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1、密 级 公 开 学 号 200940404035衡水学院毕业论文矩阵在求递推数列通项中的应用论文作者： 指导教师： 系别：数学与计算机科学系专业数学与应用数学年级：2009级提交日期：2013年5月21日答辩日期：2013年6月1日毕业论文（设计）学术承诺本人郑重承诺：所呈交的毕业论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不存在抄袭情况，论文中不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人或其他教学机构取得的研究成果。作者签名： 日 期： 毕业论文（设计）使用授权的说明本人了解并遵守衡水学院有关保留、使用毕业论文的规定。即：学校有权保留或向有
2、关部门送交毕业论文的原件或复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公开论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文及相关资料。作者签名： 指导教师签名： 日 期： 日 期： 2009级数学与应用数学专业毕业论文矩阵在求递推数列通项中的应用摘 要：应用矩阵的方法求线性递推数列与分式线性递推数列可以使复杂的问题简单化，因此，矩阵在求递推数列通项中具有重要的作用。文章应用矩阵探讨递推数列的一般求解方法，对于线性递推数列的通项公式，可以通过矩阵的对角化形式求出通项公式；对于二阶线性递推数列的通项公式有一些比较成熟的技巧性求法，如：参数法，特征根法等解决；对于一般的分式线性递推数列的通项
3、公式，可以根据矩阵的特征值、特征向量等理论求得，还可以通过个别技巧来处理，如用不动点法或是把这类数列通项的问题全部统一到求二阶矩阵的乘方上来。关键词：矩阵；递推数列；通项公式；韩立华：矩阵在求递推数列通项中的应用Matrix seeking Recurrence Sequence itemAbstract: Using the matrix method for solving linear recursive series and fractional linear the recursive series allows to simplify complex issues, therefo
4、re, the matrix has an important role in seeking recursive series general term. Application matrix of a general method for solving recursive series, the general term formula for linear recursive matrix obtained in the form of keratosis general term formula ;Some of the more mature techniques and meth
5、ods, such as: parameter method, eigenvalue method to solve the general term formula for second-order linear recurrence series; The general term formula for the general fractional linear recursive, can be obtained according to the theory of eigenvalues, eigenvectors, but also through individual skill
6、s to deal with, such as fixed-point method or the general term of such a seriesall the problems unified up to a power of the second-order matrix. Keywords: matrix; Recursive series; general term formula; 2009级数学与应用数学专业毕业论文韩立华：矩阵在求递推数列通项中的应用 2009级数学与应用数学专业毕业论文1绪论 作为现代数学的重要研究对象，其中矩阵蕴涵的思想非常丰富。矩阵理论是高等代数
7、中最重要的内容之一，也是数学各个分支的重要基础。应用矩阵的知识可以使一些难度大、表述繁琐的问题求解变得简捷。数列是数学的重要内容之一，而通项公式又是研究、探讨数列问题的重要渠道。递推数列不仅是高考考查的重点，也是各类数学竞赛的热点。由于数列问题涉及的知识点比较多、而且覆盖面又广，并且综合能力较强，因此求它的通项公式时需要辨别各种类型，使用个别技巧来处理，因此难以把握，所以研究求递推数列的通项公式就很有必要。第1页 共18页韩立华:矩阵在求递推数列通项中的应用2 矩阵在求线性递推数列通项中的应用近几年来，递推数列一直是各类数学竞赛考察的重点，求递推数列变得越来越重要，在求一些线性递推数列通项公式
8、的时候，用一般的方法往往比较困难，这时矩阵在这方面就发挥了重要的作用，利用矩阵的方法求递推数列的通项就使复杂的问题变得简单化。下面是利用矩阵求线性递推数列通项公式的一些方法。2.1利用矩阵的方法求一阶线性递推数列的通项公式1.对于数列满足 （且），求通项。解：因为 所以 于是对任意的实数都可计算出，不妨设则 所以 即为所求的通项公式。例1对于数列满足（且），则求的通项。解：因为 所以第2页 共18页设 则所以 , 2.对于数列满足 (且)，求的通项公式。解：由，则不妨设 则 即 例2对于数列满足,求的通项公式。第3页 共18页解：设由得的特征根为1、5、-5，对应的特征向量分别为：，则有实可逆
9、矩阵,使得，其中所以当为偶数时， 当为奇数时，所以2.2 利用矩阵的方法求二阶线性递推数列的通项公式设数列满足： （1）第4页 共18页（已知，为常数，且），求通项其中（1）式可写成： （2）令 则（2）式可表示如下： （3）由递推方法知：则求通项问题就归结为求矩阵的方幂，这可应用矩阵的理论解决，求出的特征多项式为记 (1) 时,方阵有两个不相等的特征根此时可对角化,为了方便，可以取相应的特征向量: 且取 则 即 其中(2) ,方阵有两个相等的特征根第5页 共18页取 (其中) 则即注意到: 由我们很容易求出。例3 在数列中，有且,求的通项。解：令 取 得,即有两个不相等的特征根。第6页 共1
