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1、本科毕业论文论文题目： 幂零矩阵的性质及应用 学生姓名： 学号： 2010411676 专业： 数学与应用数学 指导教师： 学 院： 数学科学学院 2014 年 4月 22 日毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题 目幂零矩阵的性质及应用选题时间完成时间2014.4.22论文（设计）字数4563字关 键 词幂零矩阵；若尔当块；特征值；幂零矩阵的秩；幂零指数论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：自己在学习矩阵问题时有的问题利用幂零矩阵来解决很方便，所以以此来作为研究对象，得到了本文的题目，通过查阅资料文献，了解幂零矩阵的性质，利用幂零矩阵可以使矩阵问题的解答更加简便。论文（设计）的主要内容及创
2、新点：内容：系统总结幂零矩阵的性质，通过举例详细讲解幂零矩阵在求解矩阵求逆问题、解决矩阵证明问题中的应用。创新点：本文系统详细的阐述了幂零矩阵的性质，特别是关于高阶幂零矩阵的秩的问题和幂零矩阵在矩阵问题各方面的应用，同时通过自己举例，使一些问题具体化，加深了幂零矩阵在解答矩阵问题的简便性的理解。 附：论文（设计）本人签名： 刘妍 2014年 4月 22 日目录摘要：.- 1 -Abstract: .- 1 -一、相关的基本概念- 2 -二、相关的一些引理- 2 -三、性质- 4 -四、关于幂零矩阵的简单应用- 12 -（一）、利用幂零矩阵求下列矩阵的逆- 12 -（二）、有关幂零矩阵的其他应用
3、举例- 15 -参考文献：- 20 - 幂零矩阵的性质及应用刘妍摘要：幂零矩阵是一类比较特殊的矩阵，不仅在矩阵领域有非常重要的作用，而且在数学领域以及其他领域应用都非常广泛，因此对幂零矩阵进行探究具有非常重要的意义.本文主要是对幂零矩阵的一些性质和结论进行归纳总结，从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质.在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法.幂零矩阵具有良好的性质，在解相关矩阵问题有很好作用，因此对幂零矩阵的研究很有意义.关键词：幂零矩阵, 若尔当块, 特征值, 幂零指数, 幂零矩阵的秩 The properties of nilpotent m
4、atrix and its applicationLiu YanAbstract: A special matrix, nilpotent matrix is a kind of not only has a very important role in the field of matrix, and in the field of mathematics and other fields are widely used, thus to explore the nilpotent matrix has very important significance. This article is
5、 mainly to some properties of nilpotent matrix and conclusions are summarized , from different angles of matrix related to the properties of nilpotent matrix is discussed. In the general matrix, matrix inverse more troublesome, in this paper, using the nilpotent matrix particularity discussed three
6、kinds of special matrix inverse method. Nilpotent matrix has good properties and has good effect in solving problems related matrix, so the study of nilpotent matrix is very meaningful.Key words:Nilpotent matrix, Jordan, characteristic number, Nilpotent index, Nilpotent matrix rank - 21 - 引言 在高等数学的学
