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1、北 方 工 业 大 学硕 士 学 位 论 文题 目：分形图形生成的方法和表现研 究 生： 指导教师：专 业：计 算 机 应 用 技 术2012年 5 月 31 日北方工业大学_计 算 机 应 用 技 术_学科 学科带头人（签字）_ 年 月 日学 位 论 文 任 务 书研究生：黄波_信息工程_ _学院_计 算 机 应 用 技 术 _专业_ _计 算 机 图 形 学_研究方向论文题目：_分 形 图 形 生 成 的 方 法 和 表 现_（_2003_年_1_月_15_日经院学术委员会批准）选题的来源、意义和价值：分形理论新颖的指导思想和独特的分析方法被很多学科竞相引入 ,如何利用计算机生成比较理想的
2、分形图形的成为一个备受关注的新课题。本课题的研究旨在结合分形几何学和计算机图形学理论 ,部分解决非规整形状图形的计算机描述和处理方法，可以提供两个层次的研究结果：第一个层次是理论结果，第二个层次是利用新迭代格式生及规则生成不同的分形图形并实现对图形的组合及存储的软件系统。将系统生成的分形图形用于信息加密防伪、电影、动画分形场景、分形纹样设计及建筑设计等领域，有很好的应用前景。学位论文工作自_2002_年_11_月_15_日起至_2004 _年_5_月_28_日止呈交学位论文日期_2004_ _年_5_ _月_28 _日答辩日期_2004_年_6_月_21_日 导师(签字)：_独 创 性 声 明
3、本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北方工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名： 签字日期： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解北方工业大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权北方工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影
4、印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 （保密的学位论文在解密后适用本授权书） 学位论文作者签名： 导师签名：签字日期： 年 月 日 签字日期： 年 月 日学位论文作者毕业后去向：工作单位： 电话：通讯地址： 邮编：摘要分形图形生成技术在各个领域得到广泛的应用推动了分形理论的发展, 探寻新的分形图形生成方法，并能够在一个实时、交互的信息交流界面，经过简单的参数修改，就可以生成有一定艺术价值的分形图形，为分形图形的应用开拓了更广阔的前景。本文针对基于迭代函数系统(IFS)的分形图形生成的工作主要集中在以下三个方面：（1）构造新的迭代公式以生成各种分形图形从经典的Mandelbrot集和Ju
5、lia集出发，对迭代公式进行多种推广，应用基于IFS的算法生成各种不同的分形图形。在对公式指数的推广中，包括指数为整数的牛顿迭代法和多项式迭代法，还包括指数为复数的迭代公式；在离散动力系统的吸引子生成算法讨论中，将复数向高维空间推广，重点论述了生成了三维离散动力系统吸引子的收敛条件，实现了此吸引子对应的三维空间向量在平面上的投影图的条件；还讨论了迭代前对初值点进行两种不同变换对得到的分形图形的影响，以及这两种变换组合图形的生成。（2）分形图形表现规则算法研究在经典算法基础上改进而形成的常规调色系统，可以达到柔和的颜色过渡；提出的RGB分量合成调色系统，重点讨论了这种调色系统的实现算法以及同常规
6、调色系统所生成的图形的对比，并在此基础上，实现了基于平面曲线区域的调色规则；尝试了两幅分形图形组合的实践，通过图例显示了实验结果。 （3）Fractal分形图形生成系统的开发本文利用Visual Basic6.0开发了一个Fractal分形图形生成系统，详细介绍了在此环境下生成图形的两类API函数在系统中的应用。针对本系统能够实现分形图形精细结构放大的功能，对所应用的精细结构放大的算法进行了讨论。最后简单介绍了图形生成系统的运行平台以及系统的使用说明，并展示了大量在此系统中生成的分形图形，从实践方面证明了本文所作的研究工作是有效而可行的。关键词：分形，迭代函数系统，离散动力系统Abstract
7、The theories of fractal have developed by using fractal graphics generation technology into all kinds of fields.This paper is devoted to seeking formulas and rules of representation for generating new fractal graphics.The main works are as followed:(1)construct new formulas for new fractal aspectsAf
