理证明下列数列收敛证明:由于而,即数列是递减列,由,数列单调有界,因此收敛.设,已知,即,两边求极限得:得;所以.在我们讨论的有些极限问题中常常需要先判断数列或函数的收敛性,再求解其极限,也可以从数列或函数自身出发,寻求其收敛的条件.对数列而言,有著名的柯西收敛准则:定理2.1.2 数列收敛的充要条件是:对0, ,使得当时,有. 此定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题,把这个条件也叫做柯西条件.实际上, 这正是收敛数列的本质特性所在. 原理中完全抛开了具体的极限值, 而直接通过数列本身判断其收敛性, 并且给出的是一个充分必要条件,
8、 因此柯西收敛原理在极限理论中占有十分重要的.例2：利用柯西收敛准则证明下列数列收敛证明：，解不等式得 即存在自然数,有。根据柯西收敛准则,数列收敛.从上面给出的两个命题可以看出:命题2.1.1是从形态上描述单调有界必有极限,而命题2.1.2时从数列本身出发,当无限增大时，在无穷远处任意两项无限接近,从而判定了数列的极限存在. 2.2一元函数的存在条件文献3给出以下归结原则的叙述:定理2.2.1 设在内有定义。则存在对任何点列且，极限都存在且相等. 归结原则可简述为：=对任何有=.注 对于这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式.如当时有：定理2.2.2 设在有定义. 则=对任何
9、以为极限的递减数列，有=.这两个定理都是判别极限存在的方法,而且还给出函数与数列关系. 相应于数列极限的单调有界原理和数列的柯西收敛准则在判别函数极限时也有相关定理.定理2.2.3 设为定义在()上的单调有界函数，则右极限存在.定理2.2.4(Cauchy准则) 设在内有定义. 则存在，使得对、有.2.3 二元函数的极限存在条件 对于一元函数, 仅需沿轴从的左右两个方向趋于,但是对于二元函数，趋于的路线有无穷多条,只要有两条路线,趋于时,函数的值趋于不同的常数,二元函数在点极限就不存在.通常为证明极限不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等.但应注意,沿任何方向的极
10、限存在且相等 全面极限存在.结合一元函数的海涅定理，我们可以给出以下判定的方法：命题2.3.1 的充要条件是：对于的任一子集，只要是的聚点，就有由此，可以得到以下推论：推论1 设，是的聚点，若不存在，则也不存在.推论2 设,是它们的聚点，若存在极限，但,则不存在.推论3 极限存在的充要条件是:对于中任一满足条件且的点列，它所对应的函数列都收敛.例1讨论当时是否存在极限.解:当动点沿着直线而趋于定点时,由于此时,因而有.这说明动点沿着不同斜率的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在.三 函数极限存在条件的应用在介绍了极限概念,极限存在条件之后就能够灵活的利用其解决一些相关的问
11、题.3.1 求极限在所学知识中,求极限的方法很多,但其中也用到了以上所介绍的定义以及定理来求极限更为简便.例1 求数列的极限由，求极限.解:由 假设成立,则所以数列是调增加的.下面证明数列有界,再由假设 则.所以,由单调有界原理知收敛.就有极限存在.设则由解得即: 从此题看到,只要数列单调有界,我们根据单调有界原理就可以判别极限存在.例2:用极限的定义来证明极限.证明:对，因为，所以要使得，只须，故取,所以当时，有,所以.说明：本题用了极限的定义来证明极限.当用定义证明数列的极限是时，一般的方法是解不等式，直到解出正数b，取Nb,即可.当然在解不等式时，注意适度放大的技巧.例3 :用柯西收敛准
12、则求极限解：取,对任给自然数,取,于是 ,而.故不存在.实际上此题用了柯西的逆命题判断了极限是否收敛,然后判断极限是否存在,即:设为定义在上的函数,若存在正数,对任给正数,总存在、,尽管,，而，则称不存在.这是一种判断极限不存在的常用方法.例4 用海涅定理求.解：令，则有 与, 故函数当时没极限.例5 用定义验证 证明: 限制在 （2，1）的邻域 即 取 ，则有由二元函数极限定义3.2判别级数的敛散性在所学的有关判别级数收敛的方法中,通常是判断极限是否存在,然后就可以知道级数是否收敛.定义3.2.1 给定一个数列，对它的各项依次用“” 号连接起来的表达式 (1)称为数项级数或无穷级数（也常简称
13、级数），其中称为数项级数(1)的通项.数项级数(1)的前项之和,记为:称它为数项级数的第个部分和,也称部分和.由定义可以很容易的看出级数与数列的联系.定义3.2.2 若数项级数(1)的部分和数列收敛于(即),则称数项级数(1)收敛,称为数项级数(1)的和,记作或若数列是发散数列,则称数项级数(1)发散.上述定义中给出了级数及级数收敛的叙述,在定义3.2.2中,我们可以看到,其实收敛也就是说极限存在,那么我们在判断级数收敛时也就是要判断级数部分和数列的极限存在,下面就给出实例说明级数收敛情况.例1 讨论级数的敛散性.分析:在讨论此级数敛散性时,根据定义3.2.2,首先要找出,根据极限存在条件判断
