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1、数学高考基础知识、常见结论详解（三）八、导 数考试要求：(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。(2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。基本概念：求导数的方法：（1）常用的导数公式：(c)/=0 这里c是常数。即常数的导数值为。 (xn)/=nxn1 特别地：(
2、x)/=1 (x1)/= ( )/=x-2 (sinx)=cosx, (cosx)=-sinx ， ， ， （2）两个函数四则运算的导数：(uv)=uv (uv)=uv+uv （v 0） (cu)=cu（3）复合函数的导数： 导数的几何物理意义：kf/(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0)的切线的斜率。Vs/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。导数的应用：求切线的斜率。导数与函数的单调性的关系 与 为增函数的关系。 能推出 为增函数，但反之不一定。如函数 在 上单调递增，但 ， 是 为增函数的充分不必要条件。 时， 与 为增函数的关系。若将 的根作为分界点，因为规定
3、 ，即抠去了分界点，此时 为增函数，就一定有 。当 时， 是 为增函数的充分必要条件。 与 为增函数的关系。 为增函数，一定可以推出 ，但反之不一定，因为 ，即为 或 。当函数在某个区间内恒有 ，则 为常数，函数不具有单调性。 是 为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域;（2）求导数 （3）解不等式 ，解集
4、在定义域内的部分为增区间（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间。我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以上关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数 在某个区间内可导。求极值、求最值。注意：极值最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。f/(x0)0不能得到当x=x0时，函数有极值。但是，当x=x0时，函数有极值 f/(x0)0判断极值，还需结合函数的单调性说明。4.导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可
5、用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于 次多项式的导数问题属于较难类型。注：1关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。九、排列组合与二项式定理考试要求：(1)掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。(2)理解排列的意义.掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。(3)理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质.并能用它们解决一些简单的应用问题。(4)掌握
6、二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。基本概念：计数原理加法原理：N=n1+n2+n3+nM (分类) 乘法原理：N=n1n2n3nM (分步)排列（有序）与组合（无序）Anm=n(n1)(n2)(n3)(nm+1)= Ann =n!Cnm = Cnm= CnnmCnmCnm1= Cn+1m+1 kk!=(k+1)!k!排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）插
7、空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：分类讨论思想；转化思想；对称思想.二项式定理：(a+b)n=Cn0ax+Cn1an1b1+ Cn2an2b2+ Cn3an3b3+ Cnranrbr+ Cn n1abn1+ Cnnbn特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+Cnrxr+Cnnxn通项为第r+1项：Tr+1= Cnranrbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项
8、、有理项等有关问题。主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnnm 最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）所有二项式系数的和：Cn+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+Cnr+Cnn=2n奇数项二项式系数的和偶数项而是系数的和Cn+Cn+Cn+ Cn+ Cn+Cn+Cn+Cn+ Cn+ Cn+=2n-15. 注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。6二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。十、概 率考试要求：(1)了解随
9、机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。(2)了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。(3)了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。(4)会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生次的概率。基本概念：1必然事件 P(A)=1，不可能事件 P(A)=0，随机事件的定义 0P(A)N时，有|an-A|1时，数列无极限当|q|1时，数列有极限，（ （|q|1且q0）5无穷递缩等比数列各项和 （|q|0,存在M0，当|x|M时，不等式|f(x)-a|恒成立（a是常数），那么就说x时，f(x)的
10、极限是a。注意： 2当xx0时，函数f(x)的极限。（1） 当x从点x0左侧(xx0)且xx0时，f(x)a（3） 设函数f(x)在x0的邻域(x0-b,x0)(x0, x0+b)(b0)内有定义，如果对于预先给定的任意小的0,都存在 0，当0|x-x0| 时，不等式|f(x)-a|恒成立，(a是常数)，那么，就说xx0时,f(x)的极限是a。注意： 3两个重要极限（1） （2） （三）函数的连续性：1函数的连续性定义（1）如果函数f(x)在点x=x0处及其附近有定义，且 ，那么f(x)在点x0处连续。（2）如果函数f(x)在点x=x0处及其左侧（或右侧）有定义，而且 （或者 ），那么，f(x
11、)在点x0处左连续（右连续）。（3）若f(x)在(a,b)内每一点都连续，且在a点右连续，b点左连续，则称f(x)在闭区间a,b上连续。2运算：（1）若f(x)，g(x)在x0点处连续，则f(x)g(x)，f(x)g(x)， 也在x0处连续。（2）在 在点x0处连续，且f(u)在 处连续，则复数函数 在点x0处也连续。3初等函数的连续性：（1）正比例函数，反比例函数，一（二）次函数，幂、指、对数函数，三角、反三角函数都属于基本初等函数，基本初等函数在定义域里每一点处都连续。（2）基本初等函数及常数经有限次四则运算得到的函数都是初等函数，初等函数在其定义域里每一点处的极限值都等于该点的函数值。说
12、明：f(x)在x0处连续与f(x)在点x0处有极限的联系与区别：联系：f(x)在点x0处连续是依据f(x)在x0处的极限来定义的，它要求 存在。区别：f(x)在点x0处连续比在此点处有极限所具备的条件要强：首先 存在时，x0可以属于或不属于f(x)的定义域，即与f(x0)是否有意义无关；而f(x)在x0处连续，要求f(x)在点x0及其附近都要有意义。其次f(x)在点x0处的极限值与f(x)在点x0处的函数值f(x0)要相等。综上：连续必有极限，而有极限未必连续。函数f(x)在点x0处连续的三个条件缺一不可：其一：f(x)在点x0处有定义；其二：f(x)在点x0处有极限，其三： 。从运算角度，连
13、续函数在某一点x0处的极限运算与函数关系“f”可以交换顺序。十三、数系的扩充复数考试要求：(1) 了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义。(2) 掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算。 (3) 了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想。基本概念：1. 形如a+bi(a,bR)的数称为复数。说明：这里a,bR容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。2. 相等 复数不能比大小，除非它们都是实数。3. 几何意义复数 4. 运算(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。5. 共轭复数 注意：以上考试要求均参考2005年考试大纲。10