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1、对二个高考试题的探究本文将对圆锥曲线的的两个命题进行探究。命题一：椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明：。（2004年高考（天津卷）数学（理工类）第22题）探究以上问题的一般情形：过定点A(m,0)(m0)作一直线l交椭圆（ab0）于P、Q两点，又P关于x轴的对称点为M，设（），证明：，其中E的坐标为（n,0）,且。（如图1所示）证明：.由已知得方程组注意，解得因，故.而，所以。对于双曲线上述命题同样成立，若是抛物线，则有下列命题：
2、如下图2所示，过定点A（m,0）(m0)作一直线l交抛物线C：y2=2px(p0)于P、Q两点，又P关于x轴对称点为M，若（）,证明：，其中E的坐标为（-m,0）。命题二：设抛物线方程y2=2px (p0)的焦点为F，经过F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴，证明：直线AC经过原点O。（2001年高考试题）探究以上问题的一般情形：设抛物线方程为y2=2px (p0)，E(m，0),经过E的直线交抛物线于A、B两点，点C在直线x=-m上，且BCx轴，证明直线AC经过原点O。（如图3）证明：设A（y1），B（y2），则C（-m, y2）A，B，F在同一直线上，=（1）（-
3、 ，y2- y1）=（m-，- y1）即=（-m- y2- y1）=()又=（-y1）=直线AC经过原点O。若对于椭圆或双曲线，则有下列结论：1设椭圆方程为（ab0），E(m，0)，经过E的直线交椭圆于P、Q两点，点M在直线x=n上，且QMx轴，证明：直线PM经过线段AE的中点。其中A(n，0)，m、n满足。 2设椭圆方程为（ab0），点A1，A2分别是椭圆的两个焦点，E(m，0)，经过E的直线交椭圆于P、Q两点，经过点P、A2的直线与直线l：x=n交于点M，其中m、n满足。则：点A1、Q、M在同一直线上。（如图4）通过以上的探究，极大地丰富了圆锥曲线的的教学内容，使圆锥曲线的性质得以拓展。例
4、 （2006年高考数学试卷（天津）如图，双曲线的离心率为、分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且（I）求双曲线的方程；（II）设和是轴上的两点。过点A作斜率不为0的直线使得交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E。证明直线DE垂直于轴。同时，我们发现上述问题对于研究圆锥曲线焦点弦的轨迹有广泛的教学意义，下面举例说明。例 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则满足条件的直线有 （ ）A2条 B3条 C4条 D无数条下面用几何画板制作焦点弦过程如下：（1）在双曲线上任取一点A，作A关于x轴的对称点；（2）连接M、AF，得交点B。（M为准线与x轴的交点）；（3）拖动点A在双曲线上运动，观察|AB|的变化。