《2020版数学人教B版选修2-1学案：第二章 2.2.2 第1课时 椭圆的几何性质 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教B版选修2-1学案：第二章 2.2.2 第1课时 椭圆的几何性质 Word版含解析.pdf（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.2.2 椭圆的几何性质 椭圆的几何性质 第第 1 课时 椭圆的几何性质课时 椭圆的几何性质 学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中 a，b，c 的几何意义.2.会用椭圆 的几何意义解决相关问题 知识点一 椭圆的几何性质 焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 标准方程1(ab0) x2 a2 y2 b2 1(ab0) y2 a2 x2 b2 图形 焦点坐标(c,0)(0，c) 对称性关于 x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称 顶点坐标 A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)， B2(0，b) A1(0， a)， A2(0， a)， B1(b,0)， B2(b,0) 范
2、围|x|a，|y|b|x|b，|y|a 长轴、短轴长轴 A1A2长为 2a，短轴 B1B2长为 2b 知识点二 椭圆的离心率 1椭圆的焦距与长轴长的比 e 称为椭圆的离心率 c a 2因为 ac，故椭圆离心率 e 的取值范围为(0,1)，当 e 越近于 1 时，椭圆越扁，当 e 越近 于 0 时，椭圆越圆 1椭圆1(ab0)的长轴长是 a.( ) x2 a2 y2 b2 2椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆( ) 3若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为 10,8，则椭圆的方程为1.( x2 25 y2 16 ) 4设 F 为椭圆1(ab0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF|的最大
3、值为 ac(c x2 a2 y2 b2 为椭圆的半焦距)( ) 题型一 椭圆的几何性质 例 1 求椭圆 m2x24m2y21(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率 解 由已知得1(m0)， x2 1 m2 y2 1 4m2 0m24m2， ， 1 m2 1 4m2 椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半轴长 a ， 1 m 短半轴长 b，半焦距 c， 1 2m 3 2m 椭圆的长轴长 2a ，短轴长 2b ， 2 m 1 m 焦点坐标为， ( 3 2m，0) ( 3 2m，0) 顶点坐标为， ( 1 m，0) ( 1 m，0) (0， 1 2m) (0， 1 2m) 离心率 e . c
4、 a 3 2m 1 m 3 2 反思感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质 跟踪训练 1 已知椭圆 C1：1，设椭圆 C2与椭圆 C1的长轴长、短轴长分别相等， x2 100 y2 64 且椭圆 C2的焦点在 y 轴上 (1)求椭圆 C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆 C2的方程，并研究其性质 解 (1)由椭圆 C1：1 可得其长半轴长为 10，短半轴长为 8，焦点坐标为(6,0)， x2 100 y2 64 (6,0)，离心率 e . 3 5 (2)椭圆 C2：1.性质如下： y2 100 x2 64 范围：8x8，10y10；对称性：关于
5、 x 轴、y 轴、原点对称；顶点：长轴 端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)；离心率：e . 3 5 题型二 椭圆几何性质的简单应用 命题角度 1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例 2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程 (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，若其离心率为 ，焦距为 8； 1 2 (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 . 3 解 (1)由题意知，2c8，c4， e ，a8， c a 4 a 1 2 从而 b2a2c248， 椭圆的标准方程是1. y2 64 x2 48 (2)由已知得E
6、rror! Error!从而 b29， 所求椭圆的标准方程为 1 或 1. x2 12 y2 9 x2 9 y2 12 反思感悟 在求椭圆方程时， 要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴， 从而确定方程的 形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定 a，b. 跟踪训练 2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，6)； (2)焦点在 x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为 6. 解 (1)当焦点在 x 轴上时，设椭圆方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 依题意有Error!解得
