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1、高中数学论文努力培养学生的数学直觉能力 摘 要：首先通过对数学直觉在数学学习和数学发现中所起作用的分析，说明培养学生的数学直觉的必要性，然后具体从培养学生对数学美的鉴赏能力，提高学生的文学修养；鼓励学生积极猜想，丰富学生想象力；培养学生发散思维，开拓思想；培养学生良好的反思习惯及概括能力这四个方面阐述了如何培养和提高学生的数学直觉能力.最后说明逻辑思维与直觉能力互为补充，逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具. 关键词：数学直觉 数学美 想象力 发散思维 反思 逻辑思维数学直觉是数学研究中的非逻辑成分.法国著名科学家庞加莱在他许多著作中都对数学直觉进行了分析.他认为“要构成算术，像要构成几何学或构
2、成任何科学一样，除了纯逻辑以外，还需要其他东西.为了称呼这种东西，我们只好使用直觉这个词.”又，“逻辑不是充分的，证明的科学并非全部科学，直觉作为补充物必然保持它的作用.”在数学研究中“逻辑告诉我们走这一条路保证不会遇到任何障碍；但是它不会告诉我们哪一条路能达到目的.为此，必须从远处了望目标，教导我们了望的能力是直觉”.正是出于上面的考虑，庞加莱突出强调了直觉对于数学学习与数学创造的重要性.他说：“没有直觉，年轻人在理解数学时便无从下手；他们不可能热爱它，他们从中看到的只是空洞的玩弄词藻的争论；尤其是，没有直觉，他们永远也不会有应用数学的能力.”对于学生“在理解数学时便无从下手”这句话，笔者在
3、立体几何的教学过程中深有体会.例1：（如图）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，求EA1与平面A1BD所成角的正弦值. C1D1AA1B1CBDE解法分析：设想不采用向量法而是考虑综合法求解，就需要作出EA1与平面A1BD所成的角，只需连接点E与线段BD的中点O，则EA1O为EA1与平面A1BD所成角.数学直觉实质上是对于抽象的数学对象的一种“非同寻常的洞察力”，这种洞察力当然包括空间想象力，是对于数学对象内在的和谐与关系的直接洞察.这种洞察带有直接性，其中包含了飞跃或空隙.我们应该注意这种洞察与通常所说的感观是有区别的.这种“直觉”是由于长久思索某一问题的基础上，豁然洞察
4、问题实质的一种思维方式，比感官直觉得出的内涵要丰富，它是一种不包含普通逻辑推理过程的直接顿悟，往往还伴有很强的“自信心”.在例1中，凭数学直觉看出A1O为A1E在平面A1BD上的射影的同学会很自然得说“就是这样的”，“本来就是”.但大多数同学由于缺乏这种数学直觉无法正确作出EA1与平面A1BD所成的角或A1E在平面A1BD上的射影，导致无法求解.德国数学家高斯利用直觉启迪思路，成功证明了一个算术定理.这个定理高斯曾搞了好几年都没有证出来，“但在两天前”，高斯当时写道：“我突然证出来了，这简直不是我自己努力的结果，而是上帝的恩赐如同闪电那样突然在我脑海之中，而且问题就这样解决了.我自己也说不清现
5、在这种思路与以前我们认为颇有成功希望的想法之间究竟存在什么联系.”不只是高斯，其实许多科学家都是凭借直觉的启发、直觉的判断和直觉的想象，在科学发现中取得了丰硕的成果.既然直觉如此重要，我们能否，又应该在教学过程中如何培养和发展学生的数学直觉能力呢？徐利治教授早在1989年发表的数学直觉的意义及作用一文中明确写道：“数学直觉是可以后天培养的.实际上每个人的数学直觉也是不断提高的.”这也说明，教师在传授知识的过程中是可以把数学直觉传授给学生的.那么在数学教学过程中该如何培养学生的数学直觉呢？笔者结合郑毓信教授的建议谈谈自己的看法.一、 培养学生对数学美的鉴赏能力，努力提高学生的文学修养； 英国著名
6、哲学家、数理逻辑学家罗素曾把数学的美形容为一种“冷而严肃的美”.它在我的哲学的发展一书中写道：“数学，如果正确地看它，它不但拥有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地.”可见只有懂得数学美的人才会用心在数学能力的培养上，努力提高自身的数学修养，让产生数学直觉成为可能.因此，在教学过程中，我们要时刻与学生分享数学中的美感，如在圆锥曲线中，无论是曲线，还是曲线方程无不透露着对称性的美，我们的化简目的过程正是在追寻着对称美和简洁美
7、.在圆与球的教学过程中，我们可以引用毕达哥拉斯的话：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形”来引证对称美.在体积计算中有所谓的“万能计算公式”，它能统一地应用于棱（圆）柱、棱（圆）锥及棱（圆）台的体积计算：其中是相应的几何体的高，和则分别为其上底和下底的面积.这体现了数学的统一美.其实还有圆锥曲线的统一定义，只是现在教材不做要求了.对于简单美，我们从数学符号的教学，思维清晰、简洁、明了的解题过程都可以与学生分享，培养学生对简单美的认识.在算法案例进位制的教学中，可以对学生说明正是对数学简单美的追求才导致二进制的出现，才会有现在的科技发展与信息爆炸时代的到来，让学生体会对数学美
8、的追求的必要.数学解题是数学教学不可缺少的一部分，解题的过程随时充斥着数学的奇异美与抽象美，正是这种奇异美使许多同学陶醉于解题过程，又是这种抽象美使多少学生望而却步.我们要做的只是让更多的同学在不断获取成功的过程中，潜移默化地培养学生对数学美的鉴赏能力，激发学生主动学习的欲望.除了对数学美的培养以外，我们也要鼓励学生进行音乐、绘画和文学的修养，虽然这些不会对数学学习有直接的帮助，但是可以拓展人的文化视野，开发右半脑，这也有利于创造能力的培养与提高.二、 鼓励学生积极猜想，丰富学生想象力；数学猜想实质是一种数学想象.想象可以进行创造性的综合，以形象的方式来改造旧的经验，提出新的假说或新的模型.爱
