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1、1.3 中国古代数学中的算法案例 中国古代数学中的算法案例 学习目标 1.理解更相减损之术中的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.2.理解割 圆术中蕴含的数学原理.3.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质.4.对简单的案例能 设计程序框图并写出算法 知识点一 更相减损之术 更相减损之术的运算步骤 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数若是，用 2 约简 ； 若不是，执行第 二步 第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继 续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求 的最大公约数 知识点二 割圆术 1
2、割圆术的算法 S1 假设圆的半径为 1，面积为 S，圆内接正 n 边形面积为 Sn，边长为 xn，边心距为 hn，先 从圆内接正六边形的面积开始算起，即 n6，则正六边形的面积 S66； 3 4 S2 利用公式 S2nSnn xn(1hn)重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形的面 1 2 积 因为圆的半径为 1， 所以随着 n 的增大， S2n的值不断趋近于圆周率， 这样不断计算下去， 就可以得到越来越精密的圆周率近似值 2割圆术的算法思想 刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得 到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积，最后求出圆周率的
3、近似值用刘徽自己 的话概括就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣” 知识点三 秦九韶算法 思考 衡量一个算法是否优秀的重要参数是速度 把多项式 f(x)x5x4x3x2x1 变形 为 f(x)(x1)x1)x1)x1)x1， 然后求当 x5 时的值， 为什么比常规逐项计算省时？ 答案 从里往外计算，充分利用已有成果，可减少重复计算 梳理 秦九韶算法的一般步骤： 把一个 n 次多项式 f(x)anxnan1xn1a1xa0改写成如下形式： (anxan1)xan2)xa1)xa0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项 式的值，即 v1anxan1，然后由内
4、向外逐层计算一次多项式的值，即 v2v1xan2， v3v2xan3， vnvn1xa0， 这样，求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n 个一次多项式的值 1辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数( ) 2求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法( ) 3编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句( ) 题型一 更相减损之术 例 1 试用更相减损之术求 612,396 的最大公约数 解 方法一 6122306,3962198,3062153,198299，1539954,9954 45,54459,45936,36927,27918,1899.所以612,396的最大公约数为9
5、22 36. 方法二 612396216,396216180,21618036,18036144,14436108,108 3672,723636.故 36 为 612,396 的最大公约数 反思与感悟 用更相减损之术的算法步骤： 第一步，给定两个正整数 m，n，不妨设 mn. 第二步，若 m，n 都是偶数，则不断用 2 约简，使它们不同时是偶数，约简后的两个数仍记 为 m，n. 第三步，dmn. 第四步，判断“dn”是否成立，若是，则将 n，d 中的较大者记为 m，较小者记为 n，返 回第三步；否则，2kd(k 是约简整数 2 的个数)为所求的最大公约数 跟踪训练 1 用更相减损之术求 26
6、1 和 319 的最大公约数 解 31926158， 26158203， 20358145， 1455887， 875829， 582929， 319 与 261 的最大公约数为 29. 题型二 秦九韶算法的基本思想 例 2 已知一个 5 次多项式为 f(x)4x52x43.5x32.6x21.7x0.8， 用秦九韶算法求这个 多项式当 x5 时的值 解 将 f(x)改写为 f(x)(4x2)x3.5)x2.6)x1.7)x0.8， 由内向外依次计算一次多项式当 x5 时的值： v04；v145222； v22253.5113.5； v3113.552.6564.9； v4564.951.72
7、 826.2； v52 826.250.814 130.2. 当 x5 时，多项式的值为 14 130.2. 反思与感悟 秦九韶算法之所以优秀， 一是其对所有多项式求值都适用， 二是充分利用已有 计算成果，效率更高 跟踪训练 2 用秦九韶算法求多项式 f(x)7x76x65x54x43x32x2x 当 x3 时的值 解 f(x)(7x6)x5)x4)x3)x2)x1)x， 所以有 v07， v173627， v2273586， v38634262， v426233789， v5789322 369， v62 369317 108， v77 108321 324. 故当 x3 时，多项式 f(x
8、)7x76x65x54x43x32x2x 的值为 21 324. 1用秦九韶算法计算多项式 f(x)6x65x54x43x32x2x7 在 x0.4 时的值时，需做 加法和乘法的次数的和为( ) A10 B9 C12 D8 答案 C 解析 f(x)(6x5)x4)x3)x2)x1)x7， 做加法 6 次，乘法 6 次， 6612(次)，故选 C. 2已知 f(x)2x3x3，用秦九韶算法求当 x3 时 v2的值 解 f(x)2x3x32x30x2x3 (2x0)x1)x3， v02，v12306， v263119. 3用更相减损之术求 1 734 和 816 的最大公约数 解 因为 1 734