14、是否收敛.具体作法如下:由已知可以找到级数的第个部分和 利用极限的存在条件,就可以求出:即因此由级数收敛定义,得到此级数收敛,且此极限为1.注:从以上看出级数与数列的关系如下:对应部分和数列,收敛 收敛;可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式 .所以只要判断其中的部分和的收敛情况即可.所以基于级数和数列的这种关系就可以根据数列极限的柯西收敛推出级数的柯西收敛准则.命题3.2.3 (级数收敛的柯西收敛准则) 级数(1)收敛的充要条件: ,使得当以及对任意的正整数，都有这样我们就会用此来判断级数的收敛性另外在学习正项级数时,我们又可以根据数列极限的单调有界来判别正项级数中部分和数列是否收敛, 根
15、据正项级数的定义,显然正项级数的部分和数列是单调递增的，由单调有界定理，正项级数收敛的充分必要条件是：命题3.2.4 正项级数收敛它的部分和数列有上界.例2 判断级数 的敛散性. 由于 从而 部分和数列有上界,故极限存在,得到该正项级数收敛. 3.3判别积分的敛散性下面我们主要以无穷积分为例,来讨论其敛散性. 由级数与无穷积分的关系 :,其中 ,可以看出无穷积分可化为级数 ;另外对每个级数,定义函数 , 易见有=. 即级数可化为无穷积分.判别无穷积分敛散性的方法，无论是表述或证明均可仿级数的相关命题，因为在讨论原积分的敛散性,也就是判断被积函数的极限是否存在,因此均可用到函数极限存在的条件的命
16、题来讨论无穷积分的敛散性,下面首先给出无穷积分及其收敛(发散)的定义. 定义3.3 设函数f(x)在无穷区间上有定义，对任意，在上可积，若极限存在，则称该极限值为函数f(x)在上的无穷限非正常积分（简称无穷积分），记作并称收敛如果极限 不存在，则称无穷积分发散从以上定义我们知道在判别无穷积分收敛与否,取决于函数在时是否存在极限,我们先来讨论极限是否存在,其中有用到了极限存在的条件的相关命题. 例1：判断无穷积分的散敛性.解： 我们观察极限是否存在，可以用单调有界原理来判断，令，因为当时， ，所以是单调递减，又因为，所以存在，并且，因此即收敛.从以上我们可以看出,在判别积分的敛散性时,极限的存在
17、条件是很重要的. 当然我们也可以由函数的极限柯西收敛准则推导出无穷积分的柯西收敛准则.命题3.3.1 无穷积分收敛的充要条件是:,只要、,便有我们就可用它来判别无穷积分的收敛性.例2:证明:若绝对收敛,且,则必定收敛.证明:要想收敛,只需,使得、,有而绝对收敛,对于上述的,、,有,又,即对上述的,使得、,有在上有界,即,故,有即结论得证. 结 语通过以上简单的介绍，用极限的存在条件,我们不仅可以判别极限是否存在,还可以用它解决实际问题,我们发现在判别收敛问题中,涉及到了极限存在的问题,在本文中,不论是数列、函数、级数、还是无穷积分,都用了极限存在知识去解决,由此,可以看出判断极限存在的是非常重
18、要的,也是必不可少的,这就要求我们要熟练掌握并做到能够灵活应用其解决相关问题. 由于本人的知识有限,在全文中只是对一些极限的相关问题做了简单的分析, , 然而并没有完全涉及极限的知识, 这是我的不足之处,希望能够方便大家对极限的思想更加深入的认识及其应用,在今后的学习中,能够有机会做更加深刻的讨论,能够认识到它的更加广泛的用途,为我们解决更多的实际问题.参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析（上、下册）M.北京：高等教育出版社,1992.2 刘玉莲，傅沛仁.数学分析（上、下册）M.北京：高等教育出版社,1992.3 复旦大学数学系.数学分析（上、下册）M.北京：高等教育出版社,1983.4
19、强文久，李元章，黄雯荣.数学分析基本概念与方法M.北京：高等教育出版社,1989.5 邵品琮.数学分析纵横谈M.北京：北京大学出版社,1991.6 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出社,1993.7 胡福星，陈之兵.函数极限存在条件的再认识J.高等数学研究， 2007（10）：2.8 吴少祥，余庆红.海涅定理及其应用J.高等数学研究，2007（10）：30-32.9 陈惠勇.数学史观下的数学概念教学新模式J.高等数学研究，2007（10）：61-62.致 谢写一篇论文真的很不容易，我十分的高兴最后我完成了，而更重要的是我从中学到了很多东西，不仅仅是知识方面，还有做事的方式、
20、方法和严谨治学的学术精神，在这里我要谢谢各位老师给我的一课。我由衷的感谢徐老师的细心指导和帮助,他给了我写文章最基本、最耐心的指导, 在论文修改过程中给于了指正，在这里表示衷心的感谢,使我在反复的修改中完成了本文。我还要感谢我的同学以及舍友对我的帮助和指点. 他们给了我无私的帮助和鼓励。在大学生活中，不断得到各位老师、同学的关心与帮助，使我在学习和生活中不断得到友谊的温暖与关怀，最重要的是一种精神上的激励，让我非常感动。感谢父母对我二十多年来辛勤的养育,并让我获取了一定的知识并最终走向社会,为社会贡献自己!最后，感谢我的老师！我的同学！感谢数学系！感谢我的母校昌吉学院！ 第 19 页 共 19 页