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1、 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS 编号 学士学位论文判别正项级数收敛的方法学生姓名： 学 号： 系 部：数学系 专 业：数学与应用数学 年 级： 指导教师： 完成日期： 年 _月 日4摘要 判定级数敛散性是级数的首要问题，在研究其它级数的敛散性时，常常归结为研究正项级数的敛散性。判别正项级数敛散性的方法很多，本文主要讨论了判别正项级数敛散性的一些方法，比如：基本定义，柯西收敛准则，比较判别法，根式判别法，积分判别法，比较判别法的推广，拉贝尔判别法等主要的正项级数收敛判别法并对这此方法进行了证明，又提出了比较判别法，比式判别法，根式判别法的重要推广，以及如何根据通向的
2、特点来选择判别法，使级数敛散性的判别变得更为简单。关键词： 级数；有界；敛散性；单调；积分；收敛准则；极限 目 录摘要1引言31.正项级数收敛的定义32.基本定理43.正项级数收敛的基本判别法 43.1.比较判别法43.2.比较判别法的极限形式53.3.比式判别法（也称为达朗贝尔判别法）63.4.比式判别法的极限形式73.5.根式判别法（也称为柯西判别法）73.6. 根式判别法的极限形式93.7.积分判别法93.8.拉贝判别法103.9.拉贝判别法的极限形式113.10.高斯判别法123.11.（kummer判别法）134.判别法的比较155.总结与展望20参考文献20致谢22 正项级数收敛的
3、的判别法 引 言级数是数学分析中的一个重要组成部分，它是表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具，而正项级数是级数中非常重要的组成部分，许多级数的敛散性问题可以归结为正项级数的敛散性问题.而正项级数敛散性有很多种判别法，有时很难选择，以下重点讨论正项级数敛散性判别法，看如何选择判别方法使正项级数的敛散性判别更为简单.因此讨论正项级数的收敛判别法是很有必要的.1. 正项级数收敛的定义定义1：若则称为正项级数.定义2：设 为正项级数，且 ，（）若存在称为收敛；（）若不存在称为发散.2基本定理 定理1：正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有上界，即，有.证明： 收敛 ， 存在 有界 有上界
4、. 有上界且 单调增加 （ ， ） ，数列收敛即存在 ， 级数收敛.柯西收敛准则：定理：正项级数收敛，时，有.证明：（）正项级数收敛 ，由定义，部分和数列的极限存在，即，由数列收敛的柯西准则，时，,有 ，有 （），有 则 存在， 正项级数收敛.用收敛性定义可以证明：（i）正项级数收敛与正项级数的敛散性相同，（ii）若正项级数与收敛，则也收敛。3.正项级数收敛性的基本判别法3.1.比较判别法设和是两个正项级数，如果存在某正数，对一切都有，则：（i）若级数收敛，则也是收敛，是正常数。 （ii）若级数发散，则也是发散不妨设，有，设级数与的项部分和是与，由上述不等式有若级数收敛，根据定理数列有上界，从
5、而数列也有上界，级数收敛。若级数发散，根据定理，数列无上界，从而数列也无上界，级数发散。3.2.比较判别法的极限形式设 与是两个正项级数，且若 ，则（） 收敛且 时 也收敛；（ii） 发散且 时 发散.证明：（）若级数 收敛，且 , 有 或 ,即 ，有 且 收敛 . 由比较判别法，级数 收敛.（ii）若级数 发散 ，且 , ,有 或 即 ， 有 且 发散.由比较判别法，级数也发散.3.3.比式判别法（也称为达朗贝尔判别法）设为正项级数且存在某正数，及常数（），则若对一切，成立不等式，则级数收敛。若一切，成立不等式，则级数发散。证明：不妨设 有或 ； ； ； ；已知几何级数 收敛，根据比较判别法
6、得级数收敛。已知 ，有或即正数数列从以后单调增加，不趋近于0 ， 则级数发散。3.4.比式判别法的极限形式若 为正项级数 ， 且 ；则 ()当 时，级数 收敛 ；(ii)当 时，级数 发散 .证明：() , 由 ， ，有 或 ， 根据达朗贝尔判别法级数 收敛.（ii）已知 ，根据数列极限的保号性 ， ，有 ，根据达朗贝尔判别法级数 发散.3.5.根式判别法（也称为柯西判别法）设为正项级数，且存在某正数及正常数，则：若对一切 ，成立不等式 ，则级数收敛 若对一切，成立不等式，则级数发散 证明：（i）.若当时， 有即，而级数收敛，根据比较判别法得级数也收敛 （ii）.若从某项起，则故由级数收敛的必