7、Error! 椭圆的标准方程为1. x2 148 y2 37 同样地可求出当焦点在 y 轴上时， 椭圆的标准方程为1. x2 13 y2 52 故所求椭圆的标准方程为1 或1. x2 148 y2 37 x2 13 y2 52 (2)依题意有Error!bc6，a2b2c272， 所求椭圆的标准方程为1. x2 72 y2 36 命题角度 2 最值问题 例 3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 e，已知点 P到椭圆上的点 3 2 (0， 3 2) 的最远距离是，求这个椭圆的方程7 解 设所求椭圆方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 ，a2b. b a a2c2 a2 1e2
8、 1 2 椭圆方程为1. x2 4b2 y2 b2 设椭圆上点 M(x，y)到点 P的距离为 d， (0， 3 2) 则 d2x2 24b2 y23y (y 3 2) (1 y2 b2) 9 4 3 24b23， (y 1 2) 令 f(y)3 24b23. (y 1 2) (1)当b ，即 b 时， 1 2 1 2 df4b237， 2max ( 1 2) 解得 b1，椭圆方程为 y21. x2 4 (2)当 ，与 bb0)，半焦距为 c，两焦点分别为 F1，F2，飞行中的航 x2 a2 y2 b2 天员为点 P， 由已知可得Error!则 2ad1d22R， 故传送神秘信号的最短距离为|P
9、F1|PF2| 2R2a2Rd1d2. 素养评析 将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系利用椭圆的几何性质来解决航 空航天问题，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力. 1与椭圆 9x24y236 有相同焦点，且短轴长为 2 的椭圆的标准方程是( ) A. 1 Bx2 1 x2 2 y2 4 y2 6 C. y21 D. 1 x2 6 x2 8 y2 5 答案 B 解析 由已知得 c，b1，所以 a2b2c26，5 故椭圆的标准方程为 x21. y2 6 2已知椭圆的方程为 2x23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 1 3 3 3 2 2 1 2 答案 B
10、解析 由 2x23y2m(m0)，得 1， x2 m 2 y2 m 3 c2 ，e2 ，e. m 2 m 3 m 6 1 3 3 3 3若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 4 5 3 5 2 5 1 5 答案 B 解析 由题意有 2a2c2(2b)，即 ac2b，又 c2a2b2，消去 b 整理得 5c23a22ac， 即 5e22e30， e 或 e1(舍去) 3 5 4已知点(m，n)在椭圆 8x23y224 上，则 2m4 的取值范围是_ 答案 42，4233 解析 因为点(m，n)在椭圆 8x23y224 上，即在椭圆 1 上，
11、所以点(m，n)满足椭 x2 3 y2 8 圆的范围|x|，|y|2，因此|m|，即m，32333 所以 2m442，4233 5已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐 标为_ 答案 (0，)69 解析 由题意知椭圆焦点在 y 轴上， 且 a13， b10， 则 c， 故焦点坐标为(0， a2b269 )69 1可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题而椭 圆的定义与三角形的两边之和联系紧密， 因此， 涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于 第三边这一结论处理 2椭圆的定义式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2
12、|)，在解题中经常将|PF1|PF2|看成一个整体灵 活应用 3利用正弦、余弦定理处理PF1F2的有关问题 4椭圆上的点到一焦点的最大距离为 ac，最小距离为 ac. 一、选择题 1椭圆 4x249y2196 的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A7,2， B14,4， 3 5 7 3 5 7 C7,2， D14,4， 5 7 5 7 答案 B 解析 先将椭圆方程化为标准形式 1， x2 49 y2 4 其中 b2，a7，c3 . 5 2.如图，直线 l：x2y20 过椭圆的左焦点 F1和一个顶点 B，则椭圆的离心率为( ) A. B. 1 5 2 5 C. D. 5 5 2 5 5 答案
13、D 解析 x2y20，y x1， ， 1 2 b c 1 2 ， ， . a2c2 c2 1 2 a2 c2 5 4 c a 2 5 5 3焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 4，则椭圆的方程为( )5 A.1 B.1 x2 36 y2 16 x2 16 y2 36 C. 1 D. 1 x2 6 y2 4 y2 6 x2 4 答案 A 解析 依题意得 c2， ab10，又 a2b2c2，从而解得 a6，b4.5 4椭圆 x2my21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则 m 的值为( ) A. B. C2 D4 1 2 1 4 考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点
14、 由椭圆的几何性质求参数 答案 B 解析 椭圆 x2my21 的焦点在 y 轴上， 短半轴长为 1， 长轴长是短轴长的 2 倍， 故2， 1 m 解得 m . 1 4 5若椭圆 1 的离心率为 ，则 k 的值为( ) x2 k8 y2 9 2 3 A. B3 41 5 C.或3 D3 或 41 5 41 3 答案 C 解析 若焦点在 x 轴上，则1 2 ， 9 k8 ( 2 3) 5 9 k； 41 5 若焦点在 y 轴上，则 ，k3，故选 C. k8 9 5 9 6已知椭圆1(ab0)的焦点分别为 F1，F2，|F1F2|2，离心率 e ，则椭圆方 x2 a2 y2 b2 1 2 程为( )
