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1、3.4 基本不等式： 基本不等式： ab a b 2 第第 1 课时 基本不等式课时 基本不等式 学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大 小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式 知识点一 算术平均数与几何平均数 一般地，对于正数 a，b，为 a，b 的算术平均数，为 a，b 的几何平均数两个正数 ab 2 ab 的算术平均数不小于它们的几何平均数，即.ab ab 2 几何解释 如图，AB 是圆 O 的直径，点 Q 是 AB 上任一点，AQa，BQb，过点 Q 作 PQ 垂直于 AB 且交圆 O 于点 P，连接 AP，PB. 则 PO.易证 R
2、tAPQRtPBQ，那么 PQ2AQQB，即 PQ. AB 2 ab 2 ab 知识点二 基本不等式常见推论 由公式 a2b22ab(a，bR)和(a0，b0)可得以下结论： ab 2 ab 2(a，b 同号)； a b b a (a0，b0) 2 1 a 1 b ab ab 2 a2b2 2 1对于任意 a，bR，a2b22ab.( ) 2nN*时，n 2.( ) 2 n 2 3x0 时，x 2.( ) 1 x 4a0，b0 时， .( ) 1 a 1 b 4 ab 题型一 常见推论的证明 例 1 证明不等式 a2b22ab(a，bR) 证明 a2b22ab(ab)20， a2b22ab.
3、引申探究 1 求证(a0，b0) ab 2 ab 证明 方法一 ()2()22 ()20， 当且仅当， 即 a ab 2 ab 1 2 abab 1 2 abab b 时，等号成立 方法二 由例 1 知，a2b22ab. 当 a0，b0 时有()2()22，aba b 即 ab2，ab . ab 2 ab 引申探究 2 证明不等式 2 (a，bR) ( ab 2) a2b2 2 证明 由例 1，得 a2b22ab， 2(a2b2)a2b22ab， 两边同除以 4，即得 2 ，当且仅当 ab 时，取等号 ( ab 2) a2b2 2 反思感悟 (1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意
4、识 (2)不等式a2b22ab和基本不等式成立的条件是不同的， 前者要求a， b都是实数，ab ab 2 后者要求 a，b 都是正数 跟踪训练 1 当 a0，b0 时，求证：. 2 1 a 1 b ab 证明 a0，b0， ab20，ab ， 1 ab 1 2 ab . 2ab ab 2ab 2 ab ab 又， 2ab ab 2 1 a 1 b (当且仅当 ab 时取等号) 2 1 a 1 b ab 题型二 用基本不等式证明不等式 例 2 已知 x，y 都是正数 求证：(1) 2； y x x y (2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3. 证明 (1)x，y 都是正数， 0， 0，
5、 x y y x 2 2，即 2， y x x y y x x y y x x y 当且仅当 xy 时，等号成立 (2)x，y 都是正数， xy20，xy x2y220，x3y320，x2y2x3y3 (xy)(x2y2)(x3y3) 2228x3y3，xyx2y2x3y3 即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3， 当且仅当 xy 时，等号成立 反思感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的 逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知” ，逐步推向“未知” (2)注意事项： 多次使用基
6、本不等式时，要注意等号能否成立；同向不等式相加是不等式证明中的一种 常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成 基本不等式模型，再使用 跟踪训练 2 已知 a，b，c 都是正实数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc. 证明 a，b，c 都是正实数， ab20，bc20，ca20，abbcca (ab)(bc)(ca)2228abc，abbcca 即(ab)(bc)(ca)8abc， 当且仅当 abc 时，等号成立 题型三 用基本不等式比较大小 例 3 某工厂生产某种产品，第一年产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b， 这两年的平均增长率为
7、 x(a，b，x 均大于零)，则( ) Ax Bx ab 2 ab 2 Cx Dx ab 2 ab 2 答案 B 解析 第二年产量为 AAaA(1a)， 第三年产量为 A(1a)A(1a)bA(1a)(1b) 若平均增长率为 x，则第三年产量为 A(1x)2. 依题意有 A(1x)2A(1a)(1b)， a0，b0，x0， (1x)2(1a)(1b) 2， 1a1b 2 1x1，x(当且仅当 ab 时，等号成立) 2ab 2 ab 2 ab 2 反思感悟 基本不等式一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要擅于利 ab 2 ab 用这个桥梁化和为积或者化积为和 跟踪训练 3 设 ab1，P，
