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1、绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。第卷1 至 2 页，第卷3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利 第卷 注意事项： 1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号。 2. 本卷共 8 小题，每小题5 分共 40 分。 参考公式
2、： 如果事件A，B互斥，那么P ABP AP B. 圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高 棱锥的体积公式 1 3 VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设集合1,1,2,3,5A，2,3,4B，|13CxRx,，则()ACB （A）2 （B）2，3 （C）-1 ，2，3 （D）1 ，2，3，4 （2）设变量, x y满足约束条件 20, 20, 1, 1, xy xy x y 则目标函数4zxy的最大值为 （A）2 （B）3 （C） 5 （D）6 （3）设xR，则“05x”是“11x”
3、的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为 （A）5 （B）8 （C） 24 （D）29 （5）已知 2 log 7a， 3 log 8b， 0.2 0.3c，则, ,a b c的大小关系为 （A）c ba （B）a bc （c）b ca （D）c ab （ 6）已知抛物线 2 4yx的焦点为F，准线为l. 若与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线分别 交于点A和点B，且| 4 |ABOF（O为原点），则双曲线的离心率为 （A）2（B）3（C）2 （D）5 （
4、 7）已知函数( )sin()(0,0,|)f xAxA是奇函数，且fx的最小正周期为，将 yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） ，所得图象对应的函数为g x. 若 2 4 g ，则 3 8 f （A）-2 （B）2（C）2（D）2 （8） 已知函数 2,01, ( ) 1 ,1. xx f x x x 剟 若关于x的方程 1 ( )() 4 f xxaaR恰有两个互异的实数解， 则a的取值范围为 （A） 5 9 , 4 4 （B） 5 9 , 4 4 （C） 5 9 ,1 4 4 （D） 5 9 ,1 4 4 绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津
5、卷） 数学（文史类） 第卷 注意事项： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2. 本卷共 12 小题，共110 分。 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。 （9）i是虚数单位，则的值 5 1 i i 的值为 _. （10）设xR，使不等式 2 320xx成立的x的取值范围为 _. （11）曲线 cos 2 x yx在点0,1处的切线方程为_. （ 12）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5. 若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四 条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_. （13）设0x，0y，24xy，则 (1)(2
6、1)xy xy 的最小值为 _. （ 14）在四边形ABCD中，ADBC，2 3AB，5AD，30A，点E在线段CB的延长 线上，且AEBE，则BD AE_. 三. 解答题：本大题共6 小题，共80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15） （本小题满分13 分） 2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利 息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除. 某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分 层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况. （）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （
7、）抽取的25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6 人，分别记为,A B C D E F. 享受情况如 右表，其中“”表示享受， “”表示不享受. 现从这 6 人中随机抽取2 人接受采访 . 员工 项目 A B C D E F 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 （i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii ）设M为事件“抽取的2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率 . （16） （本小题满分13 分） 在ABC中，内角ABC，所对的边分别为, ,a b c.已知2bca，3 sin4 sincBaC. （）求cosB的值； （）
8、求sin 2 6 B 的值 . （17） （本小题满分13 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形， 平面PAC平面PCD， PACD，2CD，3AD， （）设GH，分别为PBAC，的中点，求证：GH 平面PAD； （）求证： PA 平面PCD； （）求直线 AD与平面PAC所成角的正弦值 . （18） （本小题满分13 分） 设 n a是等差数列， n b是等比数列，公比大于0，已知 11 3ab， 23 ba， 32 43ba. （）求 n a和 n b的通项公式； （）设数列 n c满足 2 1, , n n n c bn 奇 偶 为数 为数 求
9、* 1 12222nn a ca ca cnN. （19） （本小题满分14 分） 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F， 左顶点为A， 顶点为B. 已知 3 | 2 |OAOB（O为原点）. （）求椭圆的离心率； （） 设经过点 F 且斜率为 3 4 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为 P，圆C同时与 x轴和直线 l相切， 圆心 C在直线4x上，且OCAP，求椭圆的方程. （20） （本小题满分14 分 设函数( )ln(1) x f xxa xe，其中aR. （）若 0a ，讨论fx的单调性； （）若 1 0a e ， （i ）证明fx恰有两个零点 （ii ）设x为f
10、x的极值点， 1 x为fx的零点，且 10 xx，证明 01 32xx. 绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）参考解答 一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分40 分 （1）D （2）C （3） B （4）B （5）A （6）D （7） C （8）D 二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分30 分 （9）3（ 10） 2 1, 3 （11）220xy （12） 4 （ 13） 9 2 （14）1 三. 解答题 （ 15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算
