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1、让“错误”成为学习资源摘要学生的数学解题错误就是学生“创造”出来最宝贵的、最有价值的教育资源，它是正确的先导，是思维火花的闪现。教师在教学中让学生尝试修正“错误”的过程，实际上是与学生独立解题的过程相吻合的。因而学生在教学过程中学到的不仅仅是正确的结论，而且领略了探索、尝试的过程，这对学生知识的完善和能力的提高会产生有益的影响，使学生学会分析，自己发现错误，改正错误。本文辨证分析了学生解题错误的原因及其解决策略。关键词课程资源；解题错误；原因对策1问题缘起“没有失败就没有成功”，行为主义心理学家认为：“人是在不断地尝试错误中进行学习的。”钱学森也曾说过：正确的结果，是从大量错误中得出来的；没有
2、大量错误作台阶，也就登不上最后正确结果的高座。在学生解答习题的过程中，问题不在于是否存在着错误，而在于教师怎样正确对待学生的错误。英国心理学家贝恩布里奇说过：差错人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。因此，有些老师只讲究正确的思路和解法，而忽略对错误的分析利用，这是不善于开发“错误”这一宝贵的课程资源的表现。教师要真正关注学生的学习过程，善于利用“错误”这一资源，因势利导，让学生思考问题，经历碰壁，最终找到解决问题的方法，把思考的实际过程展现给学生，让学生经历思维的碰撞，帮助他们理解和掌握数学思维和方法，获得广泛的数学活动的经验。这样，我们的课堂才是学生成长和成功的场所。2辨证分析学生的解题错
3、误当前大多数老师都把学生解题的错误归究到学生掌握的知识的程度上或学生的马虎大意上。这是由于数学解题的错误其终极表现必然反映在知识与大意上，所以不少老师都把它们看成是知识性的，试图有知识性的错误与马虎大意去概括一切。其实数学解题错误的原因，除了学生的知识结构不完善，思想马虎大意外，还应考虑到学生的认识结构。2.1知识性错误知识性错误是指学生由于对某些知识理解不清、运用不当，而未能正确陈述解题过程和结论而导致错误。其主要表现有：2.1.1概念、性质混淆不清通常学生在学习过程中对概念都不大注意；趋于形式化，不注意其内涵的挖掘从而造成基本数学概念理解不透彻；对于相似的，邻近概念又辨别不清；不能正确分辩
4、定义、判定定理和性质定理，从而造成解题错误。例1若定义在实数集上的单调函数f(x)的图象过点(0，1)，则f(x+4)的反函数必过点( )A (1，0) B(1，一4) C(1，4) D(一3，0)错解：因为f(x)的图象过点(0，1)所以f(x)的反函数的图象过点(1，0)所以f(x+4)的反函数的图象过点(一3，O)故选D上述的错误就在于概念不清，误将看成是f(x+4)的反函数，事实上应从f(x+4)的反函数的图象与f(x+4)的图象关于Y=X对称入手。由于f(x+4)的图象过点(一4，1)所以f(x+4)的反函数的图象过点(1，一4)故应选B。2.1.2忽视公式、定理成立的条件忽视公式、
5、定理的前提条件是滥用公式、定理，不考虑是否具备应有条件而生硬地加以夺用。这类错误在学生解题过程中屡屡可见。例2：已知，求证：a+b2错解：由由 上述的错误就在于忽视了基本不等式 应有的前提条件a、b、cR2.1.3不能正确理解题意而导致错误正确理解题意是正确解题的前提，特别是那些成绩中偏下的学生，他们在解题前总是“走马观花”略览题意，根本分不清题目的“已知”与“未知”；“条件”与“结论”更不用说其内在联系了。从而在似是而非，顾此失彼的思想状态下造成解题错误。例3：5个人从左到右站成一排，其中甲站在首位或乙站在末位的排法有多少种?错解：(1)甲在首位乙不在末位有，乙在末位不在首位有；共有=36种
6、。错解：(2)甲在首位乙在末位，中间三人排列有即6种。上述两种错误皆在“或”字上。错解(1)把“或”理解成不可兼的情；错解(2)是把“或”错认为“且”。2.2逻辑性错误逻辑错误是指学生在解题中由于违反逻辑思维的形式和规律而产生的错误。究其原因是由于逻辑错位而致。常见有：2.2.1虚假的命题作为推论的依据真实的论据是论证的首要条件，但是很多学生在利用论据时常会出现想当然的情况：例4：求与双曲线有共同渐近线，且过A(一3，)的双曲线方程。错解：与已知方程有共同渐近线必为共轭双曲线。所以所求方程为。这里错将“共轭双曲线必有共同渐近线”的逆命题当作真命题滥用其实“有共同渐近线”仅为“共轭双曲线”的必要
