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1、2018 年全国高中数学联赛河南省预赛 高三数学试题 一、填空题 1已知函数，若的定义域为，值域为， 则的值为 _ 【答案】 0 【解析】【详解】 因为， 所以有，得，故在上是增函数， 进而解得（舍）或 故填 0 2一个棱长为6 的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体可以在纸盒内任 意转动，则小正四面体棱长的最大值为_ 【答案】 2 【解析】【详解】 因为小正四面体可以在纸盒内任意转动， 所以小正四面体的棱长最大时，为大正四面体内切球的内接正四面体 记大正四面体的外接球半径为， 小正四面体的外接球（大正四面体的内切球）半径为， 易知，故小正四面体棱长的最大值为 3已知为虚数单位，则在的
2、展开式中，所有奇数项的和是_ 【答案】 512 【解析】【详解】 易知的展开式中，所有奇数项的和是复数的实部 又 故填 512 4已知点在内，且满足，设、的面积 依次为、，则_ 【答案】 【解析】【详解】 因为， 所以，所以 5已知、 、 均为正数，则的最大值为 _ 【答案】 【解析】【详解】 记，那么， 于是，得 又 由可得，所以，即，当且仅当时取得 6若，则被 3 除 的余数是 _ 【答案】 1 【解析】【详解】 令，得 分别令和，将得到的两式相加，得 所以 7设经过定点的直线 与抛物线相交于、 两点，若为常数， 则的值为 _ 【答案】 2 【解析】【详解】 设直线的参数方程为（ 是参数，
3、是倾斜角且， 代入抛物线方程得 设该方程的两根为、，则， 则 为常数， 所以 8将圆的一组等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记 录个点的颜色，称为该圆的一个“阶色序 ” ，当且仅当两个阶色序对应位置上 的颜色至少有一个不相同时，称为不同的阶色序若某圆的任意两个“3 阶色序 ” 均不 相同，则该圆中等分点的个数最多可有_个 【答案】 8 【解析】【详解】 “3 阶包序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶色序”共有种 一方面，个点可以构成个“3 阶色序”，故该圆中等分点的个数不多于8 个 另一方面，若，则必须包含全部8 个“3 阶色序”，如按逆时针方向确定8 个的颜 色为
4、“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件 故该圆中等分点的个数最多可有8 个 二、解答题 9已知，试求的最大值 【答案】 【解析】【详解】 由题意得， 则 记点，直线， 则点的轨迹方程为单位圆：，且 从而圆心到直线 的距离 整理得 解得，故的最大值为 10已知方程在平面上表示一椭圆试求它的对称 中心及对称轴 【答案】 对称中心为，对称轴为 【解析】【详解】 易知点，均在曲线上 设椭圆的对称中心为，则点，均在曲线上 故有， 化简得代入并化简得 解得从而，故对称中心为 又对称轴经过对称中心，故可设对称轴方程为 设点关于直线的对称点为，则有 又在曲线上，则有 将代入上式并化简得 不合题意，故 因此
5、，对称轴方程为 11在数列中，、是给定的非零整数， （ 1）若，求； （ 2）证明：从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数项 【答案】（1）1（2）见解析 【解析】【详解】 （ 1）因， ， 所以自第20 项起，每三个相邻的项周期的取值为1，1，0 又，故 （ 2）首先证明：数列必在有限项后出现“ 0”项 假设中没有“ 0”项，由于，所以当时，都有 若，则 若，则 即要么比至少小 1，要么比至少小 1， 令， 2，3，则 由于是确定的正整数，这样下去，必然存在某项，这与矛盾， 故中必有“ 0”项 若第一次出现的“ 0”项为，记， 则自第项开始，每三个相邻的项周期的取值0、， 即，1，2， 所以数列中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数列 12已知的三边长分别为、 、 ，且满足，是否存 在边长均为整数的？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由 【答案】 存在边长均为整数的满足条件的，其三边长分别为3、7、8 或 4、5、6 【解析】【详解】 不妨设，显然 若，此时有， 由可得，矛盾 故 只能取 2、3、4 若，则，得，又，故无解 若，则，即， 又因为，从而或或 解得或或 其中能够构成三角形的只有， 若，则，即， 又因为，从而或 解得或 其中能够构成三角形的只有， 综上，存在边长均为整数的满足条件的，其三边长分别为3、 7、8 或 4、5、6