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1、第十四章 结构动力学,14-1. 概述,1.1 动荷载及其分类,一.动荷载的定义,大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。,自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。,二.动荷载的分类,1.2 结构动力学的研究内容和任务,结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。,第一类问题：反应分析（结构动力计算）,第二类问题：参数（或称系统）识别,第三类问题：荷载识别。,当前结构动力学的研究内容为:,一.结构动力学的研究内容,第四类问题：控制问题,-正问题,-反问题,-反问题,-控制
2、问题,二. 结构动力学的任务,讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找结构固有动力 特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用 下的反应规律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。,1.3 结构动力分析中的自由度,一. 自由度的定义,确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。,二. 自由度的简化,实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程 角度也没必要。常用简化方法有：,1) 集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则） 集中在某些几何点上，除这些点之外物体是 无质量的。这样就将无限自由度系统变成一 有限自由度系统。,2
3、) 广义坐标法,-广义坐标,-基函数,3) 有限元法,和静力问题一样，可通过将实际结构 离散化为有限个单元的集合，将无限自由 度问题化为有限自由度来解决。,二. 自由度的确定,广义坐标个数即 为自由度个数,结点位移个数即 为自由度个数,二. 自由度的确定,W=2,W=2,弹性支座不减少动力自由度,为减少动力自由度，梁与刚架不 计轴向变形。,W=1,5),W=2,自由度数与质点个数无关，但 不大于质点个数的2倍。,W=2,W=1,二. 自由度的确定,8) 平面上的一个刚体,W=3,9)弹性地面上的平面刚体,W=3,W=2,W=1,W=13,自由度为1的体系称作单自由度体系； 自由度大于1的体系称
4、作多（有限）自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。,1.4 体系的运动方程,要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的有虚功法、变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”。,运动方程,惯性力,形式上的平衡方程，实质上的运动方程,一、柔度法,柔度系数,柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。,柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。,二、刚度法,刚度系数,刚度法步骤： 1.在质量上沿
5、位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。,柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。,三、列运动方程例题,刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。,例1.,例2.,柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。,三、列运动方程例题,刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。,例3.,例4.,层间侧移刚
6、度,对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度.,层间侧移刚度,对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度.,三、列运动方程例题,列运动方程时可不考虑重力影响,例5.,-P(t)引起的动位移,-重力引起的位移,质点的总位移为,加速度为,三、列运动方程例题,例6.,=,简记为,位移向量,柔度矩阵,荷载向量,质量矩阵,例7.,=,刚度矩阵,例8 建立图示体系的运动方程,例9 建立图示体系的运动方程,例10 图示体系为质量均匀分布
7、的刚性平板,试建立运动方程. 总质量为M,转动惯量为J.,设 水平位移为x 竖向位移为y 转角为,2.单自由度体系的振动分析,2.1 不计阻尼自由振动,自由振动-由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。,分析自由振动的目的-确定体系的动力特性：频率、周期。,一.运动方程及其解,阻尼-耗散能量的作用。,m,令,二阶线性齐次常微分方程,其通解为,由初始条件,可得,令,其中,二.振动分析,单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动.,自振周期,自振园频率(自振频率),三.自振频率和周期的计算,1.计算方法,(1)利用计算公式,(2)利用机械能守恒,(3)利用振动规律,位移与惯性力同频同步