15、 A.1 B. y21 x2 16 y2 12 x2 4 C. 1 D. 1 x2 4 y2 3 x2 3 y2 4 答案 C 解析 因为|F1F2|2，离心率 e ，所以 c1，a2，所以 b23，即椭圆方程为 1. 1 2 x2 4 y2 3 7 过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P， F2为右焦点， 若F1PF2 x2 a2 y2 b2 60，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 5 2 3 3 1 2 1 3 答案 B 解析 由题意得，点 P 的坐标为或， (c， b2 a) (c， b2 a) 因为F1PF260，所以， 2c b2 a 3 即 2acb2
16、(a2c2)，33 所以e22e0，解得 e或 e(舍去)33 3 3 3 8如图，已知 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以 F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中 心并且交椭圆于点 M，N，若过 F1的直线 MF1是圆 F2的切线，则椭圆的离心率为( ) A.1 B233 C. D. 2 2 3 2 考点 椭圆的离心率问题 题点 由 a 与 c 的关系式得离心率 答案 A 解析 过 F1的直线 MF1是圆 F2的切线， F1MF290，|MF2|c，|F1F2|2c， |MF1|c，由椭圆定义可得|MF1|MF2|cc2a，椭圆离心率 e1.33 2 1 3 3 二、填空题 9若椭圆 x2my
17、21 的离心率为，则 m_. 3 2 答案 或 4 1 4 解析 方程化为 x2 1，则有 m0 且 m1. y2 1 m 当 1 时，依题意有 ，解得 m . 1 m 1 m1 1 m 3 2 1 4 综上，m 或 4. 1 4 10已知椭圆 C 的上，下顶点分别为 B1，B2，左，右焦点分别为 F1，F2，若四边形 B1F1B2F2 是正方形，则此椭圆的离心率 e_. 答案 2 2 解析 因为四边形 B1F1B2F2是正方形，所以 bc， 所以 a2b2c22c2，所以 e . c a 2 2 11若椭圆1 的焦点在 x 轴上，过点作圆 x2y21 的切线，切点分别为 A，B， x2 a2
18、 y2 b2 (1， 1 2) 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是_ 答案 1 x2 5 y2 4 解析 x1 是圆 x2y21 的一条切线 椭圆的右焦点为 A(1,0)，即 c1. 设 P，则 kOP ，OPAB，kAB2，则直线 AB 的方程为 y2(x1)，它与 y (1， 1 2) 1 2 轴的交点为(0,2)b2，a2b2c25，故椭圆的方程为 1. x2 5 y2 4 三、解答题 12已知椭圆 x2(m3)y2m(m0)的离心率 e，求 m 的值及椭圆的长轴和短轴长、焦 3 2 点坐标、顶点坐标 解 椭圆方程可化为 1，m0. x2 m y2 m m3 m0，
19、m， m m3 mm2 m3 m m3 a2m，b2，c. m m3 a2b2 mm2 m3 由 e，得，m1. 3 2 m2 m3 3 2 椭圆的标准方程为 x2 1， y2 1 4 a1，b ，c. 1 2 3 2 椭圆的长轴长和短轴长分别为 2a2 和 2b1，焦点坐标为 F1，F2，四个 ( 3 2 ，0) ( 3 2 ，0) 顶点的坐标分别为 A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2. (0， 1 2) (0， 1 2) 13.如图， 焦点在x轴上的椭圆 1的离心率e ， F， A分别是椭圆的一个焦点和顶点， P x2 4 y2 b2 1 2 是椭圆上任意一点，求的最大值和最小值P
20、F PA 解 设 P 点坐标为(x0，y0) 由题意知 a2， e ，c1，b2a2c23. c a 1 2 所求椭圆方程为 1. x2 4 y2 3 2x02，y0.33 又 F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，PF (2x0，y0)，PA x x02y x x01PF PA 2 02 0 1 4 2 0 (x02)2. 1 4 当 x02 时，取得最小值 0，PF PA 当 x02 时，取得最大值 4.PF PA 14 已知椭圆 E：1(ab0)的右焦点为 F， 短轴的一个端点为 M， 直线 l： 3x4y0 x2 a2 y2 b2 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|BF|4
21、，点 M 到直线 l 的距离不小于 ，则椭圆 E 的离心 4 5 率的取值范围是( ) A. B. (0， 3 2 (0， 3 4 C. D. 3 2 ，1) 3 4，1) 考点 椭圆的离心率问题 题点 求离心率的取值范围 答案 A 解析 设左焦点为 F0，连接 F0A，F0B，则四边形 AFBF0为平行四边形 |AF|BF|4， |AF|AF0|4， a2. 设 M(0，b)，则 ，1b2. 4b 5 4 5 离心率 e ，故选 A. c a c2 a2 a2b2 a2 4b2 4(0， 3 2 15 已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O， 两个焦点分别为 A(1， 0)， B(1,0)， 一
22、个顶点为 H(2,0) (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)对于 x 轴上的点 P(t,0)，椭圆 E 上存在点 M，使得 MPMH，求实数 t 的取值范围 解 (1)由题意可得，c1，a2， b . 3 所求椭圆 E 的标准方程为 1. x2 4 y2 3 (2)设 M(x0，y0)，x0，则 1. ( 1 2， 1 2) x2 0 4 y2 0 3 (tx0，y0)，(2x0，y0)，MP MH 由 MPMH 可得0，MP MH 即(tx0)(2x0)y 0. 2 0 由消去 y0，整理得 t(2x0) x 2x03. 1 4 2 0 x02，t x0 . 1 4 3 2 2x02， 2t1. 实数 t 的取值范围为(2，1)