7、要条件知发散。3.6. 根式判别法的极限形式设 为正项级数 ， 且 ， 则（）当 时 ，级数 收敛 ；（）当 时 ，级数 发散 .证明：（） 且 ， ，由数列极限定义，有 或 由柯西判别法，级数 收敛.（），根据数列极限的保号性 ，有 ， 由柯西判别法，级数 发散 .3.7.积分判别法设 为 上非负减函数，那么正项级数 与 无穷积分 同时收敛，同时发散.证明：由假设 为 上非负减函数，对任何正数 在 上可积，从而有 依次相加可得 （1）若无穷积分收敛，则由（1）式左边，对任何自然数 ，有 级数 收敛.反之，若 为收敛级数，则由（1）式右边，对任一自然数 ，有 （2）因为 为非负减函数，故对任何
8、正数 ，都有， 联系（2）式得无穷积分 收敛 .用同样方法可以证明 与 是同时发散的 .比较判别法的推广设 和为正项级数，且存在自然数N，使得时， ，以及，则（）若收敛 ，则也收敛.（）若发散，则也发散.证明：（）不妨设, 有 ，则 由此，两端分别相乘，得 即 因此，利用比较判别法就证明了（）.（） （用反证法）若收敛，则由（）知收敛.这与（）的条件矛盾.所以（）成立.3.8.拉贝判别法设 为正项级数 ，（）若存在某自然数 ， 时有 且 ，则级数 收敛 ；（）若 ， 时有 则 发散 .证明：（）由 ，可得 ， 选 使 ， 由于 因此，存在正数 ，使对任意 ，有 ，这样 于是，当 时，就有 当
9、时 ， 收敛，故级数 是收敛的 .（） 由 可得 ，于是 因为 发散 ， 故 是发散的 .3.9.拉贝判别法的极限形式设 为正项级数 ，且 ， 则（）当 时 ， 级数 收敛 ；（）当 时 ， 级数 发散 例： 讨论级数 （1），当时的敛散性 解： 无论那一位，对级数（1）的比式极限，都有 所以用比式判别法无法判别级数（1）的敛散性，现在应用拉贝尔判别法来讨论，当 时由于 所以 级数（1）是发散的。 当时由于由拉贝尔判别法可知级数(1)发散。 当 时， 拉贝尔判别法级数(1)收敛。定理3：设正项级数的项满足 则 当时，级数收敛.证明：当，取一适当小的正数，使得 则存在，使时，有，即 取p使得 ，
10、当 时，有， 即 因为 时，级数收敛 ，知级数收敛.例：研究级数的收敛性.解： ，应用上面的定理 = = 由定理知该级数收敛.3.10.高斯判别法设为正项级数，且其中有界，则（）当 时，级数收敛；（）当 时，级数发散.证明：应用泰勒公式，时成立 即 ， 则 必收敛.记 ， ， 因为 ，则 即 又因为 ， 其中 C为欧拉常数，则 ， 上式中为一非零常数，于是由比较判别法知:时 级数 收敛，时 级数 发散.3.11.（kummer判别法）（1）正项级数收敛的充分必要条件是存在正数数列和正数， 使得当充分大的时有 （I） （2）正项级数发散的充分必要条件是存在发散的正项级数，使得当充分大的时有 （I
11、I）证明：先证充分性。 不妨设条件（1）已对于成立；将它改写为可见正数数列单调减少，因此有估计，从而知级数收敛。再证明必要性；在收敛时记其余项为，令，则就有因此有因此取即可。（2）这时的充分性时比较判别法的比值形式，再证必要性，设 发散，取其中为级数的第个部分和，这时（II）满足 从和有关命题知发散。常用的比式判别法的推广1：（1） 设为正项级数且，则q1时发散。其中为某一个正整数。例如：讨论的敛散性。解：，收敛。比式判别法的推广2：（2） 设为正项级数且 (n=1,2,3.)又,则时收敛，时发散。例如：讨论的敛散性。解：，故发散。根式判别法的推广1：（3） 设为正项级数且则r1时发散。(其中
12、a0)例如：判别的敛散性。解：收敛。根式判别法的推广2：（4） 设为正项级数且，则r1时发散。例如：判别的敛散性。解：收敛。 4.判别法的比较 (一) 当级数化为含参数的一般式，通项为等差或等比或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时可以选用正项级数的充分条件进行判断。如：1. 由于 故得.（二） 当级数表达式形如: 级数一般项如含有或等三角函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级数（），级数，调和级数进行比较， 不宜算出或 等此类无法判断级数收敛性或进行有关的问题时候，应选用比较判别法。例1. 讨论级数的收敛性。解：当时，因为，而级数收敛故由比较判别法知所论级数收敛。当 时，又因