7、习研究过程中，幂零矩阵是非常特殊且实用的工具，许多问题都会借助幂零矩阵的相关性质来进行研究，比如说求矩阵的逆和许多证明题目中都会用到，求矩阵的逆一般比较麻烦，对于一些特殊矩阵可以用幂零矩阵的性质来简单化解计算.一、相关的基本概念1、 设为阶方阵，若存在正整数，使，则称为幂零矩阵.2、 若为幂零矩阵，则满足的最小正整数称为的幂零指数.3、 设，则称为的转置， 称为的伴随矩阵.其中为中元素的代数余子式.4、设是复数域上全体矩阵，在中任意取定k行k列,.位于这些行和列的交点上的个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M称为的一个k级子式.5、设是复数域上mn矩阵，中非零子式的最高阶数称为的秩，记为.6
8、、 主对角线上元素为0的上三角矩阵称为严格的上三角矩阵.7、形为的矩阵称为若尔当块，其中为复数，由若干个若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵.8、 设为一个n阶方阵，称为矩阵的特征多项式.满足的的值称为矩阵A的特征值.9、 次数最低的首项系数为1的以为根的多项式称为的最小多项式.二、相关的一些引理 引理1：设为阶方阵，则. 1 引理2：，分别为矩阵的特征多项式和最小多项式，则有.引理3：每一个阶的复矩阵都与一若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去若尔当块的排序外被矩阵唯一决定的，它称为的若尔当标准形.引理4：若尔当形矩阵的主对角线上的元素为它的特征值.引理5：阶复矩阵与对角矩阵相似的充分必要
9、条件是和最小多项式无重根.引理6：相似矩阵具有相同的特征值.引理7：设为阶矩阵的特征值，则有，且对任意的多项式有的特征值为 .引理8：阶若当块的最小多项式为且有.引理9：矩阵的最小多项式就是矩阵的最后一个不变因子.引理10：为阶复数域上的矩阵，若，则存在可逆矩阵T，使得 .引理11：任意阶方阵，有.引理12：设A是n阶方阵，若，则.引理13：设A是n阶方阵，若，则 （1）； （2）.引理14：设A是n阶方阵，则 .引理15：设A是n阶方阵，则.引理16: 设A是n阶方阵，则.三、性质性质1：为幂零矩阵的充分必要条件是A的特征值全为0.证明：因为 为幂零矩阵,所以,使. 令为A任意一个特征值，则
10、. 由引理7知，为的特征值. 因为使 ,即有. 又有，知. 因为, 所以 为的特征值. 由的任意性知,的特征值为0. （方法一）因为的特征值全为0, 所以的特征多项式为. 由引理2知，. 所以为幂零矩阵,得证. （方法二）因为存在可逆矩阵T,使得 (为上三角矩阵） 2 由上三角矩阵的性质知， ，从而（n为的阶数）. （方法三）因为的所有特征根全为0, 所以的Jordan标准型J的若尔当块只能是 ， 取正整数m的所有阶数，则=0 所以有=0， 故所以为幂零矩阵.性质2：为幂零矩阵的充分必要条件为.证明： 因为为幂零矩阵， 由性质1，知:的特征值全为0 即. 又由引理7，知的特征值为,从而有.由已
11、知， (1.1) 令为的不为0的特征值,且互不相同重数为由（1.1）式及引理7，得方程组 （1.2）由于方程组（1.2）的系数行列式为又因为互不相同且不为0，,从而知，方程（1.2）只有0解，即即没有非零的特征值所以的特征值全为0,由性质1,得为幂零矩阵得证.性质3：若为幂零矩阵，则的若尔当标准形J的若当块为幂零若尔当块，且的主对角线上的元素为0. 证明：因为为幂零矩阵，再由性质1，知的特征值全为0. 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T，使得 , 其中阶数为. 由引理4，知为的特征值. 又因为与相似，由引理6，知与有相同的特征值. 所以 即的主对角线上的元素全为0. 由引理8，知, 故为