9、 和 816 都是偶数，所以分别除以 2 得 867 和 408. 867408459,45940851,40851357， 35751306,30651255,25551204， 20451153,15351102,1025151. 所以 867 和 408 的最大公约数是 51，故 1 734 和 816 的最大公约数是 512102. 1更相减损之术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较 小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原 来两个数的最大公约数 2用秦九韶算法求多项式 f(x)当 xx0的值的思路为(1)改写；(2)
10、计算Error!Error! (3)结论 f(x0)vn. 一、选择题 11 037 和 425 的最大公约数是( ) A51 B17 C9 D3 答案 B 2 利用秦九韶算法求当 x2 时， f(x)12x3x24x35x46x5的值， 下列说法正确的是( ) A先求 122 B先求 625，第二步求 2(625)4 C用 f(2)122322423524625直接运算求解 D以上都不正确 答案 B 345 和 150 的最大公约数和最小公倍数分别是( ) A5,150 B15,450 C450,15 D15,150 答案 B 4用秦九韶算法计算 f(x)6x54x4x32x29x，需要加法
11、(或减法)与乘法运算的次数分 别为( ) A5,4 B5,5 C4,4 D4,5 答案 D 解析 n 次多项式，当最高次项的系数不为 1 时，需进行 n 次乘法；若各项均不为 0，则需 进行 n 次加法(或减法)，缺一项就减少一次加法(或减法)运算，而这个 5 次多项式的 5 次项 系数不为 1，缺常数项，因而乘法次数为 5，加法(或减法)次数为 514.故选 D. 5下面程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损之术” 执 行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 14,18，则输出的 a 等于( ) A0 B2 C4 D14 答案 B 解析 开始：a14，b18， 第一次循
12、环：a14，b4；第二次循环：a10，b4； 第三次循环：a6，b4；第四次循环：a2，b4； 第五次循环：a2，b2. 此时，ab，退出循环，输出 a2. 6 用秦九韶算法求多项式 f(x)12xx23x32x4当 x1 时的值时， v2的结果是( ) A4 B1 C5 D6 答案 D 解析 此题的 n4，a42，a33，a21，a12，a01，由秦九韶算法的递推关系式 Error!Error! 得 v1v0xa32(1)35， v2v1xa25(1)16， 故选 D. 7三个数 4 557,1 953,5 115 的最大公约数是( ) A31 B93 C217 D651 答案 B 8已知
13、f(x)x52x33x2x1，应用秦九韶算法计算当 x3 时的值时，v3的值为( ) A27 B11 C109 D36 答案 D 解析 将函数式化成如下形式， f(x)(x0)x2)x3)x1)x1. 由内向外依次计算： v01， v11303， v233211， v3113336， v43631109， v510931328. 二、填空题 9自然数 8 251 和 6 105 的最大公约数为_ 答案 37 解析 利用更相减损之术可得它们的最大公约数为 37. 10用秦九韶算法求多项式 6x35x24x3 的值时，应先将此多项式变形为_ 答案 (6x5)x4)x3 解析 6x35x24x3(6
14、x25x4)x3 (6x5)x4)x3. 11用更相减损之术求 459 和 357 的最大公约数，需进行减法的次数为_ 答案 5 解析 利用更相减损之术，有 459357102,357102255,255102153,153102 51,1025151，共进行了 5 次减法 12用秦九韶算法求多项式 f(x)20.35x1.8x23.66x36x45.2x5x6在 x1.3 时的 值时，令 v0a6，v1v0xa5，v6v5xa0时，v3的值为_ 答案 22.445 三、解答题 13求三个数 72,120,168 的最大公约数 解 (更相减损之术)： 先求 120,168 的最大公约数 168
15、12048,1204872,724824,482424， 所以 120,168 的最大公约数为 24. 再求 72,24 的最大公约数 722448,482424， 所以 72,24 的最大公约数为 24， 即 72,120,168 的最大公约数为 24. 14用秦九韶算法求多项式 f(x)4x53x45x3x2x 当 x2 时的值 解 因为 f(x)(4x3)x5)x1)x1)x， 所以 v04， v142311， v2112527， v3272155， v45521111， v51112222. 所以当 x2 时，多项式 f(x)4x53x45x3x2x 的值为 222. 四、探究与拓展
16、15秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章 中提出的多项式求值的秦九韶算法， 至今仍是比较先进的算法 如图所示的程序框图给出了 利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例， 若输入n， x的值分别为3,2， 则输出v的值为( ) A9 B18 C20 D35 答案 B 解析 初始值 n3，x2， 程序运行过程如下： v1 i2 v1224 i1 v4219 i0 v92018 i1 跳出循环，输出 v18，故选 B. 16用秦九韶算法求多项式 f(x)x50.11x30.15x0.04 当 x0.3 时的值 解 将 f(x)写为 f(x)(x0)x0.11)x0)x0.15)x0.04. 按从内到外的顺序，依次计算多项式的值： v01， v110.300.3， v20.30.30.110.2， v30.20.300.06， v40.060.30.150.132， v50.1320.30.040.079 6. 当 x0.3 时，f(x)的值为0.079 6.