8、.,幅值方程,三.自振频率和周期的计算,2.算例,例一.求图示体系的自振频率和周期.,解:,例二.求图示体系的自振频率和周期.,解:,例三.质点重W,求体系的频率和周期.,解:,例四.求图示体系的自振频率和周期.,解:,1.能量法,2.列幅值方程,A,2.2 简谐荷载作用下的受迫振动(不计阻尼),一.运动方程及其解,二阶线性非齐次常微分方程,受迫振动-动荷载引起的振动.,P -荷载幅值,-荷载频率,运动方程,或,通解,其中,设,代入方程,可得,通解为,二.纯受迫振动分析,-荷载幅值作为静荷载所引起的静位移,-动力系数,-稳态振幅,-频比,-共振,增函数,减函数,为避开共振 一般应大于1.25
9、或小于0.75.,共振区,若要使振幅降低,应采取何种措施?,通过改变频比可增加或减小振幅.,应使频比减小.,增加结构自频.,增加刚度、减小质量.,应使频比增大.,减小结构自频.,减小刚度、增大质量.,例1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知,三.动位移、动内力幅值计算,计算步骤:,1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的 位移、内力；,2.计算动力系数；,3.将得到的位移、内力乘以动力系数 即得动位移幅值、动内力幅值。,解.,例2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知:,解.,重力引起的弯矩,重力引起的位移,振幅,动弯矩幅值,跨中最大弯矩,跨中最大位移,动荷载不作用于质点时的计算,令,仍是位移动
10、力系数,是内力动力系数吗?,运动方程,稳态解,振幅,列幅值方程求内力幅值,解:,例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知,动弯矩幅值图,解:,例:求图示体系右端的质点振幅,o,一.阻尼与阻尼力,阻尼:使振动衰减的作用.,阻尼产生原因:,材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等.,c-阻尼系数,2.3 阻尼对振动的影响,阻尼力：,在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。,粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。,二.计阻尼自由振动,1.运动方程及其解,令,运动方程,设,特征方程,根为,令,方程的通解为,由初始条件,不振动,-临界阻尼系数,-阻尼比,不振动,小阻尼
11、情况,临界阻尼情况,超阻尼情况,2.振动分析,周期延长,计算频率和周期可不计阻尼,振动是衰减的,对数衰减率,利用此式,通过实验可确定 体系的阻尼比.上式也可写成,例: 对图示体系作自由振动试验.用钢 丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 力16.4kN,将绳突然切断,开始作 自由振动.经4周期,用时2秒,振幅 降为1cm.求,1.阻尼比 2.刚度系数 3.无阻尼周期 4.重量 5.阻尼系数,6.若质量增加800kg体系 的周期和阻尼比为多少,解:,1.阻尼比,2.刚度系数,3.无阻尼周期,4.重量,5.阻尼系数,6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比 为多少,三.计阻尼简谐荷载受迫振动,1.
12、运动方程及其解,设,或,通解,初位移、初速度引起的自由振动分量,动荷载激起的按结构自振频率振动的分量,称为伴随自由振动,纯受迫振动,2.阻尼对振幅的影响,在平稳阶段,随 增大而减小,阻尼在共振区内影响显著, 在共振区外可不计阻尼.,的最大值并不发生在,位移滞后于荷载,3.动内力、动位移计算,除动力系数计算式不同外， 其它过程与无阻尼类似。,例.图示为块式基础.机器与基础的质量为 ;地基竖向 刚度为 ;竖向振动时的阻尼比为 机器转速为N=800r/min,其偏心质量引起的离心力为P=30kN.求竖向 振动时的振幅。,解：,将荷载看成是连续作用的一系 列冲量，求出每个冲量引起的 位移后将这些位移相
13、加即为动 荷载引起的位移。,2.4 一般动荷载作用时的受迫振动分析,一.瞬时冲量的反应,1.t=0 时作用瞬时冲量,2. 时刻作用瞬时冲量,2.4 一般动荷载作用时的受迫振动分析,二.动荷载的位移反应,-杜哈美积分,计阻尼时,若t=0 时体系有初位移、初速度,例.求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。,解：,动力系数为 2,3.多自由度体系的振动分析,3.1 自由振动分析,自由振动分析的目的是确定体系的动力特性.可不计阻尼。,一.运动方程及其解,或,运动方程,设方程的特解为,代入方程,得,-频率方程,解频率方程得 的两个根,将 频率代入振型方程,特解1,特解2,通解,二.频率与振型,体