12、幂零矩阵,得证.性质4：若为幂零矩阵，则一定不可逆但有及可逆， 且其中为单位矩阵.证明：因为为幂零矩阵，所以使.故, 一定不可逆. 由性质1，得的特征值为 由引理7， 得,的特征值分别为 所以,及可逆， 且有,. 即,得证.性质5：若为幂零矩阵，则非退化.证明：令为的特征值,若退化，则有. 由引理7，得. 所以至少存在为的特征值， 又由引理7，得为的一特征值，这与为幂零矩阵矛盾,故为非退化，得证.性质6：若为幂零矩阵,为任意的阶矩阵且有，则也为幂零矩阵.证明：因为为幂零矩阵,所以,使. 又因为,. 所以 故也为幂零矩阵，得证. 性质7：若为幂零矩阵且，则有.证明：因为，所以 . 即. 对任意，
13、有 即有所以 性质8：若为幂零矩阵且，则不可对角化. 但对任意的阶方阵，存在幂零矩阵，使得可对角化.证明：因为为幂零矩阵，所以使且的特征值全为零. 为的特征多项式且, 令为的最小多项式，则有. 从而有. 由于所以，又此时， 即的最小多项式有重根，由引理5，知不可对角化 因为为阶方阵，由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵，使得 ,其中阶数为. 令阶数为, 则有阶数为. 由引理8，知,即为幂零矩阵. 现令, 则， 即 又为对角阵，由（1）式知可对角化. 令 且取, 则有, 即有可对角化且为幂零矩阵,得证.性质9：阶幂零矩阵的幂零指数小于等于且幂零指数等于其若尔当形矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.证
14、明:令为阶幂零矩阵,由性质3知，存在可逆矩阵, 使得 .其中,阶数为， 且,. 取，则且有 即 若令为的幂零指数，则,. 若，则使且.由（1.5）式，得 这与矛盾. 故,得证.性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零矩阵，且幂零指数相同并相似于严格上三角形 .证明：令为幂零矩阵，则的特征值全为0. 若与相似,由引理6，得与有相同的特征值. 所以的特征值也全为0，由性质1，知也为幂零矩阵. 为幂零矩阵由性质3知,存在可逆矩阵T,使得 其中,阶数为, 且, . 由性质9，知为的幂零指数 又与相似，与相似 ,从而有也与相似 所以可逆矩阵 ,使得. 又由性质9，知为的幂零指数, 从而有. 又为严格上三角
15、, 所以也为严格上三角形, 即,都相似于严格上三角形. 得证 .性质11：若为幂零矩阵，则都为幂零矩阵，特别有.证明：因为为幂零矩阵,所以,使. 由引理1，知, . 所以都为幂零矩阵. 因为， 所以也为幂零矩阵. 又因为为幂零矩阵，所以，即. 若，则有的所有阶代数余子式都为0. 则有,从而有. 若，则由性质3知,存在可逆矩阵，使得 , 其中阶数为且. 又显然与，所以有 所以,即有. 又, 所以. 由（1.3）式及引理1，知, , 得证. 性质12：设是为阶矩阵，且，则 （1）； （2）. 证明：因为，由引理16知 （1） （2） （3） 把上式相加得到：. （4） 由定理知：, 则. 故,即.
16、 所以，所以 所以,得证. 性质13：设是为阶矩阵，且，则 （1）为偶数且，则； （2)为奇数且，则. 证明：由引理16知：, 即. 再由引理16知： 即，由此类推， （1）为偶数且， 则. （2)为奇数且， 则,得证.四、关于幂零矩阵的简单应用 （一）、利用幂零矩阵求下列矩阵的逆 1、求可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆.若矩阵A可表示为幂零矩阵和单位矩阵的和，则可借用二项式展开定理将求矩阵A的逆转化为单位矩阵和幂零矩阵的乘幂.例 1 求.解： , 其中 且有.例2 求.解：,其中 且.2、求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆.对于主对角线元素完全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵和幂零矩阵
17、的和.例1 求. 解：,其中且. .例2 已知求.解： ， 其中且有. .3、求可表为若尔当块的幂的矩阵和的矩阵的逆。例1 设 求.解： 其中, .例2 , 求.解：, 其中 , ,.（二）、有关幂零矩阵的其他应用举例例1 设阶方阵，求证：（1）存在，使 （2）存在，而且， 证明：（1）因为在复数域上，可逆矩阵，使得,其中 阶数为. 令 为,的若当块, 为,的若当块, 由于,由引理8,得且,. ,. ,即可逆. 有,. 由（1.4）式，知与相似，且, 从而，得与相似， 综上可得，, 且, 即得证（2）由（1）知，, 使得 又已知 , .得证. 特别当时，可得例2 为阶方阵，为幂零矩阵且,则有.