8、ter revisited methods for the visualisation of Mandelbrot and Julia sets based on IFS ,we described the other new formulas originating from .Including Norton and polynomials Iterated Function，which have integer index instead quadratic index, we also constructed formulas with complex number index.3-D
9、 dynamical system is discussed then. Besides the most widely used sequential visualisation methods, we designed two methods to change the original vectors and get new graphics with special effects.(2)Studying rules of representationWe introduced two selecting-color systems in this paper. One is base
10、d on classical color palette, the other is using RGB to compose colors. After that, we experimented with new methods of areas built by plan curves. We also tried to mix two graphics to make a new one.(3)Designing and developing Fractal Modeling SystemWe developed an graphics generating system by usi
11、ng Visual Basic 6.0. The two kinds of API functions is playing important roles for generating graphics in this system. We can zoom in a part of the graphic to the whole scene. By using this system, a lot of wonderful fractal pictures can justified our work as necessary and viable.Key words: fractal,
12、 IFS, dynamical system, attractor目录摘要IAbstractII第一章 引言11.1 分形图形生成技术简介11.1.1分形及分形图形的概念11.1.2分形理论的发展过程21.1.3分形理论的应用领域61.1.3.1 艺术领域的应用61.1.3.2 其它领域的应用81.2 课题研究的意义及主要研究内容101.3 相关工作国内外研究现状111.4 本文组织框架13第二章 分形图形生成理论基础和算法研究152.1 分形图形生成常用算法152.1.1 迭代函数系统(Iterated Function System，IFS)152.1.2 L系统 (Lindenmayer
13、 System) 172.1.3 粒子系统（Particle System）172.2 本文采用的算法18第三章 基于IFS的图形生成算法研究203.1 经典的M集和J集的算法203.1.1 生成Julia集的算法203.1.2生成Mandelbrot集的算法223.2 阶数是整数的复映射233.2.1牛顿迭代求根法233.2.1.1 算法讨论233.2.1.2 图形生成253.2.2 三次多项式迭代算法263.3阶数是复数的复映射263.4 迭代变量为三元函数的离散动力系统算法273.4.1 动力系统和离散动力系统的定义283.4.2 一阶离散动力系统吸引子的收敛性293.4.3 一阶离散动