8、Q，Rlg ，则 P，Q，R 的大小关lg alg b lg alg b 2 ab 2 系是( ) AR0， ab 2 ab lg lg (lg alg b)，即 RQ. ab 2 ab 1 2 综合，有 Pb Bba ab 2 abab ab 2 Cba Dba ab 2 ab ab 2 ab 答案 C 解析 0ab，b. ab 2 ab ba0，aba2，a.故 ba.ab ab 2 ab 2下列各式中，对任何实数 x 都成立的一个式子是( ) Alg(x21)lg(2x) Bx212x C.1 Dx 2 2x x21 1 x 答案 C 解析 对于 A，当 x0 时，无意义，故 A 不恒成
9、立；对于 B，当 x1 时，x212x，故 B 不成立；对于 D，当 x B.2，故.bc ad 2 bc 2 bc 4lg 9lg 11 与 1 的大小关系是( ) Alg 9lg 111 Blg 9lg 111 Clg 9lg 110，lg 110， lg 9lg 110，b0，给出下列不等式： a21a；4； (a 1 a)(b 1 b) (ab)4；a296a. ( 1 a 1 b) 其中恒成立的是 (填序号) 答案 解析 由于 a21a 2 0，故恒成立； (a 1 2) 3 4 由于 a 2，b 2， 1 a 1 b 4，当且仅当 ab1 时，等号成立，故恒成立； (a 1 a)(
10、b 1 b) 由于 ab2， 2，ab 1 a 1 b 1 ab 故(ab)4，当且仅当 ab 时，等号成立，故恒成立； ( 1 a 1 b) 当 a3 时，a296a，故不恒成立 综上，恒成立的是. 1两个不等式 a2b22ab 与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取 ab 2 ab 等号”这句话的含义要有正确的理解一方面 ： 当 ab 时，； 另一方面 ： 当 ab 2 ab ab 2 时，也有 ab.ab 2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形 配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式 一、选择题 1a，bR，则 a2b2与 2|ab|
11、的大小关系是( ) Aa2b22|ab| Ba2b22|ab| Ca2b22|ab| Da2b22|ab| 答案 A 解析 a2b22|ab|(|a|b|)20，a2b22|ab|(当且仅当|a|b|时，等号成立) 2若 a，bR 且 ab0，则下列不等式中恒成立的是( ) Aa2b22ab Bab2 ab C. D. 2 1 a 1 b 2 ab b a a b 答案 D 解析 a2b22ab(ab)20，A 错误； 对于 B，C，当 a0， 2 2， b a a b b a a b 当且仅当 ab 时，等号成立 3已知 ma(a2)，n (xn Bmn，故选 A. 1 a2 a2 1 a2
12、 2 2 2 x 4设 f(x)ln x,0p Dprq 答案 B 解析 因为 0. ab 2 ab 又因为 f(x)ln x 在(0，)上单调递增， 所以 f f()，即 p a2b2 ab ab 2ab ab ab 答案 D 解析 ab2 2， 1 ab ab 1 ab 2 当且仅当 ab时，等号成立，A 成立； 2 2 (ab)224， ( 1 a 1 b) ab 1 ab 当且仅当 ab 时，等号成立，B 成立； a2b22ab0， 2，当且仅当 ab 时，等号成立，C 成立； a2b2 ab ab ab2，且 a，b(0，)，ab 1， 2 ab ab 2ab ab ab 当且仅当
13、ab 时，等号成立，D 不成立 6下列说法正确的是( ) A若 xk，kZ，则 min4 (sin 2x 4 sin2x) B若 a0，b0，则 lg alg b2 lg alg b D若 a0， 0. 4 a a 4， 4 aa( 4 a) 当且仅当 a ，即 a2 时，等号成立 4 a 对于 C，若 a(0,1)，b(0,1)， 则 lg a0， 0， b a a b 22， b a a b b a a b 当且仅当 ，即 ab 时，等号成立 b a a b 二、填空题 7 设正数 a， 使 a2a20 成立， 若 t0， 则 logat loga .(填 “” “” “” 1 2 t1
14、2 或“0，b0，ab1，求证： (1) 8；(2)9. 1 a 1 b 1 ab (1 1 a)(1 1 b) 证明 (1) 2， 1 a 1 b 1 ab 1 a 1 b ab ab ( 1 a 1 b) ab1，a0，b0， 2 224， 1 a 1 b ab a ab b a b b a 8(当且仅当 ab 时，等号成立) 1 a 1 b 1 ab 1 2 (2)方法一 a0，b0，ab1， 1 12 ， 1 a ab a b a 同理，1 2 ， 1 b a b (1 1 a)(1 1 b) (2 b a)(2 a b) 52549， ( b a a b) 9(当且仅当 ab 时，等
15、号成立) (1 1 a)(1 1 b) 1 2 方法二 1 . (1 1 a)(1 1 b) 1 a 1 b 1 ab 由(1)知， 8， 1 a 1 b 1 ab 故1 9，当且仅当 ab 时，等号成立 (1 1 a)(1 1 b) 1 a 1 b 1 ab 1 2 13设 02 答案 C 解析 00，logba0， (logab)(logba)(logab)2， ( 1 logab) 当且仅当 ab1 时，等号成立， logablogba2. 14设 x，y 为正实数，且 xy(xy)1，则( ) Axy2(1) Bxy122 Cxy(1)2 Dxy2(1)22 答案 A 解析 x， y 为正实数， 且 xy(xy)1， xy 2， 2(xy)10， 解得 xy2( ( xy 2) ( xy 2) 1)，当且仅当 xy1时取等号22