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1、运用辨证思维优化数学问题情境 摘 要：适当的问题情境可以使抽象的、枯燥的数学概念、规律和数学问题具有直观性、趣味性、易操性和生活性，能激发学生的学习兴趣，激活学生的思维，充分调动学生学习的主动性。本文从演绎和归纳、理论和实践、分析与综合、特殊与一般等四个辨证思维角度讲解了如何优化数学问题情境。关键词：问题情境 演绎和归纳 理论和实践 分析与综合 特殊和一般随着高中数学新课程改革的不断深化，教师普遍关注问题情境的创设，创设恰当的问题情境，便于激发学生学习兴趣、激活学生思维、鼓舞学生不断追求新知，充分调动学生学习的主动性。问题情境应包括以下两层含义：1)它是一种能促使学生主动地、自由地去想象，思考
2、，探索，解决或发现规律并伴随着一种积极的情感体验的气氛。2)它是数学概念、规律以及数学问题赖以产生的现实背景。数学概念、规律是前人知识经验的概括和总结，具有一定的抽象性，因此讲授概念、规律之前，应先呈现相关的背景材料，展示知识的形成过程，使数学概念、规律自然产生。因此构建问题情境时，紧密联系它所包含的两层含义，使问题具有趣味性、易操性、生活性，更重要的是保证问题情境的数学性。辨证思维是从对立和统一两方面来分析认识事物的，它适用于世间万物，当然也就适用于数学学科。因而科学地认识辨证思维，并合理地运用于数学问题情境的创设中，往往能起到意想不到的效果。一、运用演绎和归纳优化数学问题情境问题情境要能够
3、提供某种直观的感性认识，形成有效的演算和推理，进而归纳出更加理性的新认识。在数学学习中，直观的感性认识作用尤为重要，因为学生的创新意识、创新行为，往往是先有感性认识，然后在体验、归纳的基础上逐步形成的观念体系。课例 数学必修5中“等比数列的前n项和”课本提供的问题情境是“国际象棋方格中放麦粒的问题”，此问题虽然有较高的数学文化价值和趣味性，但是，需要计算的数字过大，不能进行有效的演算和推理，而且学生也没有麦粒的体积、重量概念，所需麦子的体积有多少，多重，根本没法想象，从而不能有效地感知数学，不利于学生新思维的形成。有教师在教学时，结合一个寓言故事改编了这样一个问题：“有人买了一匹价值5000元
4、的马，但买主经过了解后悔了，认为此马不值这么多钱，他再次找到卖主，要求退马。此时，卖主提出一个新条件：既然你嫌贵，如果你买马蹄上的铁钉我就把马白送给你。买主听后问如何买法，卖主讲：“马蹄上共有钉子20枚，第一枚只要1分钱，第二枚要2分钱，第三枚要4分钱，依次类推，每一枚钉子的钱是前一枚钱数的二倍。”买主动心了.请你想一想哪一种方式划算.大部分学生猜想:“1分、2分的给，当然后一种划算！”教师说：“不妨算一下。”学生经过一个个加起来计算，后一种方式需要付10485元7角5分。学生经过亲自演算推理，比较深刻地体验到如此笨拙地求这个等比数列的和非常麻烦，从而产生改进运算方式的想法。在教师的引导下，设
5、 (1)由得 （2）由得 即 从而归纳出一般等比数列的求和过程，最后得到等比数列的前n项和公式。此课例较好地运用了演绎和归纳辨证思想创设了此问题情境，它不仅有一定的趣味性，能激发学生的学习兴趣，而且也具有很强的数学性，可以引导学生从数学角度不断地深入思考，激活他们的数学思维，使学生对“等比数列的前n项和公式”的推导过程有较深刻的印象。二、运用理论和实践的关系优化数学问题情境数学的概念、规律和公式等是理论化的、抽象的，而学生的认知规律先是直观的、感性的，逐步上升概括的、理性的，数学的教学要符合学生的这一规律，同时也要适合学生的认知能力，创设适当的问题情境有助于学生形成有效的认识。动手实践能直接刺
6、激大脑积极的思考，它不但能帮助学生理解所学的概念，还能让学生通过亲身实践真切感受到发现的快乐。课例数学选修2-1中“双曲线的定义”让学生先用图钉、拉链、铅笔等用具，按照老师的要求画图，并思考、回答如下问题：(1)图形是什么样的点的集合？类比椭圆给双曲线下定义？(2)图钉距离的远近变化时，对双曲线的开口的开阔程度带来什么影响？(3)什么情况下画不出双曲线？然后让学生作进一步思考：到两定点距离之差的绝对值，若大于这两个定点之间的距离，这样的点的轨迹又是什么？若等于这两个定点之间的距离，这样的点的轨迹又是什么？若等于零，这样的点的轨迹又是什么？通过边实践边思考，学生就能较完整地理解和掌握双曲线的定义