14、力系统吸引子的图形生成算法303.5迭代变量为四元数的分形图形算法323.6改变初始点次序的两种方法343.6.1 曲面映射变换343.6.2 面积坐标变换37第四章 分形图形表现规则算法研究394.1 常规调色系统394.2 RGB分量合成调色系统424.3基于平面曲线区域的调色规则434.4 分形图形组合的实践44第五章 Fractal分形图形生成系统的设计开发475.1 两类API函数绘制图形的实现475.1.1位图、图标和光栅运算函数475.1.2 绘图函数485.2 分形图形精细结构放大算法的实现495.3 系统平台与使用过程50结 论55参 考 文 献57致 谢61申请硕士期间所发
15、表的论文62IV北方工业大学学位论文第一章 引言6320世纪70年代，自然科学的三大发明是混沌、耗散结构和分形。分形理论既可以说是现代数学的一个新分支，也可以说是一门有着古老历史渊源的学问。早在一百多年以前，分形学的初创形式分形几何学就受到了数学家们的关注，时至今日，分形学的发展已经突破最初几何理论的研究而广泛应用于各类学科和社会生产生活中。可以认为，分形学的创立已经成为一次科学革命，这也是分形理论得以产生和发展重要原因。1.1 分形图形生成技术简介1.1.1分形及分形图形的概念1，2，3，4分形 (Fractal) 一词起源于拉丁文的“fractus”，是B.B.Mandelbrot为描述那
16、些不规则而欧氏几何又无法描述的几何形态而创造出来的数学方法，其原意具有不规则、支离破碎等意义。分形几何之所以引起了人们广泛的注意 ,主要有两个方面 ：一方面是由于在自然界中普遍存在的不规则现象，而分形几何作为“描述大自然的”几何学证明了其中有许多不规则现象就是“真实的分形”；另一方面，随着分形分析中的新工具的产生，尤其在材料、地理、经济等学科的成功应用，用于研究分形集的数学理论与方法有了巨大的发展，也逐渐完善了分形理论自身的体系。很长时间以来科学家们都想给“分形”一个严格的数学定义，但这些定义都难以适用于一般的情形。因此对于“分形”给出一系列特征的描述，如果集合F具有下面所有或大部分性质，则称
17、集合F是分形：F具有精细的结构，即有任意小比例的不规则细节。F是非常不规则的，无论它的局部或整体均无法用微积分或传统的几何语言来描述。通常F具有某种自相似或自仿射性质 ,可能是统计或者近似意义上的。F在某种方式定义之下的“分形维数”通常严格大于它的拓扑维数。在许多令人感兴趣的情形，F有非常简单的，可能是由迭代过程产生的方法来确定。随着计算机图形学的蓬勃发展和广泛应用，将分形几何学引入到计算机图形学中，为非规整形状图形的计算机描述和处理提供了有利工具，成为目前研究自然世界模型的一个扩展。借助于计算机图形生成技术，可以用少量的数据生成绚丽的分形图形。分形图形生成是多学科多种技术综合应用的结果，其关
18、键技术和研究内容主要包括以下几个方面：定义分形的方法：这是分形图形生成的核心技术。由分形方法生成的图形，要求利用空间结构的对称性和自相似性，采用各种模拟真实图形的模型，要使整个生成的景物呈现出细节无穷回归的性质。而根据所要生成的目标，关键是要找到一个合适的模型来描述对象，再根据所选择的模型选取产生分形图形的方法。颜色选择规则。对于已生成的图形，如何确定图中各点的颜色也是很重要的，它直接决定着图形在感观上是否符合美学要求，或者是否更真实地逼近自然景物。这一技术的关键研究内容是在构图原则和色彩构成的理论指导下，如何在分形图形产生的同时确定合适的颜色以及合适的颜色层次。分形的度量。“度量”分形的常用
19、方法是利用某种形式的维数，然而维数只是提供了有限的信息，现在已引入度量分形的一些其它方法，比如“缺项性”以及“多孔性”被用来描述集合中小尺度“空洞”的比例。交互技术。利用计算机实现的分形图形生成系统，必须实现繁琐的数学公式及复杂的分形理论对用户的透明，做到友好的人机交互，使不太了解复杂的科学理论的人们在计算机上也能通过简单操作生成比较理想的分形图案。1.1.2分形理论的发展过程4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16最早的分形图形可以追溯到文艺复兴时期德国著名画家丢勒的“五边形分形”。丢勒的艺术创作有一个重要特点：讲究科学和数学。他曾仔细研究过“比例”问题，并把它们用于
20、绘画艺术。当时意大利艺术界认识到艺术既然是摹仿自然、再造第二自然(达芬奇用过“第二自然”这一术语)，就要把艺术摆在自然科学的基础上。而正真载入科学史册中的有关分形理论的历史，应该分成以下几个阶段：古典分形几何思想1,21872年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数：其中，是一个奇数，且。1883年，集合论创始人德国数学家Georg Cantor 定义了Cantor集，此集合在数学史上有重要作用，因为它具有奇特的性质，它是自相似的,不包含任何区间却还是完备的闭集合。1890年，意大利数学家G.Peano构造了一种能够通过正方形内的所有点的曲线，