18、证明：由引理，在复数域上，存在可逆矩阵，使得 , 又为幂零矩阵 所以的特征值全为0，即 又可逆 由,知为的特征值. 由引理，得. 从而得证.例3 为阶方阵，求证，可对角化，为幂零矩阵且.证明：由性质，知存在幂零矩阵，使得可对角化, 即存在可逆，使得, 即有. 由性质，知幂零矩阵则也幂零矩阵,又与相似，可对角化.令,，则有,可对角化,为幂零矩阵. 又为对角阵, ,得证例4 为阶方阵，且，证明：存在自然数.证明：由于， , . 由引理，得, 由性质，得为幂零矩阵, 由性质，知使，得证.例5 在复数域上，阶方阵相似于对角阵等价于对于的任一特征值，有与的秩相同.证明：因为对角化，则存在可逆矩阵，使得
19、. 从而有, , 所以与相同,即与的秩相同 由于在复数域上，存在可逆矩阵,使得 , 其中阶数为, 若不全为对角阵，则不妨令不可对角化，且有，有 , 从而知的秩大于的秩，即有的秩大于的秩. 也即 的秩大于的秩，这与已知矛盾. 所以所有为对角阵，从而得证相似于对角阵.参考文献： 1王蕚芳、石生明修订.高等代数（第三版）北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 M.北京:高等教育出本社.2003.2 2高代综论. 山师内部资料.2012.127-135 3杨子胥.高等代数习题集（上册）M.山东： 山东科学技术出版社.2004.4 4谷国梁.关于幂零矩阵性质的探讨.铜陵财经专科学校学报.2001年第4
20、期 5韩道兰、罗雁、黄宗文.幂零矩阵的性质及应用.玉林师范学院学报.2003年第4期 6姜海勤.幂零矩阵性质的一个应用. 泰州职业技术学院学报.2004.2曲阜师范大学本科毕业论文（设计）题目审批表学院：数学科学学院 (章)系别/教研室：数学与应用数学 时间： 年 月 日课题情况题目名称幂零矩阵的性质及应用课题性质A基础研究 B基础应用研究 C应用研究教师姓名许新斋职称教授学位课题来源A.科研 B.生产 C.教学 D. 学生自拟 E. 其它成果类别A.论文 B.设计主要研究内容与研究目标系统总结幂零矩阵的性质，通过举例详细讲解幂零矩阵在求解矩阵求逆问题和相关证明题目中的应用。达到利用幂零矩阵使
21、高等代数中矩阵问题简单化的目的。 指导教师（签名） 年 月 日 选题学生（签名）：刘妍 年月日系所或教研室审题意见 负责人（签名）: 年 月 日学院审批意见学院学位分委员会主任（签名）: 年 月 日曲阜师范大学本科毕业论文（设计）开题报告 论文题目： 幂零矩阵的性质及应用 学院名称： 数学科学学院 专 业： 数学与应用数学专业 学生姓名： 刘妍 学 号： 2010411676 指导教师： 年月日一、选题的性质 基础研究二、选题的目的和意义阐述幂零矩阵的一些性质，通过举例介绍幂零矩阵在求解矩阵求逆问题和相关证明问题中的应用，让人们了解幂零矩阵在计算矩阵问题的简便性。三、与本课题相关的国内外研究现
22、状，预计可能有所创新的方面现状：幂零矩阵的在矩阵计算中的研究都比较零散不够系统。创新：本文系统详细的总结了幂零矩阵的性质，特别是幂零矩阵高次幂的秩的性质，阐述了幂零矩阵在矩阵问题各方面的应用，同时通过自己举例，使一些问题具体化，加深了幂零矩阵在解答矩阵问题的简便性的理解。四、课题研究的可行性分析通过查阅大量资料，了解幂零矩阵的性质，举例说明幂零矩阵在矩阵各种问题的应用。五、课题研究的策略、方法和步骤通过查阅文献，上网检索收集有关幂零矩阵方面的资料，分析研究资料，总结，自己深入探讨，列举一些相关的例子介绍幂零矩阵在求解矩阵求逆问题和相关证明问题中的应用，使幂零矩阵的应用具体化通俗化。六、预期成果
23、形式描述通过学术论文的形式详细阐述幂零矩阵的性质，举例讲解幂零矩阵在解答矩阵问题各方面的应用。七、指导教师意见指导教师（签名）：年 月 日八、学院学位分委员会意见 学院学位分委员会主任（签名）： 年 月 日曲阜师范大学本科毕业论文（设计）教师指导记录表学院：数学科学学院 系别：数学与应用数学 专业：数学与应用数学论文（设计）题目：幂零矩阵的性质及应用学生姓名刘妍学号2010411676指导教师职称教授计划完成时间：2014.4.23指导情况纪录（含指导时间、指导内容）1、 2013年10月18日，召开毕业论文工作动员会，对毕业论文工作进行部署并提出要求。主要内容：（1）指出撰写毕业论文的意义。