7、及三个结论：与两定点的距离之差的绝对值等于（或大于）这两定点之间的距离的点的轨迹是连接这两个定点的直线上两点以外的射线（或不存在）；与两定点的距离之差的绝对值等于零的点的轨迹是连接两定点线段的垂直平分线。在教师的指导下，学生通过实践，眼、手、脑并用，不仅容易获得知识，而且能清楚地掌握知识的发生过程，这是一种行之有效的教学手段。在条件允许的情况下，运用多媒体将满足四种不同情况的点的轨迹展示给学生，通过比较使学生对双曲线的定义有更深刻的理解，达到更好的教学效果。三、运用分析与综合优化数学问题情境分析是把事物分解为各个部分、侧面、属性，分别加以研究，是认识事物整体的必要阶段。综合是把事物各个部分、侧
8、面、属性按内在联系有机地统一为整体，以掌握事物的本质和规律。分析与综合是互相渗透和转化的，在分析基础上综合，在综合指导下分析，分析与综合循环往复，不断推动认识的深化和发展。一切论断都是分析与综合的结果。数学的一般性结论也不例外。因此在数学概念、公式的教学过程中，运用分析和综合方法创设合适的数学问题情境，不仅可以调动学生的非智力因素，而且还可以培养学生用数学的眼光和数学家的思维来审视世界、用数学的方法解决现实问题。课例数学必修“均值不等式”的教学某教师设置了如下的问题：商场在五一节期间进行商品降价活动。有三种方案：甲方案是第一次打p折，第二次打q折销售；乙方案是第一次打q折，第二次打p 折销售；
9、丙方案是两次都打折销售。试问：哪种方案降价较多？教师引导学生分析、探究、讨论，大都能归结为比较的大小问题，进而通过作差分析，可得，即可得。或将其开方则得到，教师再将其一般化，则得到一般性的结论。该教师创设的问题情境中引用了三个方案，在教师的指导下，从三个不同侧面运用数学手段对商品价格进行分析，然后综合三个结果，将其转化为比较大小问题，从而构建出不等式。该教师在创设问题情境时，有效地运用分析和综合思想使问题情境和数学知识有机地结合起来，让学生充分地体会到数学不是枯燥的、乏味的，它是可以生活化的、有用的，能提高学生学习数学的主动性。四、运用特殊与一般的关系优化数学问题情境由于共性寓于事物的个性之中
10、，对于有些较复杂的问题，当从一般角度难以解决时，我们可以通过考察和研究它的特殊情况，去探求发现规律和解题方法。数学概念、规律往往是抽象的、不易理解的，在教学过程中，从它们的特殊情况出发创设问题情境，使深奥、难理解的数学概念变得通俗易懂，给学生留下生动鲜明的印象。课例 数学选修“导数的概念”问题人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：。思考、回答以下问题：(1)运动员在这段时间里的平均速度是多少？(2)它能反映时的瞬时速度吗？(3)如何求运动员瞬时速度？(4)运动员在时的瞬时速度是多少？引导学生考察时附近的情况。在之前或之后，任意
11、取一个时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0。当0时，在2之后。计算区间和区间内的平均速度。发现，当趋近0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1。从物理角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度。以上问题情境中的平均速度和瞬时速度，就是导数概念中的平均变化率和瞬时变化率（导数）。这样，学生在下面学习导数定义时就会有一个直观的印象，也比较容易理解导数的定义。导数的一般性定义非常抽象，学生理解起来非常费劲，但是学生对物理中的平均速度和瞬时速度比较熟悉，通过对瞬时速度这个特殊导数的分析，使学生觉得导数并
12、不陌生，也有了学习的动力，这样，必能起到较好的教学效果。高中新课程要求数学教学紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设问题情境。在创设数学问题情境时，教师可以运用辨证思维优化问题情境，使抽象的、枯燥的数学概念、数学规律和数学问题变得具体、形象，改变学生对数学的固有印象，提高他们学习数学的兴趣，增强学习数学的主动性，提高学习效率，把教与学自然有机地结合起来，这符合新课改的教学理念。参考文献 1. 徐汝成 辨证思维解题策略举要 数学通报 2001.42. 辛春 创设问题情境促进数学学习 高中数学教与学 2007.103. 周文荣 例说数学问题情境的创设 数学通讯 2005.54. 周先荣 张国棣 关于问题情境数学性的思考 数学通讯 2008.54