21、这种曲线与平面应该如何区分令数学界产生疑问。而次年大数学家D.Hilbert也构造了一种具有相同性质的曲线，即按一定顺序相继穿过每一个小正方形的“中位线”，这类曲线现在统称为Peano曲线，它们都是具有自相似性的，能够填充空间且连续不可导。1904年，瑞典数学家von Koch构造了如今称之为“柯赫曲线”(Koch curve)的几何对象, 如果首尾闭合，这种曲线常称作柯赫“雪花曲线”(snowflake curve)，其性质也是处处连续但处处不可微。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）应用实变函数理论构造了“谢尔宾斯基地毯”,以及后来的谢尔宾斯基/门格尔海绵等分形图形
22、。测度及分数维的提出及发展1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。1960年，Mandelbrot在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的
23、传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按Cantor集排列。在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出。他认为欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究。他主张维数是尺度变换下的不变量，用维数来刻划这类集合，将分形定义为豪斯道夫维数严格大于其拓朴维数的集合，总结了根据自相似性计算实验维数的方法。但这一理论只对严格自相似这类集有意义，且在多数情形下难以用计算方法求得。1982年，Mandelbrot的新著自然界的分形几何将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集，重新讨论盒维数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列集盒维数与
24、集所在空间维数相等。同年,特里科特（C.Tricot）引入填充维数，以弥补Mandelbrot盒维数在非稠密可列集上维数计算的缺陷。德金（F.M.Dekking）研究递归集，获得了维数上界。这类分形集由迭代过程和嵌入方法生成，范围更广泛，但维数研究非常困难。1985年，Mandelbrot提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相似集并可通过仿射映射严格定义。1989年，钟红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。动力系统中的分形1963年，气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz）在研究流体的对流运动时，发现了以他的名字命名的第一个奇异吸引子，它是一个典型的分形集。1976年，法国
25、天文学家伊侬（M.Henon）考虑标准二次映射迭代系统时获得伊侬吸引子。它具有某种自相似性和分形性质。1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普罗克西娅（I.Procaccia）提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等构造了一个二维迭代函数系统，其吸附界是维尔斯特拉斯函数，并得到盒维数。1985年，迈克多纳（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三种类型：（1）局部不连通的分形集；（2）局部连通的分形拟圆周；（3）既不局部连通又不是拟圆周。前两者具有拟自相似性。1986年,劳威尔（H.A.Lauwe
26、rier）将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射，其迭代下不稳定流形的极限集成为典型的奇异吸引子，它与水平线的截面为Cantor集。复平面上解析映射的分形集1918-1919年间，朱利亚（G.Julia）和法图（P.Fatou）研究了动力系统中另一类来源于复平面上解析映射的分形集。他们的结论是解析映射的迭代把复平面划分成两部分，一部分为法图集，另一部分为朱利亚集（J集）。他们在处理这一问题时还没有计算机，因此研究受到局限。1980年，曼德布罗用计算机绘出用他名字命名的曼德布罗集（M集）的第一张图来。1982年，道迪（A.Douady）构造了含参数二次复映射 ，其朱利亚集随参数的变化呈现各种各样的分
