《2019年高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题45数列数列的通项2叠加法累乘法求通项文含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题45数列数列的通项2叠加法累乘法求通项文含解析.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题 45 数列 数列的通项 2（ 叠加法、累乘法求通项）专题 45 数列 数列的通项 2（ 叠加法、累乘法求通项） 【考点讲解】 【考点讲解】 一、具本目标一、具本目标： 掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰 当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础. 二、知识概述：二、知识概述： 1.数列的通项公式： （1）如果数列 n a的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通 项公式即 n af n,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. （2）数列 n a的前n项和 n S和通项
2、n a的关系：. 2.求数列的通项公式的注意事项： （1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律， 可使用添项、 通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用1 n 或 1 1 n 来调整 （2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想由 不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证. （3）对于数列的通项公式要掌握 ： 已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项 ； 根据数列的前几项， 写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，
3、分解所 给数列的前几项，看看这几项的分解中哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序 号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法； （2）已知Sn，求通项，破解方法 ： 利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值 得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。 3. 已知数列 n a的前n项和 n S，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用 11 aS求出 1 a； (2)用1n替换 n S中的n得到一个
4、新的关系， 利用 n a 1nn SS (2)n 便可求出当2n 时 n a的表达式 ； (3)对1n 时的结果进行检验， 看是否符合2n 时 n a的表达式， 如果符合， 则可以把数列的通项公式合写 ； 如果不符合，则应该分1n 与2n 两段来写 【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分. 4. 递推公式推导通项公式方法： （1）叠加法： 叠加法（或累加法） ： 已知，求数列通项公式常常用叠加法（或累加法） 即即 . （ 2） 累 乘 法 ： 已 知求 数 列 通 项 公 式 用 累 乘 法 . （3）待定系数法 ：（其中, p q均为常数，
5、） 解法：把原递推公式转化为：，其中 p q t 1 ，再利用换元法转化 为等比数列求解. （ 4） 待 定 系 数 法 ：（ 其 中, p q均 为 常 数 ， ）. （或,其中, ,p q r均为常数）. 解法：在原递推公式两边同除以 1n q，得：，令 n n n q a b ，得： ，再按 第（3）种情况求解. （5）待定系数法： 解 法 ： 一 般 利 用 待 定 系 数 法 构 造 等 比 数 列 ， 即 令 ，与已知递推式比较， 解出yx,从而转化为是公比为p的等比数列. （6）待定系数法： 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ， 与 已 知 递 推 式 比 较 ， 解
6、出yx,从 而 转 化 为 是公比为p的等比数列. （7）待定系数法：（其中, p q均为常数）. 解 法 ： 先 把 原 递 推 公 式 转 化 为其 中, s t满 足 stp stq ，再按第（4）种情况求解. （8）取倒数法： 解法 ： 这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解. （，解法：等式两边同时除以 1nn aa 后换元转化为，按第（3）种情况求解.）. （9）取对数 r nn paa 1 解法：这种类型一般是等式两边取以p为底的对数，后转化为，按第（3） 种情况求解. 5. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理
7、综合命 题常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等 (1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要 求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆 (2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题 意，从而找到恰当的解决方法 类型 1类型 1 解法：把原递推公式转化为，利用叠加法叠加法求解 例 1.设数列 n a中，则通项 n a . 故应填 1 1 2 n n . 【答案】 1 1 2 n n 类型 2类型 2 .解法：把原递推公式转化为)( 1 nf a a n n ，利用叠乘法叠乘法求解。 已知数列
8、 n a满足 3 2 1 a，求 n a。 【解析】由条件知 1 1 n n a a n n ，分别令，代入上式得) 1( n 个等式后叠乘，即 na an1 1 又 3 2 1 a， n an 3 2 . 【真题分析】【真题分析】 1.【 2019 优 选 题 】 已 知 数 列 。 【 解 析 】 由 题 意可 得 ：， ， ， ， 1 20a . 将以上各式相加得： = 【答案】 2.【2016 江西】在数列 n a中， 1 2a ，则 n a （ ） A2lnn B C2lnnn D1lnnn 【解析】 将以上各式相加得： 所以有： 【答案】A 3.【2019 优选题】已知数列 n a
9、满足 1 2a ， ()nN ，则此数列的通 项 n a等于 ( ) A. 2 1n B. 1n C.1 n D.3 n 【答案】D 4.【2018 年广东】已知数列 n a中 ，求数列 n a的通项公式. 【解析】由 ，得 . ， 4 1 n a n nN 5.【2016 山西】已知数列 n a满足，求数列 n a的通项公式. 6.【2019 优选题】已知an是正数组成的数列，a1=1，且点（ 1 , nn aa ） （nN N*）在函数y=x2+1 的图象 上. ()求数列an的通项公式； ()若列数bn满足b1=1,bn+1=bn+2 n a ，求证：bnbn+2b2n+1 . 【解析】
10、解法一 ： （）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,所以数列an是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列. 故an=1+(a-1)1=n. ()由（）知：an=n从而bn+1-bn=2n.则bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+（b2-b1）+b1 =2n-1+2n-2+2+1= 21 21 n =2n-1. 因为bnbn+2-b 2 1n =(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2 =(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1) =-52n+42n=-2n0,所以 bnbn+2b 2 1n , 解法二：（）同解法一.（）因
11、为b2=1, bnbn+2- b 2 1n =(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b 2 1n =2n+1bn+1-2nbn+1-2n2n+1 =2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=2n（b1-2）=-2n0， 所以bnbn+2b2n+1 . 7.数列 n a中， 1 2a ，（c是常数，12 3n ， ， ，） ， 且 123 aaa， ，成公比不 为1的等比数列 （I）求c的值；（II）求 n a的通项公式 【解析】 （I） 1 2a ， 2 2ac， 3 23ac， 因为 1 a， 2 a， 3 a成等比数列，所以，解得0c 或2c 当0
12、c 时， 123 aaa，不符合题意舍去，故2c 【模拟考场】【模拟考场】 1.若在数列 n a中，3 1 a，求通项 n a. 【解析】法一：可用等差数列求通项. 法 二 ： 由得 ，得 ， 所 以 有 ： 21 3aa ， 32 3aa ， 将各式相加得： 所以可得通项为： 即： （nN ）. 2.若在数列 n a中，3 1 a，求通项 n a. 【解析】由得， 所以， ，1 12 aa 将以上各式相加得： 又3 1 a所以 n a=3 2 ) 1( nn .即： 即：（nN ）. 3.已知数列 n a满足，求数列 n a的通项公式. 【解析】由，得则 所以数列 n a的通项公式为 2 n an（nN ）. 4.已知数列 n a满足，求数列 n a的通项公式. 5.已知数列 n a满足，求数列 n a的通项公式. 6. 已知数列中: 1 1a ，,确定数列 n a的通项公式. 【 解 析 】 ， ， ， 21 1 2 aa 以上1n个式子相乘得 nN ，即 1 n a n nN .