7、条件，而非充分条件。2.2.2循环理论循环论证即在证明命题A时用了命题B，而有证明B时又用上命题A作为依据，这样的证明在学生的解题中常有出现。有些学生是由于知识系统混淆而造成循环。例如在高中掌握了余弦定理后，有学生说：如果我们用余弦定理来证明勾股定理不是非很方便吗?而实际上用余弦定理来证明勾股定理就犯了循环论证的错误。因为余弦定理的证明过程就是依据勾股定理而来的。还有的学生在证明的书写中犯了循环论证的错误。在职高数学的教学过程中我发现每届学生都有类似下例的错法。例5：若a、bR+，求证。错解： a、bR+， 此式显然成立，即原式成立。这种错误看起来很滑稽，但在职高学生中却大量存在，不仅是在高一
8、学生就连高三的学生中也有类似的情况。2.3心理性错误解答数学题不论题目的复杂性如何，学生在解答的过程中一般都经过问题的识别、记忆、理解、激活背景观念、选择调整解题方法等步骤。这说明学生能否顺利解决所接触的问题，除了依赖原有的知识技能之外，还和本身的心理能力和智力品质有关。从心理学的角度人手主要有下述几种体现：2.3.1心理能力不足而导致错误学生在解答习题过程中需要具备多种 tl,理能力如：识别能力、记忆能力、信息加工能力、想象能力等。卢仲衡在数学通报中曾指出：图形交错对于感知识别能力较低的学生会产生消极影响。现代心理学对人的记忆能力做过许多研究，研究表明：在数学习题的解答过程中“顾此失彼”的现
9、象，往往与短时记忆能力的强弱有关。2.3.2由于注意力与思维品质而导致错误注意即人的心理活动指向并集中于某一对象。人的心理活动不能同时朝着一切对象，而是有方向、有选择地指向特定的客体。心理活动指向某一事物后更关注这一事物，同时离开其它事物，尤如学生解题中又与同学谈话，或观看电视、听音乐等，都极易导致解题错误，这也就是常说的“注意力”不集中而致，尤其在考试等一些特殊的时候，往往注意的范围受到更大的抑制。思维品质是反映学生揭示事物的本能和规律的一种能力，由于思维方式不当而引起的错误常常因人因题而异，而常见的错误有：2.3.2.1不正确的模拟而引起错误模拟是一种重要的思维方式，被誉为“伟大的引路人”
10、，然而波利亚又说：“如果把模拟猜想的结论当作真理，就可能会上当受骗”。而有些学生就只根据相似而简单模拟，没有严格的推敲过程而错；有的老师也常把这种错误归于学生“粗心”。虽然在一定程度上存在粗心，但我认为这并非完全粗心所致。要解决这种毛病老师首先要培养学生正确应用模拟，而不是一味的批评学生。无理的批评不仅打击了学生的学习积极性而且会破坏了老师的形象，容易造成极差的负面影响。2.3.2.2思维定势带来的负迁移思维定势是心理活动的一种准备状态，这种准备状态容易影响人对刺激情境以某种习惯性的方式进行反应，容易干扰另一种知识、技能的掌握和利用，对新问题的解决产生抑制作用，反映出思维的呆滞性、保守性，使学
11、生缺乏各种想象力，严重影响了学生的解题能力。2.3.2.3情绪、情感等非智力因素的影响而致错误情绪、情感等非智力因素对数学解题起关键的作用。情绪、情感是人对客观事物和对象所持的态度体验，反映了客观存在与自身需要之间的态度。良好的情绪、情感有助于积极性的发挥，使人能够克服困难，从而提高解题的效率；反之则严重地阻碍问题的解决。有些学生一直怕自己数学学不好，一遇到考试就高度紧张，注意力、记忆力、思维能力明显下降，使得平时会做的题目也做错，当试卷一交，马上就会做了。这都是因情绪、情感等因素的影响所致。所以在解题时尤其考试时一定要师生一起调节好学生的情绪和情感。特别是学生自己要学会自我控制、自我调节，在
12、特殊的时间不参与或少参与激烈的运动，保持身体、思想的常态。3.辨证处理学生的解题错误对学生解题错误要采取不同的处理策略学生解题中出现错误与失败后，教师要因人而异对不同类型的错误采取不同的处理策略，因人置异，因材施教。3.1对习惯性错误要采取公开的善意点名的处理方式学生在作业或考试中，经常会犯一些诸如审题不严，计算不细心，书写格式不正确，观察不全等等方面的问题，而导致全盘错误或部分错误。这类问题，学生往往认为这不算什么大问题，分析错误时比较忽视，甚至一笔带过，认为自己下次注意就可以了。但有些学生一而再，再而三地出现同样的错误，造成一些无谓的失分。出现这种错误的主要原因是学生思想上的问题，是一种习