27、形图象，著名的有道迪兔子，圣马科吸引子等。复平面上使朱利亚集成为连通集的参数的点组成曼德尔布罗特集, 道迪和扈巴德证明M集是连通的和单连通的。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集与映射系数的关系，为用解析映射解决豪斯道夫维数的计算问题开创了新局面。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫维数的数值解法。L系统与迭代函数系统史密斯于1984年将A.lindenmayer于1968年为模拟生物形态而设计的L系统引入到计算机图形学中, 用这种方法不仅能够生成许多经典的分形，还可以模拟植物形态，特别是能很好地表达植物的分枝结构。法图于1926年就开始整函数迭代的研究，1981年密休威茨
28、（M.Misiuterwicz）证明指数映射的J集为复平面，发现超越整函数的J集与有理映射J集的性质差异，1984年德万尼（R.L.Devanney）证明指数映射E的J（E）集是Cantor束或复平面而J（fc）是Cantor尘或连通集。1985年，美国佐治亚理工学院的巴斯莱（B.M.Barnsley）首先提出迭代函数系统(IFS)的概念，研究了含参数的函数系迭代动力系统，并在一线性映射系迭代下，生成著名的分形曲线双生龙曲线。贝德浮德（T.Bedford）等人在1986年给出卓有成效的算法来计算由迭函数系统构造的分形集的豪斯道夫维数。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数
29、系的J集。1991年，科维克（Z.Kovacs）等引入双变量迭代系统，推导出维数、熵、李雅普洛夫指数，提供了对多重分形相变分类的一般方案。近年来分形理论又取得了更多更新的研究成果，并结合了多种其它学科实现了一些很有实用前景的应用。1.1.3分形理论的应用领域17，18，19，20，21，22，23，241.1.3.1 艺术领域的应用与分形图形应用最密切的是当然要数艺术领域的应用。把分形理论与数字图像处理技术结合起来，使生成的分形图形可人工干预，以产生协调自然，丰富多彩，并具有较高艺术性的图案。无疑，这些分形图形将对绘画、雕塑、建筑设计、印染工业、装潢和广告设计等产生深远的影响。1999年9月，
30、中国邮电电信总局发行了一套四枚的分形几何中国电信IC电话卡，图1.1.1是这套IC卡的电话卡折。这套卡正面，第一张是著名的Sierpinski三角形，第二、三、四张选用几种自然界的分形图形：瀑布和沙漠、松枝和海洋生物、海岸和山脉，它们既属于分形几何范畴，又是色彩缤纷、婀娜多姿的自然景观，卡的背面选用四幅“分形艺术”作品, 从艺术和科学两个视角同时欣赏更加耐人寻味，极具收藏价值。 图1.1.1 分形几何中国电信IC电话卡和google的分形图标为了纪念法国数学家Gston Julia，以搜索引擎而闻名世界的网站google把它的图标曾经改成图1.1.1中右面的图样，图标上面的数学公式就是数论中有
31、名的Julia序列。在纺织行业，已经有印有分形图案的丝巾、布料成品乃至成衣制成。如图1.1.2所示的例子，其中最右边上下两幅图是用带有分形图案的材料制成的背包。图1.1.2丝巾、成衣及背包分形图形在印刷行业有更广阔的用途。立体印刷是印刷技术中的一种，当从不同角度去观察图形时就会出现图形变化的动画效果，图1.1.3是用立体印刷把分形图形印制在名信片上和笔筒外表面上的成品照片。而图1.1.4是普通印刷技术制成的分形名片和分形书签。图1.1.3名信片和笔筒图1.1.4名片和书签在建筑行业，以各种尺寸的分形壁画来装饰房间，给人们创造一个高雅美丽的环境。图1.1.5是分形装饰画图例和房间装饰效果图。图1
32、.1.5 分形装饰画图例和房间装饰效果图此外，在陶瓷制品、书籍封面设计和礼品包装上，也出现了富于表现的分形图案。在利用分形方法创造出与众不同的景观方面已完成了一些开拓性的工作，电影中出现了分形风景，分形动画也在游戏、宣传广告和电视片头中的有了更为广泛的应用。1.1.3.2 其它领域的应用分形理论在其它领域中还有相当广泛的应用，这里从以下几个方面简略介绍自然科学研究的应用分形理论起源于自然，因而这一理论的成果首先被用来解决自然科学各学科中的问题。在物理学方面，利用分形理论对各种技术获得的湍流图象进行研究,得到湍流理论的分形模型及测量分维；讨论各种条件下凝聚体成长的分形特性，用以确定凝聚体的分形维
33、数与沉积速率、凝聚时间的关系以及液滴尺度的分布指数等物理性质。在化学方面，通过对某区域地球化学场数据的分析，依据地球化学场自相关与自相似的内在联系，用分维估值法预测化探数据的区域背景和局部背景，以及圈定地球化学异常空间的分形结构；通过透射电镜等仪器，研究各种化学聚合物分子模型和各种化学反应过程中生成物不规则结构的形成模型。而直接把分形理论应用在数学中，解决各种曲面分形维数的测定和应用在小波分形函数研究中的例子，更是不胜枚举。气象地理方面的应用应用变维分形法分析旱、涝的时间分布特性, 太阳黑子数时间序列的分形研究, 利用分形比较法对多年气温、气候指标进行对比，预测气候变化的规律及台风、洪水等自然