14、系按特解振动时有如下特点,1)各质点同频同步;,2)任意时刻,各质点位移的比 值保持不变,定义:体系上所有质量按相同频率作自由振动时 的振动形状称作体系的主振型。,几点说明：,1.按振型作自由振动时，各质点的 速度的比值也为常数，且与位移 比值相同。,2.发生按振型的自由振动是有条件的.,3.振型与频率是体系本身固有的属性, 与外界因素无关.,4。N自由度体系有N个频率和N个振型,频率方程,解频率方程得 的N,从小 到大排列,依次称作第一频率,第二频率.,第一频率称作基本频率,其它为高 阶频率.,将频率代入振型方程,得N个振型,N个振型是线性无关的.,5。若已知柔度矩阵时,6。求振型、频率可列
15、幅值方程.,振型方程,频率方程,按振型振动时,振型可看作是体系按振型振动时， 惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移,三.求频率、振型例题,例一.求图示体系的频率、振型,解,令,第一振型,第二振型,对称体系的振型分 成两组:,一组为对称振型,一组为反对称振型,按对称振型振动,按反对称振型振动,第二振型,解:,例二.求图示体系的频率、振型. 已知:,练,l/2,l/2,C,Q,M,N,MP,Mi,MP,例3.求图示体系的频率、振型,解:,令,3.2 简谐荷载作用下的受迫振动分析,运动方程,设特解为,解方程,得,其中,3.2 简谐荷载作用下的受迫振动分析,1.在平稳阶段,作简谐振动,振动 频率与荷载同
16、。,2.当 时,3.当 时,3.2 简谐荷载作用下的受迫振动分析,4.当 或 时,n自由度体系有n个共振区。,3.2 简谐荷载作用下的受迫振动分析,5.求稳态振幅可列幅值方程,-惯性力幅值,3.2 简谐荷载作用下的受迫振动分析,6.内力幅值的计算,例：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。,已知：,解：,不存在统一的动力系数,利用对称性可简化计算,对称荷载,反对称荷载,作业解答：,165页 7-1（a）,165页 7-1（b）,165页 7-1（c）,165页 7-1（e）,3.3 振型分解法,一.振型正交性,i振型,i振型上的 惯性力,j振型,i振型上的惯性力 在j振型上作的虚功,j振型上的惯
17、性力 在i振型上作的虚功,由虚功互等定理,振型对质量的正交性的物理意义,i振型上的惯性力在j振型上作 的虚功等于0,振型对刚度的正交性:,振型对刚度的正交性的物理意义,i振型上的弹性力在j振型上作 的虚功等于0,振型正交性的应用,1.检验求解出的振型的正确性。,例:试验证振型的正确性,2.对耦联运动微分方程组作解 耦运算等等.,例:已知图示体系的第一振型, 试求第二振型.,解:,例:已知图示体系在动荷载作用下的振幅为,解:,试从其中去掉第一振型分量.,二.振型分解法(不计阻尼),运动方程,设,-j振型广义质量,-j振型广义刚度,-j振型广义荷载,折算体系,计算步骤:,1.求振型、频率;,2.求
18、广义质量、广义荷载;,3.求组合系数;,4.按下式求位移;,例一.求图示体系的稳态振幅.,解:,从结果看,低阶振型贡献大,一般不需要用全部振型叠加, 用前几个低阶振型叠加即可。,例二.求图示体系在突加荷载作用下的位移反应.,解:,三.振型分解法(计阻尼),阻尼力,-阻尼矩阵,-当质点j有单位速度 ,其余质点速度为0时,质点i上的阻尼力.,若下式成立,则将 称作正交阻尼矩阵, 称作振型j的广义阻尼系数.,运动方程,设,设,令,-第j振型阻尼比(由试验确定).,计算步骤:,1.求振型、频率;,2.求广义质量、广义荷载;,4.求组合系数;,5.按下式求位移;,3.确定振型阻尼比;,正交阻尼矩阵的构成
19、,-比例阻尼(Rayleigh阻尼),已知两个阻尼比,例.求图示体系的正交阻尼矩阵 和阻尼比 .,已知:,解:,4. 频率、振型的实用计算方法,4.1 能量法（瑞利法）,能量法是计算体基本频率近似值的一种常用方法。,设体系按i振型作自由振动。t时刻的位移为,速度为,动能为,势能为,最大动能为,最大势能为,由能量守恒，有,选满足位移边界条件的，形状与振型相近的向 量代入上式求频率的近似值。,通常将重力作为荷载所引起的位移代入上式求 基本频率的近似值。,例.用能量法计算图示体系的基频.,解:,1.取自重引起的位移,精确解:,2.取直线,3.取常数,精确解:,4.2 迭代法,对于给定的方阵 ,满足上
20、式的向量 和数值 称作 的特征 向量和特征值.合称为特征对.,有限自由度体系求频率、振型，属于矩阵特征值问题。,-标准特征值问题,-广义特征值问题,柔度法建立的振型方程,令,-动力矩阵,-标准特征值问题,刚度法建立的振型方程,-广义特征值问题,一. 迭代法求基频和基本振型,1.作法,若 是真的振型,则下式成立,即 与 成比例.,若不成比例, 不是振型.,迭代式为,这时将 归一化,得 ;在将 其作为新的假设振型继续计算.,一直算到 与 成比例为止.,为基本振型.,这时下式成立,基本频率由下式计算,2.算例: 用迭代法计算图示体系的基频和基本振型.,设,解:,归一化,归一化,归一化,归一化,基本振型为,基本频率为,精确值为,3.收敛的原因,每迭代一次会使基本振型分量比重增加,而使其它振型分量所占比重减少, 随着迭代次数逐渐增多,除基本振型外的其它振型分量越来越少直至可略 去不计,这时得到的即为基本振型.,一. 迭代法求第二频率及振型,-滤型矩阵,计算步骤:,-滤型矩阵,1.求,2.求,3.迭代求解,迭代法的优点:,求其它高阶振型及频率与此类似,不再赘述.,迭代法的缺点:,