13、为 而级数收敛。于是比较判别法知所讨论级数收敛。综上所述，所论级数对所有都收敛。2.解： 因为收敛，故收敛 3. 解：因为 比较判别法的适用范围比较广泛，适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。 （三）当级数含有阶层，次幂，形如或或分子分母含多个因子连乘除时，选用比式判别法，当通项含与 的函数可以选用比式判别法的极限形式进行判断。；例：1. （判断敛散性）解：因为有比较判别法的极限形式知该级数发散2. 解： 因为由比式判别法知该级数发散.3.解：因为 故由比式判别法的极限形式得该级数发散。一般来说，当选用根式判别法无法判断时。我们也可以选用比式判别发来判断，但有时候我们用根式判别法
14、而不使用比式判别法，因为根式判别法的收敛条件比比式判别法更优。（四）当级数表达式形如，含有的表达式或可以找到原函数，或级数为上非单调减函数，含有或等三角函数的因子可以找到原函数，可以选用积分判断法。例：1.讨论级数的敛散性 解：当时，因为故由积分判别法知所讨论级数发散。再由比较判别法知所讨论级数时发散。当时因为 所以由积分判别法知所讨论的级数收敛。2.证明：当时，下列级数收敛： 解： 当时，函数在上是正的单调减少且连续，而无穷积分 都收敛，于是当时正项级数收敛。 3.讨论级数的敛散性解：设则在上非负递减， 收敛，由积分判断法知收敛。 （五）当级数同时含有阶层与次幂，形如与时，或使用比值，根式判
15、别法时极限等于1或无法判断其敛散性的时候，选用拉贝判别法，例： 1.判定级数的敛散性。 解： 由拉贝判别法知级数收敛。2.判别的敛散性。解：因为而由拉贝判别法知该级数收敛。因此，当根式判别法与比值判别法无法判断敛散性时，我们可以选用拉贝判别法。（六）当 的值可以化为泰勒展开式，则选用高斯判别法。如：1讨论 的敛散性. 解：由于 ，时 ，有 故原级数当 时收敛，当 时发散.5. 总结与展望综上所说，判别正项级数的敛散性有多种方法：比较判别法，柯西判别法，阿贝尔判别法以及上面讨论的比式判别法和积分判别法。但是它们各自适用于不同的形式的正项级数，根据判别法特性和级数通项的特点来选择判别方法更有利于级
16、数的敛散性问题的解决。如果原级数含有次幂的形式，则可考虑用柯西判别法，如果原级数含有等形式则可试用比式判别法，如果用上面三种方法都不容易判断敛散性可试用拉贝尔判别法，如果级数是乘积形式，那么可以选用上面介绍的其它方法。参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析（下册）M.第三版，高等教育出版社，2001：616.2 北京大学数学系（沈燮昌）.数学分析（第二册）M.第一版，高等教育出版社，1986：201 218.3 刘玉琏，傅沛仁. 数学分析讲义（下册）M.第三版，高等教育出版社，1992：1121.4 朱静航.数学分析（下册）M.第一版，吉林教育出版社，1988：1532.5 宋国柱，任福贤，
17、许绍溥，姜东平.数学分析教程（下册）M.第一版，南京大学出版社，1990：624. 6 何琛，史济怀，徐森林.数学分析（第三册）M.第一版，高等教育出版社，1985：1336.7 复旦大学数学系（陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中）.数学分析（下册）M.第二版，高等教育出版社，1983：1219.8 张筑生.数学分析新讲（第三册）M.第一版， 北京大学出版社：1991：180200.9 刘玉琏.数学分析（下册）M.第二版，高等教育出版社，1994：94107.致谢 在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很好的提高.在老师的指导下我的毕业论文顺利通过，他帮我批阅了好多次，提供了这方面的资料和很好的意见.非常感谢他的帮助，在老师耐心的指导下，我学会了论文的三步骤：怎么样开头，怎么样继续，怎么样结束.非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师，再他们的教育下，使我在各方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础.此致敬礼 : 年月 日