34、灾害时间空间的分布规律，以减轻其对人类的危害。用分形的特征参数来表征油、气、水、矿藏等物质的各种性质，描述水文系统的复杂性和矿藏的分布特性，对水资源利用及矿床勘查、矿体定位有着重要意义。而在分析滑坡边界轨迹的几何分形结构，分析岩体地质结构差异，建立地层参数精细剖面模型等地质活动方面也常用到分形分维理论来解决问题。企业生产方面的应用重工业生产中，各种金属产品断裂表面及熔焊接头形态的研究对整个生产起着重要作用。而利用分形理论对断裂表面及熔合线图形微观特征的研究，能推导出断口发展的方向性及描述熔合线的元素分布曲线，可以改进加工工艺以改变材料致脆应力的特性,为焊接冶金学中的相关内容由定性描述变为定量描
35、述提供相关的数学判据, 以达到生产需要。切削过程中的材料变形的非线性也可以用分形理论来解释。生物医学领域的应用采用分形分析方法对某一地区植被景观形状和各类种群分布特征进行分析，研究群落多样性随空间变化的变异规律；通过对水生态系统空间格局研究，确定生态因子场的分形特征及水生生物体重与体长关系等参数，为水产养殖业提供有力的科学支持。应用分形测度的概念，在超声波图像检测中，建立超声图像灰度表面分形结构分析及局部分形指数研究的理论模式，根据分形维值的变化来达到对医学图像边缘检测和增强的目的，更好的识别图像中的病变结构，为医学图象处理和分析领域提供了新的手段和方法。经济管理方面的应用将分形理论的动态分维
36、数应用于期货价格行为的研究，能够克服现有的技术分析法在价格预测上具有时滞性的不足，还能够用于预测期货价格趋势。应用常维或变维分形模型预测股票指数，预测时先将原始数据进行一系列变换，从中选出一种变换，使变换后的数据能与分形模型符合良好，再针对股市所具有的混沌特征测定出混沌吸引子并计算该吸引子的关联维数，从而可以得到股市波动复杂程度的定量值。1.2 课题研究的意义及主要研究内容分形图形生成技术在各个领域得到广泛的应用，也推动了分形理论的发展。随着对逼真程度和审美要求的不断提高 ,从简单的Mandelbrot集和Julia集，到科幻电影上的分形风景，以及近年来印有分形纺织纹样的分形时装，无不昭示着分
37、形图形正慢慢从科学家们的思想中走进我们身边的真实世界。一些用户已经不再满足观看各种分形图片和分形产品，而是希望自己能够参与设计分形图形。因此，能用尽可能通俗易懂的方式，如何在一个实时、交互的信息交流界面，使不太了解复杂科学理论的用户可以通过简单操作计算机，修改少量参数生成分形图形，同时完成一定的颜色调整、图形的比较及存储等相关功能，生成有一定艺术价值的分形图形，已成为当前一个被众多的计算机、数学乃至艺术工作者所关注的新课题。我们的课题就是在这样的背景下提出来的。根据课题本身的要求以及有关该领域发展方向的调查，本文研究的主要内容集中在以下方面：1、利用基于迭代函数系统的分形算法理论，构造新的迭代
38、公式。2、根据计算机图形学理论，对已生成的具体图形进行进一步处理，有针对性地给出新的生成规则。3、根据平面构成原则，尝试对已生成的图形进行拼接、嵌套等方法,组合成新的图形。4、如果时间充裕，将对图形的存储管理方法进行研究。本课题的研究旨在结合分形几何学和计算机图形学理论 ,部分解决非规整形状图形的计算机描述和处理方法，可以提供两个层次的研究结果：1、对迭代格式生及生成规则算法创新改进的理论成果。2、可以生成不同的分形图形并实现对图形的组合及存储的软件系统。1.3 相关工作国内外研究现状18，19，22，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35近年来，国内外在基于IFS系
39、统的分形图形生成领域都进行了大量的研究工作，并取得了一定的进展。美国鲁卡斯电影公司在影片杰蒂的轮回及星际旅程：可汗的愤怒中制作了许多分形风景，其中最著名的是行星起源的演变序列图。理查德沃斯在计算机上制作的分形山已被IBM公司广泛地应用于宣传广告中。瑞典UME A大学数学系的ALF JONSSON和波兰科学学院的ANNA KAMONT在研究了从Rn的一个子集上取得Besov空间中得到类质同像这一类问题。迭代函数系统IFS是以仿射变换为框架的，在一些经典分形问题(如Von Koch曲线和Siepinski地毯)中,离散的线性的和连续的非线性元素构成了L2空间里的一个框架,而两位科学家在这个结果基础
40、上，又确定了这些迭代函数一系列系数变量，以及在Besov空间中的基于非线性的某些特征。意大利学者Ljubisa M. Kocic提出一种新的基于IFS理论可以生成树的AIFS系统,在仿射不变的条件下，IFS可以对吸引子定位以及描述出吸引子整体形状，即吸引子形成的分形图形。用这个方法可以得到与实际自然界的物体，尤其是生物形态及生物属性非常相似的模拟图形.比如模拟植物的生长,长出分枝,从而可以从分形维渐变地过渡到充满空间的自然的不规则图形。美国两位数学家Michael Frame和Tatiana Cogevina给出了由IFS得到的一种圆倒置的有限集生成的自相似的分形图形。典型的特例是,这些图是由