10、8页当时，的特征向量为 当时，的特征向量为 令 则2.3 利用矩阵的方法求线性循环数列的通项公式设阶线性循环数列，满足循环方程 其中为常数,且.求数列的通项。方程组 第7页 共18页可表示为矩阵形式 (1)令 则式写成 由上式递推得于是就归纳为求,也就是求例4 对于数列，如果已知,并且通项满足则求通项公式。 解：因为数列是3阶线性循环数列，则方程组 矩阵形式 令,由上式递推关系得。由,求得第8页 共18页则对应的特征向量分别为令，则所以，通项公式为 第9页 共18页韩立华:矩阵在求递推数列通项中的应用3 矩阵在求分式线性递推数列通项中的应用分式线性递推数列不仅难度系数大，而且又是考察的重点。下
11、面就是应用矩阵、特征根等理论来解决这类分式递推数列的问题，这类方法会使其变得简单而有趣。3.1利用矩阵的特征值、特征向量求分式线性递推数列的通项公式在求分式线性递推数列 中（若不同时为零，且不同时为零） （1）（1）当，时，则数列（1）是公差为的等差数列；（2）当时，则数列（1）是公比为的等比数列；（3）当，时，若，则，数列是公比为的等比数列，所以，故数列1）的通项公式为。下面用矩阵讨论的情形记若则称是分式线性函数，是的系数矩阵。由及确定的数列称为分式线性递推数列，并称为它的系数矩阵。引理1：若是分式线性函数的系数矩阵，则反函数也是分式线性函数，且是它的系数矩阵。文献10第10页 共18页证明
12、：记,则而故是分式线性函数，是它的系数矩阵。因为的伴随矩阵所以的逆矩阵由引理2得是的系数矩阵。证毕。用特征理论求解分式线性递推数列: （）（其中为常数，且同时）的通项公式。已知初值，为了确定这类数列的通项公式，首先作变量替换，令：则，所以原递推关系变为：,即令, 所以 所以,令有即则有。由的的特征值。第11页 共18页当时,若,则有两个不相等的特征根。所以可对角化,对应于的特征向量取，则因而所以而，又有，所以 当时，若，则非零特征向量即解得，令，则所以又 ，又即 第12页 共18页例5已知在数列中，,求的通项。解：,由得特征值,令，则。 令，则，由及得从而于是数列的通项公式 3.2 利用矩阵的
13、乘方求分式线性递推数列的通项公式若让分式分离系数，使之与矩阵相对应,记为；同样，即，则与的复合：记为：。第13页 共18页可见，分式与的复合恰好对应着矩阵的乘法，如此类推，个形如,的分式的复合，便对应着个二阶矩阵的连乘。特别地，的次叠代便对应着：对于分式线性递推数列,若与相对应，则：与相对应，依次类推：与相对应。于是，若求出了矩阵的乘方：，则分式线性递推数列的通项为：。可见，求分式线性递推数列通项的问题可归结为求矩阵的乘方问题。求矩阵的乘方有以下两种方法： （1）有些二阶矩阵通过拆成两个矩阵之和，发现拆成的两个矩阵的乘方很有规律，则这类二阶矩阵的乘方可用二项式展开法求得，尤其是形如的二阶矩阵，
14、由于,其中是二阶单位矩阵，,且,则由二项式定理可得：。因此，形如的分式线性递推数列的通项相应地可由二项式展开法求得：第14页 共18页。（2）对于矩阵，假若存在可逆矩阵，使得（为对角矩阵），则：，而有些二阶矩阵有两个线性无关的特征向量，与对角型矩阵相似，所以可用与求对角矩阵相似的方法求相应分式线性递推数列的通项。例6对于分式线性递推数列,求的通项公式。解：对应于二阶矩阵,其中,且则与相对应，如此类推：与相对应。即由二项式定理得：于是通项公式为:。例7对于分式线性递推数列求的通项公式。解：由于对应的二阶矩阵为: ,求得特征值为当，时，其对应的特征向量分别为，,于是取,则有：,且。第15页 共18
15、页2009级数学与应用数学专业毕业论文于是。故数列的通项为。结语 矩阵在求线性递推数列与分式线性递推数列中有着重要的作用，对于这些通项公式的求法，应用矩阵的理论可以使问题变得简单，随着知识的不断提高矩阵理论在求递推数列通项公式中的应用会越来越重要，矩阵也会应用的更为广泛。第16 共18页韩立华:矩阵在求递推数列通项中的应用参考文献1 王卿义. 高等代数在初等数学中的应用 M . 济南: 山东教育出版社, 1992: 325- 326.2 王峰. 求递推数列通项的常用策略 J . 高中数学教与学, 2006( 4) : 23-25.3 (日)伊东元好散判的递推式中学生数学M，1986(6)：13
16、-174 王汝发等.高等数学解题方法引论M.兰州大学出版社.1994年5 杨亦军.递归数列求通项公式的一般方法J数学通讯1999，(12).6 林玲.分式线性递归关系的代数解法J数学通讯1996，（2）7 彭咏松.一类线性循环数列的通项公式，数学通报J，1986年第9期，P19-21.8 李信明.常系数线性递推数列通项公式的求法.昌淮师专学报自然科学版J，1994.4，总第21期9 赵文玲，宋道金 线性循环数列的通项公式 曲阜师范大学学报J，1996（3）10 北京大学数学力学系.高等代数M.北京：人民教育出版社，1980.11 北京大学数学力学系.高等代数Ml.北京:高等教育出版社,1978
17、12 熊斌.奥数教程( 高一年级)M.上海: 华东师范大学出版社,2003.13 王萼芳，石生明.高等代数M北京： 高等教育出版社，2003.14 Octo go n Math MagM , 2005, 13( 2) : 1171.15 P. Levrie, M. VanBarel and A. Bultheel, First-order linear recurrence systems and general n-fractions, in Nonlinear Numerical Methods and Rational Approximation II, A. Cuyt, ed., Kluwer Academic Publishers, 1994, pp.433446第17页 共18页2009级数学与应用数学专业毕业论文致 谢 感谢姜文英老师的悉心指导，本文的选题、课题研究以及论文的撰写工作都是在姜老师的悉心指导下完成的从姜老师的身上，我不仅学到了扎实、宽广的专业知识，也学到了做人的道理在此我要向我的指导老师姜老师表示最衷心的感谢和深深的敬意，以及衷心感谢在百忙之中帮我评阅论文的各位老师，谢谢您们 第18页 共18页