24、（2）就如何选题提出指导意见。（3）强调要求选题要有一定的研究价值和现实意义；要有一定的开拓性和创新性。2、 2013年12月1日，指导如何准备开题报告。3、 2013年12月30日，对初稿提出修改意见。主要修改如下几点：（1）充实有关创新内容。（2）修改引言部分，引言中应简述论文的研究背景、 主要内容、论文的意义和应用价值，要指出论文的创新点。（3）修改摘要部分。4、 2014年4月17日，对修改一稿提出修改意见。（1）分析问题要透彻，论证要完整严密，表达要准确精炼。（2）全文需要重新组织使论文结构更加清晰和条理。5、 2014年4月30日，对修改二稿提出修改意见。（1）中英文题目、关键词、
25、摘要要一致，英文题目和摘要应符合英文语法，用词要准确规范。（2）论文整体结构安排应清晰有序。6、 2014年5月11日，对修改三稿提出修改意见。（1）论文要按教务处统一要求的格式和数学文献的排版规范排版。（2）仔细检查并纠正数学方面和打印方面的错误。7、 2014年5月13日，要求对论文做最后的全面检查并定稿，指导如何做好答辩前准备工作。 指导教师（签名）： 学生（签名）：刘妍学院学位分委员会主任（签名）： 年 月 日注：本科论文（设计）的指导应不少于5次，如表格空间不足可另附页。指导教师意见（包括选题的意义，资料收集或实验方法、数据处理等方面的能力，论证或实验是否合理，主要观点或结果是否正确
26、，有何独到的见解或新的方法，基础理论、专业知识的掌握程度及写作水平等，并就该论文是否达到本科毕业论文水平做出评价）成绩： 指导教师（签名）： 年 月 日注：成绩按优、良、中、合格、不合格五级分制计。评阅人意见（包括选题的意义，资料收集或实验方法、数据处理等方面的能力，论证或实验是否合理，主要观点或结果是否正确，有何独到的见解或新的方法，基础理论、专业知识的掌握程度及写作水平等，并就该论文是否达到本科毕业论文水平做出评价） 成绩： 评阅人（签名）： 年 月 日注：成绩按优、良、中、合格、不合格五级分制计。答辩委员会意见成绩： 答辩委员会主任（签名）： 年 月 日学院学位分委员会意见 成绩： 学位
27、分委员会主任（签名）： （公章） 年 月 日注：成绩按优、良、中、合格、不合格五级分制计。曲阜师范大学本科毕业论文（设计）答辩记录表学院：数学科学学院（章）系别：数学与应用数学 专业：数学与应用数学论文（设计）题目：幂零矩阵的性质及应用学生姓名刘妍学 号2010411676指导教师职 称教 授答辩时间2014.5.答辩地点答辩委员会名单姓 名性别职 称职 务其它男副教授答辨委员会主任男教授答辨委员会委员男讲师答辨委员会委员兼秘书男讲师答辨委员会委员答辩记录：问：证明矩阵是幂零矩阵的充要条件有哪些答：第一个是矩阵的特征值全为0；第二个是。问：本论文的创新点是什么？答：本文系统详细的阐述了幂零矩阵
28、的性质，特别是关于高阶幂零矩阵的秩的问题和幂零矩阵在矩阵问题各方面的应用，同时通过自己举例，使一些问题具体化，加深了幂零矩阵在解答矩阵问题的简便性的理解。 记录人（签名）： 答辩委员会主任（签名）： 2013年5 月 日 年 月 日曲阜师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院：数学科学学院 专业：数学与应用数学 班级：10级应数1班姓名刘妍学号2010411676指导教师论文（设计）题 目幂零矩阵的性质及应用关键词幂零矩阵；若尔当块；特征值；幂零矩阵的秩；幂零指数论文（设计）字数4563字内容摘要： 幂零矩阵是一类比较特殊的矩阵，不仅在矩阵领域有非常重要的作用，而且在数学领域以及其他领域应用都非常广泛，因此对幂零矩阵进行探究具有非常重要的意义.本文主要是对幂零矩阵的一些性质和结论进行归纳总结，从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质.在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法.幂零矩阵具有良好的性质，在解相关矩阵问题有很好作用，因此对幂零矩阵的研究很有意义.成绩学院负责人（签名）年 月 日注：文科论文摘要不少于500字，理科不少于300字。本页一式两份，一份装入学生档案，一份由学院保