41、一些圆组成的,这些圆是相互在外部的，即每个圆都在其它圆的外部。如果放宽圆是相互在外部的限制,又可构造出无限延伸的圆倒置的有限集它不同于一般的IFS分形图像，是一个给人强烈感觉的比例相互独立的分形集。美国伊利诺斯州立大学计算机系Paul Sherman和John C. Hart给出了一个图形生成程序，通过一种交互式的方法，使用户可以直接操作一个由周期迭代函数系统（RIFS）生成的分形对象，这种方法可以让用户指定吸引子上的特定点，就能够给出这个点在周期中的位置，还可以把其它的点拖到用户需要的位置。为符合新的位置，吸引子的形状会改变。作者用一个扩展的牛顿迭代法，找到了一个新的等价的满足约束条件的迭代
42、参数集。这个解决方案能在现代计算机硬件上实时地产生分形图形，程序是一个交互式的周期性的系统可用来设计与真实景物非常相似的图形。香港大学K.W.Chung等人研究了一种新的快速算法，可以由动力系统自动生成符合美学原则的双曲族分形图形。在理论上考虑了在基本区域边界上的连续条件,只有双曲族被进行了计算从而提高了算法效率。本方法所用的颜色表中各值的变化，是由各种轨迹收敛的频率作为参数来确定的。这种算法同时还提高了所生成图案的美学性质，可以生成大量形象各异的对称图案。华南师范大学计算机科学系王小铭运用了分形的自相似性，在造型或构图过程中引入递归或迭代，以及通过对局部过程的随机扰动。她展示的分形图形在纺织
43、品图案设计上的几个实例，构图方法的特征是按照某种算法模型对图案的幅面进行整体分形构造，以产生具有“无穷”自相似特性的画面，并阐述了其基本技法，包括：.纹样的构成主要采用函数迭代和基于几何过程 (或规则 )的重复应用算法。.分形整体构造模型构图。华中科技大学马石安等人给出了一种基于迭代函数系统IFS的森林景物的动态模拟方法。首先介绍了以迭代函数系统来探索和解决森林树木这一类自然景物的计算机生成问题的途径，然后从一个已模拟景物的IFS吸引子出发，改变参数自动生成无重复的序列画面，以此达到对森林景物动态模拟的目的。用此方法生成的前后两帧图形之间既有区别，又具有相对的连续性，为计算机动画对复杂的自然景
44、物的动态模拟提供一条新的途径。浙江大学陈倩，陈乃立，陈翀伟等人以分形思想为基础，探索了三种基于一般IFS的计算机图像生成技术带概率的、带凝聚的和带参数的IFS。在带概率的IFS中，不同的变换的频率也各不相同，不同的变换有主次之分，使图像色彩有浓淡之差，更接近真实物体。带凝聚的IFS包含两类不同变换：一是在某处的凝聚变换,二是在空间不同方向上的延伸变换。带参数的IFS在比例系数、旋转系数和位移系数中加入了参数以控制IFS码，使图像不断地按既定构想变化以形成动画。他们给出一系列实例说明了这三种方法对实现图像的“明暗虚实”、“树木成林”及“动画”所起的作用。汕头大学数学系叶瑞松，邹玉茹在Carter
45、.N，Eagles.R等人提出的具有平面晶体群对称性混沌吸引子的生成方法的基础上，描述了一类具有平面晶体对称性的迭代函数系统，而且具有比单个函数迭代所生成的吸引子更丰富的对称性并实现该类迭代函数系统的对称混沌吸引子的计算机可视化，为平面铺砌图案的设计提供了一种新的途径。华南理工大学工业设计与图学研究所的李哲林等人突破了在平面上生成分形图形的传统贴图方法，尝试了将分形图形贴在三维物体表面的算法，并实现了三维中具有代表性的球面作为空间投影面，把经典的Mandelbrot集图案显示在球面上，并论证了很多空间实体都能分解成近似球面和柱面，也都可以采用类似方法来处理，这种思路得到的图形更加有欣赏价值和实
46、际应用价值。逃逸时间算法生成的二维分形图形通常都利用了复杂的函数转换，类似的分解和渲染方法可以扩展到对三维实体的模拟上。波兰的Slawek Nikiel和Adam Goinski在1995年Sprott JC和 Pickover CA的自动分形图形生成器基础上，扩展了高维数和分形实体的概念。从选择那些视觉上既与自然中的景观相近又表现出唯一的几何形状的实体模型开始，给出一种简单高效的可视化时间逃逸算法，在三维空间生成分形图形。对这种方法可以进行更广泛的扩展应用，包括实时计算机图形生成（例如游戏场景）和三维建模软件（如3DS Max），以及数字压缩等技术中。澳门科技大学资讯科技学院齐东旭教授等人研究了四元数空间M-集与J-集的可视化问题, 将复平面上的离散动力系统 向高维空间推广，结合光照模型技术和降维处理，取四维空间点集与四维空间的一个超平面交集，此交集是一个三维立体。然后选择空间包围盒使希望显示的点集范围被包含在这个包围盒内，最终形成投影在计算机屏幕上的分形图形。1.4 本文组织框架本文第一章简单介绍了分形及分形图形的概念、分形