11、公式 等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，满分13 分. 解： （1）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25 位员工，因 此应从老、中、青员中分别抽取6 人， 9 人， 10 人. （） （i ）从已知的6 人中随机抽取2 人的所有可能结果为 ,A BA CA DA EAFB CB DB EB FC DC EC FD ED FE F， ， ，共 15 种 . （ii ）由表格知，符合题意的所有可能结果为 ,A BA DA EA FB DB EB FC EC FD FE F，共 11 种. 所以，事件M发生的概率 11 () 15 P M
12、 （ 16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正 弦定理、余弦定理等基础知识. 考查运算求解能力. 满分 13 分. （ 1）解：在ABC中，由正弦定理 sinsin bc BC ，得sinsinbCcB，又由3 sin4 sincBaC，得 3 sin4 sinbCaC，即34ba. 又因为2bca，得到 4 3 ba， 2 3 ca. 由余弦定理可得 222 222 416 1 99 cos 2 24 2 3 aaa acb B ac aa . （）解：由（1）可得 2 15 sin1cos 4 BB ，从而 15 sin 22sincos
13、 8 BBB， 22 7 cos2cossin 8 BBB，故 153713 57 sin 2sin2coscos2sin 666828216 BBB . （ 17）本小题主要考查直线与平面平行直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知 识. 考查空间想象能力和推理论证能力满分13 分. （） 证明： 连接BD，易知ACBDH，BH DH . 又由BGPG，故GHPD，又因为GH 平面PAD，PD平面PAD，所以GH 平面PAD. （）证明：取棱PC的中点N，连接DN. 依题意，得DNPC，又因为平面PAC平面PCD，平 面PAC平面PCDPC， 所以DN平面PAC， 交PA平
14、面PAC， 故D NP A. 又已知PACD， CDDND，所以PA平面PCD. （）解：连接 AN，由（）中DN 平面PAC，可知 DAN为直线AD与平面PAC所成的角， 因为PCD为等边三角形，2CD且N为PC的中点，所以3DN. 又DNAN， 在Rt AND中， 3 sin 3 DN DAN AD . 所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 3 3 . （ 18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识，考查数列求和的基 本方法和运算求解能力. 满分 13 分 . （）解： 设等差数列 n a的公差为d， 等比数列 n b的公比为q依题意，得 2 332
15、3154 qd qd ， 解得 3 3 d q ， 故33(1)3 n ann， 1 333 nn n b. 所以， n a的通项公式为3 n an， n b的通项公式为3 n n b. （）解： 1 12222nn a ca ca c 135212 142632nnn aaaaa ba ba ba b 123(1) 3663123183.63 2 nn n nn 212 36 1 3233 n nn 12 1 3233 n n Tn. 233 1 31 3233 n Tn， - 得， 1 2311 3 13 (21)33 23 33333 1 3 . 2 n n nnn n n Tnn .
16、所以， 1 22 1 122202 (21)33 .3633 2 n nn n a ca ca cnTn 22 * (21)369 2 n nn nN. （19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识. 考查用代数方法研究圆锥曲 线的性质 .考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力，满分14 分. （）解：设椭圆的半焦距为c，由已知有32ab，又由 222 abc，消去b得 2 223 2 aac ， 解得 1 2 c a . 所以，椭圆的离心率为 1 2 . （）解：由（）知，2ac，3bc，故椭圆方程为 22 22 1 43 xy cc . 由题
17、意，,0Fc，则直线l 的方程为 3 () 4 yxc. 点 P 的坐标满足 22 22 1 43 3 () 4 xy cc yxc ， ， ，消去y并化简，得到 22 76130xcxc， 解得 1 xc， 2 13 7 c x， 代入到l的方程，解得 1 3 2 yc， 2 9 14 yc.因为点P在x轴上方，所以 3 , 2 P cc . 由圆心C在直线4x上，可设4,Ct. 因为OCAP，且由（）知2 ,0Ac，故 3 2 42 c t cc ，解得 2t. 因为圆C与x轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C与l相切，得 2 3 (4)2 4 2 3 1 4 c ，可得2c. 所以，椭圆的
18、方程为 22 1 1612 xy . （ 20）本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数 思想、化归与转化思想. 考查综合分析问题和解决问题的能力. 满分 14 分 . （）解：由已知，fx的定义域为(0,)，且 2 11e ( )e(1)e x xx ax fxaa x xx 因此当0a时， 2 1e0 x ax，从而( )0fx，所以fx在(0,)内单调递增 . （）证明： （i ）由（）知 2 1 ( ) x ax e fx x . 令 2 ( )1 x g xax e，由 1 0a e ， 可知g x在(0,)内单调递减，又(1)10gae
19、，且 22 1111 ln1ln1ln0ga aaaa . 故 0g x 在(0,)内有唯一解，从而( )0fx 在(0,)内有唯一解，不妨设为 0 x，则 0 1 1lnx a . 当 0 0,xx时， 0 ( ) ( )0 g xg x fx xx ，所以fx在 0 0,x内单调递增；当 0 (),xx时， 0 ( ) ( )0 g xg x fx xx ，所以fx在 0 (),x内单调递减，因此 0 x是fx的唯一极值点 . 令( )ln1h xxx，则当1x时， 1 ( )10h x x ，故h x在(1,)内单调递减，从而当1x时， 10h xh，所以1lnxx. 从而 1 ln 1
20、11111 lnln lnln1 eln lnln1ln0 a fah aaaaaa ， 又因为 0 (1)0fxf，所以fx在(1,)内有唯零点. 又fx在 0 0,x内有唯一零点1，从而， fx）在(1,)内恰有两个零点. （ ii ）由题意， 0 1 0, 0, fx fx 即 1 2 0 11 1 ln1 x x ax e xa xe ，从而 101 12 0 1 ln xxx xe x ，即 10 2 01 1 ln 1 xx xx e x . 因为 当1x时，ln1xx，又 10 1xx，故 10 2 012 0 1 1 e 1 xx xx x x ，两边取对数，得 10 2 0 lnln xx ex， 于是 1000 2ln21xxxx， 整理得 01 32xx.