13、惯性思维错误。因此，教师要对此高度重视，同时更要引起学生的高度重视。在作业讲评中，对这类“不应该”的错误要采取善意的公开点名的方式。在课堂中将这类错误直接点到名。以形成对学生有效的直接的大脑刺激，造成心理上的措手不及如坐针毡感。同时这种方式也表现出老师对该生面对面的爱护与关心，可以形成积极情感交流，促进学生的学习。3.2对错误要采取严格要求的处理方法有些学生由于对概念、公式、定理理解不深不透，似是而非，造成死套公式和定理而出错，或者由于知识遗忘而空白，或者该检验的不检验而部分失分，或者在学习态度上存在一些问题等等。由于这类原因而出错的，都是要采用严格要求的自理方法，平时多督促，多检查，多交流，
14、及时收集反馈信息。同时备课中要注意分解难点，吃透疑点，对模糊点主动示错，暴露出错的思维过程，促使学生形成健全的知识体系，以减少这类错误。3. 3对思维缺陷要精心辅导。并强化训练学生由于个性特征上的差异，造成能力上的参差不齐。有些学生弄不懂题意，造成数学语言转化上的困难；对隐含条件分不清而遗漏条件；由于分类不当或不分类造成逻辑上的混乱，或者由于思路不清晰造成计算或推理上的漏洞，由于方法不当而无从下手，动了笔做不下去，甚至主观臆断，或者由于思维上的消极定势而误入歧途等等。对此类学生都是要精心辅导，强化训练，辅导学生认真分析出错的原因，采用套题的形式，有针对性地强化学生的思维练习，多重训练，防止以后
15、出现类似的错误，形成有效的正迁移，把“堡垒”一个一个地击破，长期坚持，一定会提高学生的解题能力。3.4对心理障碍要采取谈心式的感情交流处理方式有些学生对“似曾相识”的题目产生求易心理，情绪松驰，而淡化思维。反过来。有些学生又由于畏难而半途而废，或者由于情绪过度焦虑而思维受阻等等。“心病还须心药医”。教师要认清出错的心理因素，认识到解题是不同心理特征，不同气质的个性参与的复杂的心理活动，不单纯是一个思维过程。教育学生要去掉求易心理，严格思维，做到步步有理有据，以免“想当然”。要培养学生的顽强意志，持久思考，要有战胜困难的决心和勇气，遇到困难要多角度，多方位加以分析。对情绪上的过度紧张，恐慌。可以
16、以心理学上的方法处理：如放松法，暗示法，转移法 以回到正确的思维活动上来。3.5对创造性解题中的错误要充分肯定与鼓励有些思维能力较强的学生，解题中对一些复杂的较生疏问题常常进行一些大胆的猜测，采用一些非常规的，迁移性的创新方法分析问题。而导致各种错误或解题不全；这是学生思维品质强的具体体现，是一种开拓性的垦荒工作，是其主观能动性的具体发挥。对此教师在课堂中或个别谈话中予以充分肯定，给予鼓励。同时指出其不足，要让学生同样有成功感，决不能因噎废食，予以否定，要不放过他们思想中的每一个闪光点，把他们的思维引向深入。总之，学生的解题错误是宝贵的教学资源。它既能让他们学会认识和改正错误，又能让学生在思维
17、能力、情感态度方面得到很好的训练。教师要教育学生从哪里跌倒从哪里爬起，及时分析错误，改正错误。战略上藐视“敌人”，战术上重视“敌人”，精心备教材，备学生，备作业，教会学生一些正确的分析方法，帮助学生每人建立一本“错解档案”以达到错一次而收获十倍的效果，提高学生思维的严密性，深刻性，批判性。数学课堂正因为有了一些精彩的错误，才显出正确是多么地难能可贵；也正是因为有了一些美丽的错误，才显出课堂是那么的真实而迷人！教师在与学生共同遨游数学海洋时，务必要善待和宽容学生的错误，引导学生大胆地尝试和积极地体验，自己找到出错的原因，进而诱发奇思妙想，挖掘出创新的种子，促进学生自主成长。这既适应培养创造性人才的需要，又符合新课程注重过程教学的理念，同时也是教师教学艺术的体现。参考文献:1布鲁纳(JsBruner)，邵瑞珍译教育过程M文化教育出版社，1982 2辛继湘新课程与教学价值观的重建J课程教材教法，2003，(4) 3段训明增强反思意识，优化思维品质J数学通报，2003（6）