9、因斯坦甚至认为“想象力比知识更重要，是科学研究中的实在因素.”普朗克在谈到自己的科学创造体会时指出：“即使是严格的科学研究，没有想象力自由发挥，也不能前进.”可见人们把想象誉为思维的翅膀是不无道理的.我们的学生很小就在进行形如11，14，19，26，35，（ ）这样的数列中项的猜想训练，我们不能因为学生学了数列的通项公式，而放弃基本的猜想训练.公务员行政职业能力测试里的数字推理和图像推理的题目，很好地考察了数学直觉，考生必须具有一定的猜想归纳能力才可能顺利完成这些题目.为了培养学生的想象力，在教学过程中教师必须鼓励学生大胆猜想解题过程，答案，还要鼓励学生猜定理、公式，想象未知对象的各种图像或模
10、型.如果学生猜错了，那要鼓励学生去寻找错误的原因，不能打击学生，否则就会扼杀学生的数学直觉能力.三、 培养学生发散思维，开拓思想；发散思维是创造性思维的最主要的特点，是测定创造力的主要标志之一. 想象是人脑创新活动的源泉，联想使源泉汇合，而发散思维就为这个源泉的流淌提供了广阔的通道.在数学领域里培养学生发散思维的最佳方法是“一题多解”.xA1B1FABy例2.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点（如图），求A，B间的距离.思考方法：从已知条件入手，本题可有如下几种方法：解法一，联立抛物线方程与直线方程求出A，B两点的坐标分别是，再利用两点间的距离公式求出解法二，联立方程组，但
11、不求出交点坐标，而是利用韦达定理和弦长公式求出解法三，利用焦点弦特征和抛物线定义解法四，直线AB的参数方程为其中是焦点F到点的距离. 把直线的参数方程代入抛物线方程化简得.解方程得解法五，由解法四得关于参数的二次方程由韦达定理及的几何意义，有解法六，抛物线的极坐标方程为同一道题，我们可以从各个不同的角度，不同的途径，联想有关的定义和规律，得到不同的解法，从而达到开拓思想，培养发散思维的目的.四、 培养学生良好的反思习惯及概括能力.波利亚指出：“即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且干净利落地写下论证后，就会合上书本，找点别的事干干.这样做，他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面.通过回
12、顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这个结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们解题的能力.”赵振威教授在数学解题后的再发现中指出“为了更好地拓宽解题思路，积累解题经验，提高解题效果，在解答数学题后，应当有目的地进行再发现.”“再发现”就是笔者所说的反思.这里的反思主要指解题后的反思，解题后的反思可以包括反思解题关键.做出来的题目我们要归纳解题关键并进行概括，没有解出的题目我们要问自己为什么没有抓住解题关键？是不是隐含条件挖掘不到位？以后再遇到同类题我是否能抓住解题关键？反思解题通法，收集解题技巧.有许多题目都有相似的结构形式，因此几乎都有规律可循，都可以采用相同的解题方
13、法.比如，直线和圆锥曲线的关系，通法就是联立方程，韦达定理、点差法等；反思解题依据.通过不断对解题依据的反思，我们可以对用到的定义、定理、公式更熟练.数学不是一门记忆的科学，但却有许多要记的知识，虽然我们知道公式的背景，但不可能在每次求解过程中，都把公式推一遍.比如许多同学都觉得三角函数很难学，追究其原因：公式记不住中.如何记住这些公式呢？我们只有在不断的解题过程中，在解题后的反思中去探索记忆方法，变成脑海中不会遗忘的一部分；反思解题结果.对于解题后的结果是否符合题意，很多同学是根本不考虑的.事实上，我们很多的解题过程都不是“完美”的，这需要我们去“检验”.例3.已知双曲线，过点P能否作一条直
14、线，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？解法分析：首先我们假设这条直线是存在的，由题意可知直线若存在，直线的斜率也是存在的，通过点差法求出直线的斜率为2.到此，几乎所有的同学都写出了直线方程，没有人去想过，满足题意的直线事实上是不存在的，在求斜率的值的过程中产生了增根.无论是通过作图或是联立求判别式检验都是很简单的过程，而学生缺的只是检验的思想.康德认为：“人的认识从感觉开始，再从感觉上升到概念，最后形成思想.”这一定有一个过程，当对数学对象产生了感觉，这种感觉不一定是数学直觉，但我们在从感觉到概念，从概念到思想的过程中应该努力达到“真懂”.这种能够产生“直觉”的“真懂”不是满足于
15、弄清各个数学结论的演绎论证步骤，而是对整个过程、乃至整个理论的一种整体的分析概括.因此，在解题后，我们也应该让学生分析弄清相应结论或方法的直观背景，要尽量让学生对整个内容在脑海中成为非常直观浅显、非常透彻明白的东西，也即达到“直觉的把握”.逻辑和直觉各有其必要的作用，两者缺一不可.唯有逻辑能给我们可靠性，它是证明的工具；而直觉则是发明的工具，它使我们具有一览遥远目标的本领.因此，我们既应加强逻辑思维的训练，提高抽象思维能力，又要注意培养数学直觉能力，提高创造能力.参考文献 郑毓信 数学方法论 徐利治 数学直觉的意义及作用 波利亚 怎样解题 庞加莱 科学的价值 赵振威 数学发现导论 普通高中课程标准试验教科书 数学 选修2-15